[RISOLTO] Legge forte dei grandi numeri: dimostrazione
Buongiorno a tutti. Come da titolo, mi sto cimentando con lo studio di tale dimostrazione.
Dunque, lo scopo è mostrare che
$P( omega in Omega : lim(1/n S_n (omega)) = 1/2) =1$ dopo aver mostrato che tale insieme è numerabile.
Dimostrazione
Innanzitutto abbiamo mostrato il seguente lemma:
${omega in Omega :lim_(n rarr oo)(1/n S_n (omega)) = 1/2 } = {omega in Omega :lim_(m rarr oo)(1/(m^2) S_(m^2) (omega)) = 1/2 }$
(Non sto a postare quella dimostrazione -anche se in effetti in un punto non mi convince, ma ci ragionerò sopra ancora per conto mio prima di lanciare un SOS- perchè il problema vero mi sorge più avanti)
A questo punto lavoro quindi su questa quantità,
${omega in Omega :lim_(m rarr oo)(1/(m^2) S_(m^2) (omega)) = 1/2 }$.
Per la misurabilità facciamo riferimento alle definizioni di cilindri e misura prodotto, e anche qui ci siamo.
Poi inizio a ragionare sul complementare di tale quantità:
${omega in Omega :lim_(m rarr oo)(1/(m^2) S_(m^2) (omega)) = 1/2 }^C$
$={omega in Omega :lim sup_(m rarr oo) |(1/(m^2) S_(m^2) (omega)) - 1/2| > 0 }$ e va bene;
$=nnn_(1 1/k }$ e qui proprio non capisco.
A me verrebbe da scrivere un'unione, non un'intersezione! Magari sto dando i numeri, o mi sta fumando il cervellino perchè sono troppe ore che ci sono sopra, ma mi viene il seguente ragionamento.
Io voglio l'insieme delle sequenze $omega$ per cui quella quantità è maggiore di 0.
Se prendo k =1 ho l'insieme delle sequenze per cui la quantità è maggiore di 1.
Se prendo invece k=2, l'insieme prende le sequenze per cui la quantità è maggiore di 1/2 ma non necessariamente di 1.
Iterando prendo insiemi sempre più grandi (è logico che se una quantità è maggiore di 1/2 è maggiore anche di 17£ ma non viceversa). Se faccio l'intersezione ottengo l'insieme più piccolo, cioè quelle maggiori di 1...o sbaglio?
Scusate, magari ho scritto una sciocchezza...mi potete aiutare?
Grazie e, vista l'ora, buon appetito!
Ps Non ho riportato alcune definizioni, che ho magari erroneamente date per scontate. Se secondo voi è necessario che le aggiunga, lo faccio, e, anzi, mi scuso per l'incompletezza.
PPS quei lim strani dovrebbero essere dei limsup...non so come metterli. Suggerimenti?
Dunque, lo scopo è mostrare che
$P( omega in Omega : lim(1/n S_n (omega)) = 1/2) =1$ dopo aver mostrato che tale insieme è numerabile.
Dimostrazione
Innanzitutto abbiamo mostrato il seguente lemma:
${omega in Omega :lim_(n rarr oo)(1/n S_n (omega)) = 1/2 } = {omega in Omega :lim_(m rarr oo)(1/(m^2) S_(m^2) (omega)) = 1/2 }$
(Non sto a postare quella dimostrazione -anche se in effetti in un punto non mi convince, ma ci ragionerò sopra ancora per conto mio prima di lanciare un SOS- perchè il problema vero mi sorge più avanti)
A questo punto lavoro quindi su questa quantità,
${omega in Omega :lim_(m rarr oo)(1/(m^2) S_(m^2) (omega)) = 1/2 }$.
Per la misurabilità facciamo riferimento alle definizioni di cilindri e misura prodotto, e anche qui ci siamo.
Poi inizio a ragionare sul complementare di tale quantità:
${omega in Omega :lim_(m rarr oo)(1/(m^2) S_(m^2) (omega)) = 1/2 }^C$
$={omega in Omega :lim sup_(m rarr oo) |(1/(m^2) S_(m^2) (omega)) - 1/2| > 0 }$ e va bene;
$=nnn_(1
A me verrebbe da scrivere un'unione, non un'intersezione! Magari sto dando i numeri, o mi sta fumando il cervellino perchè sono troppe ore che ci sono sopra, ma mi viene il seguente ragionamento.
Io voglio l'insieme delle sequenze $omega$ per cui quella quantità è maggiore di 0.
Se prendo k =1 ho l'insieme delle sequenze per cui la quantità è maggiore di 1.
Se prendo invece k=2, l'insieme prende le sequenze per cui la quantità è maggiore di 1/2 ma non necessariamente di 1.
Iterando prendo insiemi sempre più grandi (è logico che se una quantità è maggiore di 1/2 è maggiore anche di 17£ ma non viceversa). Se faccio l'intersezione ottengo l'insieme più piccolo, cioè quelle maggiori di 1...o sbaglio?
Scusate, magari ho scritto una sciocchezza...mi potete aiutare?
Grazie e, vista l'ora, buon appetito!
Ps Non ho riportato alcune definizioni, che ho magari erroneamente date per scontate. Se secondo voi è necessario che le aggiunga, lo faccio, e, anzi, mi scuso per l'incompletezza.
PPS quei lim strani dovrebbero essere dei limsup...non so come metterli. Suggerimenti?
Risposte
Cosa intendi con lim ed il segno di inclusione dove compemlementi?
Tralasciando il quadrato (in poche parole lavori su una sottosuccessione) e anche la scrittura degli omega
hai che [tex]lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n-1/2=0[/tex]
da definizione [tex]\forall \varepsilon >0 \quad \exists m>0 \quad | \quad \forall n>m \qquad |Z_n|< \varepsilon[/tex]
(ho chiamato con Z la successione di cui ne fai il limite che tende a 0)
Discretizzando sulla epsilon e cambiando i quantificatori con unioni ed intersezioni hai:
[tex]\bigcap_{k > 0} \bigcup_{m>0} \bigcap_{n>m} |Z_n|<\frac{1}{k}[/tex]
se ora lo compementi ottieni:
[tex]\bigcup_{k > 0} \bigcap_{m>0} \bigcup_{n>m} |Z_n| \geq \frac{1}{k}[/tex]
e se vuoi tornare ai quantificatori lo riscrivi come:
[tex]\bigcup_{k > 0} \quad \forall m>0 \quad \exists n>m \quad \text{tale che} \quad |Z_n| \geq \frac{1}{k}[/tex]
Tralasciando il quadrato (in poche parole lavori su una sottosuccessione) e anche la scrittura degli omega
hai che [tex]lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n-1/2=0[/tex]
da definizione [tex]\forall \varepsilon >0 \quad \exists m>0 \quad | \quad \forall n>m \qquad |Z_n|< \varepsilon[/tex]
(ho chiamato con Z la successione di cui ne fai il limite che tende a 0)
Discretizzando sulla epsilon e cambiando i quantificatori con unioni ed intersezioni hai:
[tex]\bigcap_{k > 0} \bigcup_{m>0} \bigcap_{n>m} |Z_n|<\frac{1}{k}[/tex]
se ora lo compementi ottieni:
[tex]\bigcup_{k > 0} \bigcap_{m>0} \bigcup_{n>m} |Z_n| \geq \frac{1}{k}[/tex]
e se vuoi tornare ai quantificatori lo riscrivi come:
[tex]\bigcup_{k > 0} \quad \forall m>0 \quad \exists n>m \quad \text{tale che} \quad |Z_n| \geq \frac{1}{k}[/tex]
Ciao.
Innanzitutto grazie per la risposta.
Caspita, quelli sono limsup mal riusciti (non so quale sia il codice corretto...)
Io avevo ragionato in modo più terra terra temo (quando cerco di capire dimostrazioni e passaggi vari cerco sempre di schematizzare o trovare esempi, sennò le cose non mi rimangono in testa
).
Ma quindi l'uguaglianza è con l'unione e non l'intersezione o ho capito male?
Sia sugli appunti a lezione sia sulle dispense del professore, in quel passaggio compare un'intersezione.
Scusa, ho la testa dura
Innanzitutto grazie per la risposta.
Caspita, quelli sono limsup mal riusciti (non so quale sia il codice corretto...)
Io avevo ragionato in modo più terra terra temo (quando cerco di capire dimostrazioni e passaggi vari cerco sempre di schematizzare o trovare esempi, sennò le cose non mi rimangono in testa
).Ma quindi l'uguaglianza è con l'unione e non l'intersezione o ho capito male?
Sia sugli appunti a lezione sia sulle dispense del professore, in quel passaggio compare un'intersezione.
Scusa, ho la testa dura
Unione. Però visto che lo hai sulle slide e sugli appunti ti invito a chiederlo direttamente al prof.
Comunque vuoi dimostrare che [tex]lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n-1/2=0[/tex] ha probabilità 1.
Questo equivale a dimoistrare che il complemento ha probabilità 0.
Il complemento è l'evento che ti ho scritto prima (che chiamo con A):
[tex]\bigcup_{k > 0} \bigcap_{m>0} \bigcup_{n>m} |Z_n| \geq \frac{1}{k}[/tex]
Nota che la seconda e terza intersezione definiscono il lim sup (in n) di [tex]|Z_n| \geq \frac{1}{k}[/tex]
quindi [tex]A=\bigcup_{k>0} \lim \sup |Z_n| \geq \frac{1}{k}[/tex].
Ora la probabilità di quell'unione è minore o uguale alla somma dela probabilità ovvero:
[tex]P(A)\leq \sum_{k>0}P(\lim \sup |Z_n| \geq \frac{1}{k})[/tex]
Ora qua sfrutti Borel Cantelli (ed è qua che ti serve passare alla sottosuccessione dei quadrati)
per concludere che ogni addendo è pari a 0.
Comunque vuoi dimostrare che [tex]lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n-1/2=0[/tex] ha probabilità 1.
Questo equivale a dimoistrare che il complemento ha probabilità 0.
Il complemento è l'evento che ti ho scritto prima (che chiamo con A):
[tex]\bigcup_{k > 0} \bigcap_{m>0} \bigcup_{n>m} |Z_n| \geq \frac{1}{k}[/tex]
Nota che la seconda e terza intersezione definiscono il lim sup (in n) di [tex]|Z_n| \geq \frac{1}{k}[/tex]
quindi [tex]A=\bigcup_{k>0} \lim \sup |Z_n| \geq \frac{1}{k}[/tex].
Ora la probabilità di quell'unione è minore o uguale alla somma dela probabilità ovvero:
[tex]P(A)\leq \sum_{k>0}P(\lim \sup |Z_n| \geq \frac{1}{k})[/tex]
Ora qua sfrutti Borel Cantelli (ed è qua che ti serve passare alla sottosuccessione dei quadrati)
per concludere che ogni addendo è pari a 0.
Ti ringrazio di nuovo.
Ho scritto ora al prof: non l'avevo ancora fatto perché, da una parte mi dispiaceva disturbarlo, e in ogni caso non ero sicura della bontà della mia idea. Effettivamente non mi fido mai molto del mio istinto o delle mie intuizioni.
Ho provato a dare un'occhiata anche al prosieguo della dimostrazione, anche se non ancora approfonditamente in quanto attendo nuove dal prof.
Mi sembra leggermente diversa, anche perché, in ogni caso, Borel-Cantelli l'abbiamo fatto in un momento successivo del corso, quindi non l'abbiamo utilizzato qui.
Ti saprò dire comunque quando l'avrò compresa e studiata come si deve, e ti farò sapere cosa mi risponde il docente.
Nel frattempo grazie ancora.
Buon pomeriggio.
Ho scritto ora al prof: non l'avevo ancora fatto perché, da una parte mi dispiaceva disturbarlo, e in ogni caso non ero sicura della bontà della mia idea. Effettivamente non mi fido mai molto del mio istinto o delle mie intuizioni.
Ho provato a dare un'occhiata anche al prosieguo della dimostrazione, anche se non ancora approfonditamente in quanto attendo nuove dal prof.
Mi sembra leggermente diversa, anche perché, in ogni caso, Borel-Cantelli l'abbiamo fatto in un momento successivo del corso, quindi non l'abbiamo utilizzato qui.
Ti saprò dire comunque quando l'avrò compresa e studiata come si deve, e ti farò sapere cosa mi risponde il docente.
Nel frattempo grazie ancora.
Buon pomeriggio.
Ho avuto conferma dal prof: l'intersezione è da sostituirsi con un'unione.
Grazie a DajeForte per l'aiuto.
Grazie a DajeForte per l'aiuto.
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