[Risolto]Dubbio esercizio distribuzione uniforme.

[lezan]

Se un numero aleatorio $X$ ha distribuzione uniforme in $[0,3]$ e mi chiede di calcolare la probabilità $P(2X + Y>=0)$, con $Y=1 - 3X$, io procedo in questo modo:
$P(2X + Y>=0)=P(2X + 1 - 3X >= 0)=P(1 - X >= 0 ) = P( X <= 1 )$, quindi dato che $1$ rientra in parte nell'intervallo $[0,3]$, la probabilità di tale evento è $K$, cioè $1/3$. Va bene?

Inoltre, se mi chiede di calcolare $P(XY>=0)$, come mi comporto? Se faccio così $=P(X - 3X^2 >=0) $ poi come si procede?

Grazie per le vostre eventuali risposte.

L.

[cenzo1]

"lezan":Se un numero aleatorio $X$ ha distribuzione uniforme in $[0,3]$ e mi chiede di calcolare la probabilità $P(2X + Y>=0)$, con $Y=1 - 3X$, io procedo in questo modo:
$P(2X + Y>=0)=P(2X + 1 - 3X >= 0)=P(1 - X >= 0 ) = P( X <= 1 )$, quindi dato che $1$ rientra in parte nell'intervallo $[0,3]$, la probabilità di tale evento è $K$, cioè $1/3$. Va bene?

Direi di si.

"lezan":Inoltre, se mi chiede di calcolare $P(XY>=0)$, come mi comporto? Se faccio così $=P(X - 3X^2 >=0) $ poi come si procede?

Tracci il grafico di \( X - 3X^2 \) per \( X \in [0,3] \) e vedi per quali \( X \) è positivo.
Risulterà per \( X \in [0,\frac{1}{3}] \), per cui la probabilità, in base alla uniforme, è \( \frac{1}{9} \).

In alternativa: dato che \( X \) non è mai negativa, si ha: \( P(XY \ge 0)=P(Y \ge 0) \).
Poi sfrutti il fatto che \( Y \) ha distribuzione uniforme su \( [-8,1] \).

[lezan]

"lezan":Inoltre, se mi chiede di calcolare $P(XY>=0)$, come mi comporto? Se faccio così $=P(X - 3X^2 >=0) $ poi come si procede?

Tracci il grafico di \( X - 3X^2 \) per \( X \in [0,3] \) e vedi per quali \( X \) è positivo.
Risulterà per \( X \in [0,\frac{1}{3}] \), per cui la probabilità, in base alla uniforme, è \( \frac{1}{9} \).[/quote]

Viene $1/9$ perché rientra nell'intervallo $[-1,8]$?

[cenzo1]

Nel primo metodo calcoli la probabilità, tenendo conto della variabile uniforme, come il rapporto tra le lunghezze degli intervalli:
\( \displaystyle \frac {\frac{1}{3}}{3}=\frac{1}{9} \)

[lezan]

"cenzo":Nel primo metodo calcoli la probabilità, tenendo conto della variabile uniforme, come il rapporto tra le lunghezze degli intervalli:
\( \displaystyle \frac {\frac{1}{3}}{3}=\frac{1}{9} \)

Credo di non aver mai visto questo metodo di applicazione. I limiti di un corso semestrale da 6 crediti di Probabilità (uno dei tanti, aggiungerei).

Quando è possibile applicarlo?

[cenzo1]

"lezan":Quando è possibile applicarlo?

Lo puoi appicare sempre nel caso di distribuzione uniforme.
La probabilità che X assuma un valore compreso in un intervallo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo.

Tra l'altro ci puoi arrivare integrando la pdf uniforme (costante) sull'intervallo di tuo interesse.

[lezan]

"cenzo":[quote="lezan"]Quando è possibile applicarlo?

Lo puoi appicare sempre nel caso di distribuzione uniforme.
La probabilità che X assuma un valore compreso in un intervallo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo.

Tra l'altro ci puoi arrivare integrando la pdf uniforme (costante) sull'intervallo di tuo interesse.[/quote]

Interessante, si risparmia un po' di tempo, rispetto al solito calcolo con l'integrale.

Nel caso si trattasse di vettore aleatorio con distribuzione uniforme, possiamo comportarci allo stesso modo, sostituendo la lunghezza con l'area?

[cenzo1]

"lezan":Nel caso si trattasse di vettore aleatorio con distribuzione uniforme, possiamo comportarci allo stesso modo, sostituendo la lunghezza con l'area?

Si, un classico esempio è il problema della moneta di Buffon.

[lezan]

Grazie cenzo.