Rovina del giocatore
Ciao, amici! In un gioco in cui si scommette una posta unitaria, diciamo 1€, con probabilità di $p$ vincere un altro euro e probabilità $1-p$ di perdere il nostro euro, chiamiamo $q_i$ la probabilità di arrivare al patrimonio di $N$ unità monetarie.
Il libro (semidivulgativo ed usa poco formalismi matematici, faccio notare qualora servisse) sulla probabilità nei giochi che sto leggendo dice che, a parte i due casi banali $q_0=0$ (senza posta da scommettere non si può arrivare a $N$ euro) e $q_N=1$ (si hanno già $N$ euro), la probabilità di arrivare ad $N$ euro partendo da $i$ euro è\[q_i=(1-p)q_{i-1}+pq_{i+1}\]cioè la probabilità di perdere una volta e arrivarci ripartendo da $i-1$ euro sommata alla probabilità di vincere una volta e arrivarci partendo da $i+1$ euro, per fattorizzazione.
Ciò che non capisco è quello che dice dopo il libro: "il generico termine $q_i$ per rispettare la formula [quella di qui sopra] deve essere della forma $q_i=\alpha^i$ dove $\alpha$ è un parametro da determinare. Di conseguenza avremo $q_{i-1}=\alpha^{i-1}$ e $q_{i+1}=\alpha^{i+1}$".
Risolvendo quindi \(\alpha^i=(1-p)\alpha^{i-1}+p\alpha^{i+1}\) e trovando le due soluzioni non nulle $\alpha_1=1$ e $\alpha_2=(1-p)/p$, il testo continua dicendo che "vista la linearità della \(q_i=(1-p)q_{i-1}+pq_{i+1}\) ricorsiva otteniamo, per il principio di sovrapposizione, che la soluzione più generale possibile è di questo tipo: $q_i=A\alpha_1^i+B\alpha_2^i=A+B((1-p)/p)^i$ dove $A$ e $B$ sono due parametri da determinare attraverso le due condizioni $q_0=0$ e $q_N=1$"
Non capisco come dalla formula $q_i=(1-p)q_{i-1}+pq_{i+1}$ debba discendere, per qualche $\alpha$, che $q_i=\alpha^i$...
E tantomeno perché, in apparente contraddizione, si dice poi che $q_i=A\alpha_1^i+B\alpha_2^i$... Non doveva, il nostro $q_i$, essere l'$i$-esima potenza di un'$\alpha$ che risolva \(\alpha^i=(1-p)\alpha^{i-1}+p\alpha^{i+1}\), piuttosto che una combinazione lineare di due soluzioni?
Anche ammesso che ci sia un errore di stampa e che si intendesse che $q^i$ debba essere combinazione lineare di due $i$-esime potenze di due numeri, come si è ricavato questo?
Mi sa che mi sto perdendo in un bicchiere di algebra elementare...
$\infty$ grazie a tutti!!!
P.S.: Ponendo $A+B=0$ e $A+((1-p)/p)^N=1$ il testo fornisce il risultato, per $p\ne 1/2$\[q_i=\frac{1-\Big(\frac{1-p}{p}\Big)^i}{1-\Big(\frac{1-p}{p}\Big)^N}.\]
Soluzione che comprendo perfettamente alla luce della chiara dimostrazione che trovo qui, ma il procedimento per arrivare alla quale usato dal mio libro mi è totalmente incomprensibile...
Il libro (semidivulgativo ed usa poco formalismi matematici, faccio notare qualora servisse) sulla probabilità nei giochi che sto leggendo dice che, a parte i due casi banali $q_0=0$ (senza posta da scommettere non si può arrivare a $N$ euro) e $q_N=1$ (si hanno già $N$ euro), la probabilità di arrivare ad $N$ euro partendo da $i$ euro è\[q_i=(1-p)q_{i-1}+pq_{i+1}\]cioè la probabilità di perdere una volta e arrivarci ripartendo da $i-1$ euro sommata alla probabilità di vincere una volta e arrivarci partendo da $i+1$ euro, per fattorizzazione.
Ciò che non capisco è quello che dice dopo il libro: "il generico termine $q_i$ per rispettare la formula [quella di qui sopra] deve essere della forma $q_i=\alpha^i$ dove $\alpha$ è un parametro da determinare. Di conseguenza avremo $q_{i-1}=\alpha^{i-1}$ e $q_{i+1}=\alpha^{i+1}$".
Risolvendo quindi \(\alpha^i=(1-p)\alpha^{i-1}+p\alpha^{i+1}\) e trovando le due soluzioni non nulle $\alpha_1=1$ e $\alpha_2=(1-p)/p$, il testo continua dicendo che "vista la linearità della \(q_i=(1-p)q_{i-1}+pq_{i+1}\) ricorsiva otteniamo, per il principio di sovrapposizione, che la soluzione più generale possibile è di questo tipo: $q_i=A\alpha_1^i+B\alpha_2^i=A+B((1-p)/p)^i$ dove $A$ e $B$ sono due parametri da determinare attraverso le due condizioni $q_0=0$ e $q_N=1$"
Non capisco come dalla formula $q_i=(1-p)q_{i-1}+pq_{i+1}$ debba discendere, per qualche $\alpha$, che $q_i=\alpha^i$...
E tantomeno perché, in apparente contraddizione, si dice poi che $q_i=A\alpha_1^i+B\alpha_2^i$... Non doveva, il nostro $q_i$, essere l'$i$-esima potenza di un'$\alpha$ che risolva \(\alpha^i=(1-p)\alpha^{i-1}+p\alpha^{i+1}\), piuttosto che una combinazione lineare di due soluzioni?
Anche ammesso che ci sia un errore di stampa e che si intendesse che $q^i$ debba essere combinazione lineare di due $i$-esime potenze di due numeri, come si è ricavato questo?
Mi sa che mi sto perdendo in un bicchiere di algebra elementare...
$\infty$ grazie a tutti!!!
P.S.: Ponendo $A+B=0$ e $A+((1-p)/p)^N=1$ il testo fornisce il risultato, per $p\ne 1/2$\[q_i=\frac{1-\Big(\frac{1-p}{p}\Big)^i}{1-\Big(\frac{1-p}{p}\Big)^N}.\]
Soluzione che comprendo perfettamente alla luce della chiara dimostrazione che trovo qui, ma il procedimento per arrivare alla quale usato dal mio libro mi è totalmente incomprensibile...
Risposte
Ho capito: non tanto "il generico termine $ q_i $ per rispettare la formula deve essere della forma $ q_i=\alpha^i $", ma, per trovare le successioni che rispettino la ricorsione si può usare il polinomio caratteristico della ricorsione omogenea sostituendo $\alpha_k$ a $q_k$ per $k=i-1,...,i+1$, oggetto matematico di cui ignoravo l'esistenza fino a stasera e di cui ho letto con tantissimo interesse nel link riportato...
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