[Risolto]Controllo esercizio probabilità condizionate
Vorrei sottoporvi questi esercizio e chiedere se il procedimento da me seguito è corretto.
Testo:
Si considerino tre lotto di 10 pezzi aventi, rispettivamente, 4 pezzi buoni e 6 difettosi, 3 buoni e 7 difettosi, 5 buon e 5 difettosi. Si sceglie a caso un lotto e da esso di estraggono senza restituzione 4 pezzi; sia $E="tutti i 4 pezzi estratti sono difettosi"$. Calcolare la probabilità $p$ che sia stato scelto il primo lotto supposto che siano stati estratti 4 pezzi difettosi. Stabilire se l'evento $E$ è stocasticamente indipendente dall'evento $A_1="si sceglie il primo lotto"$.
Dunque, io devo trovare $p=P(A_1|E)$.
So che $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3$.
Inoltre, $P(A_1|E)=(P(A_1)*P(E|A_1))/(P(E))$.
$P(E)=P(E nn \Omega)=P(E nn (A_1 uu A_2 uu A_3))=P((E nn A_1) uu (E nn A_2) uu (E nn A_3))$.
Ora, $P(E nn A_1) =P(E|A_1)*P(A_1)$.
$P(E nn A_2) =P(E|A_2)*P(A_2)$.
$P(E nn A_3) =P(E|A_3)*P(A_3)$.
Ma $P(E|A_1)=1/14$, $P(E|A_2)=1/7$, $P(E|A_4)=1/42$. Sono infatti tre ipergeometrica.
Quindi, $P(E)=5/63$.
Allora, $P(A_1|E)=3/10$.
Inoltre gli eventi $E$ ed $H$ non sono stocasticamente indipendenti dato che P(E|A_1)!=P(E)$.
Che ne dite, va bene?
Testo:
Si considerino tre lotto di 10 pezzi aventi, rispettivamente, 4 pezzi buoni e 6 difettosi, 3 buoni e 7 difettosi, 5 buon e 5 difettosi. Si sceglie a caso un lotto e da esso di estraggono senza restituzione 4 pezzi; sia $E="tutti i 4 pezzi estratti sono difettosi"$. Calcolare la probabilità $p$ che sia stato scelto il primo lotto supposto che siano stati estratti 4 pezzi difettosi. Stabilire se l'evento $E$ è stocasticamente indipendente dall'evento $A_1="si sceglie il primo lotto"$.
Dunque, io devo trovare $p=P(A_1|E)$.
So che $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3$.
Inoltre, $P(A_1|E)=(P(A_1)*P(E|A_1))/(P(E))$.
$P(E)=P(E nn \Omega)=P(E nn (A_1 uu A_2 uu A_3))=P((E nn A_1) uu (E nn A_2) uu (E nn A_3))$.
Ora, $P(E nn A_1) =P(E|A_1)*P(A_1)$.
$P(E nn A_2) =P(E|A_2)*P(A_2)$.
$P(E nn A_3) =P(E|A_3)*P(A_3)$.
Ma $P(E|A_1)=1/14$, $P(E|A_2)=1/7$, $P(E|A_4)=1/42$. Sono infatti tre ipergeometrica.
Quindi, $P(E)=5/63$.
Allora, $P(A_1|E)=3/10$.
Inoltre gli eventi $E$ ed $H$ non sono stocasticamente indipendenti dato che P(E|A_1)!=P(E)$.
Che ne dite, va bene?
Risposte
Bene 
, in pratica hai applicato il teorema di Bayes.
Questo però mi torna \( \displaystyle \frac{1}{6} \) (quindi devi rivedere anche i conti seguenti)
La dipendenza la puoi anche verificare con \( P(A_1|E) \ne P(A_1) \)
, in pratica hai applicato il teorema di Bayes."lezan":
$P(E|A_2)=1/7$.
Questo però mi torna \( \displaystyle \frac{1}{6} \) (quindi devi rivedere anche i conti seguenti)
La dipendenza la puoi anche verificare con \( P(A_1|E) \ne P(A_1) \)
"cenzo":
Bene
[quote="lezan"]$P(E|A_2)=1/7$.
Questo però mi torna \( \displaystyle \frac{1}{6} \) (quindi devi rivedere anche i conti seguenti)
La dipendenza la puoi anche verificare con \( P(A_1|E) \ne P(A_1) \)[/quote]
L'ho ricontrollato e mi viene sempre $1/7$, forse ho sbagliato l'ipergeometrica.
$P(E|A_2) = (((7),(4))*((3),(0)))/(((10),(4)))$
"lezan":
L'ho ricontrollato e mi viene sempre $1/7$, forse ho sbagliato l'ipergeometrica.
$P(E|A_2) = (((7),(4))*((3),(0)))/(((10),(4)))$
Se non ho fatto errori mi risulta:
\( \displaystyle \frac{ {7 \choose 4} \cdot {3 \choose 0} } {10 \choose 4} = \frac {35 \cdot 1}{210}=\frac{1}{6} \)
"cenzo":
[quote="lezan"]L'ho ricontrollato e mi viene sempre $1/7$, forse ho sbagliato l'ipergeometrica.
$P(E|A_2) = (((7),(4))*((3),(0)))/(((10),(4)))$
Se non ho fatto errori mi risulta:
\( \displaystyle \frac{ {7 \choose 4} \cdot {3 \choose 0} } {10 \choose 4} = \frac {35 \cdot 1}{210}=\frac{1}{6} \)[/quote]
Si, hai ragione, avevo scritto, al numeratore, $7 * 5 = 30$. Andiamo bene
Grazie tanto cenzo, sei stato gentilissimo.
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