[Risolto] Funzione di densità di una funzione.
Un saluto a tutti.
Espongo il mio problema:
Ho una variabile $t$ che segue una legge esponeziale con densità
$f_T(t)=\alpha e^{-\alpha t}$.
Devo trovare la funzione di densità $f_Y(y)$ della funzione
$y=[log\frac{e^t}{e^t-1}]^\frac{1}{2}$
La mia soluzione è la seguente:
Determino la funzione di densita utilizzando
$f_Y(y)=f_T(g^{-1}(y))|\frac{d}{dy}g^-1(y)|$
Per cui prima mi ricavo l'inversa della funzione $g^-1(y)$:
$t=log\frac{e^{y^{2}}}{e^{y^{2}}-1} = y^2-log(e^{y^{2}}-1)$
e poi calcolo la sua derivata prima $frac{d}{dy}g^-1(y)$
$frac{d}{dy}g^-1(y)=-frac{2y}{e^{y^{2}}-1}$
Fino a qui penso/spero di non avere commesso errori.
Ora calcolo $f_Y(y)=f_T(g^{-1}(y))|\frac{d}{dy}g^-1(y)|$
$f_Y(y)=\alpha e^{-\alpha(y^{2}-log(e^{y^{2}}-1))}\frac{2y}{e^{y^{2}}-1}$
Procedendo con un po' di semplificazioni arrivo alla seguente formula:
$2y\alpha e^{-\alpha y^{2}}(e^{y^{2}}-1)^{\alpha-1}$
Mentre la prof arriva alla seguente conclusione:
$2y\alpha e^{-y^{2}}(1-e^{y^{2}})^{\alpha-1}$
Ho omesso alcuni passaggi ma se vi servono posso inserirli.
Qualcuno mi sa aiutare e dirmi dove sbaglio?
Ringrazio già da ora anche chi avrà avuto la pazienza di leggere tutto questo post.
Espongo il mio problema:
Ho una variabile $t$ che segue una legge esponeziale con densità
$f_T(t)=\alpha e^{-\alpha t}$.
Devo trovare la funzione di densità $f_Y(y)$ della funzione
$y=[log\frac{e^t}{e^t-1}]^\frac{1}{2}$
La mia soluzione è la seguente:
Determino la funzione di densita utilizzando
$f_Y(y)=f_T(g^{-1}(y))|\frac{d}{dy}g^-1(y)|$
Per cui prima mi ricavo l'inversa della funzione $g^-1(y)$:
$t=log\frac{e^{y^{2}}}{e^{y^{2}}-1} = y^2-log(e^{y^{2}}-1)$
e poi calcolo la sua derivata prima $frac{d}{dy}g^-1(y)$
$frac{d}{dy}g^-1(y)=-frac{2y}{e^{y^{2}}-1}$
Fino a qui penso/spero di non avere commesso errori.
Ora calcolo $f_Y(y)=f_T(g^{-1}(y))|\frac{d}{dy}g^-1(y)|$
$f_Y(y)=\alpha e^{-\alpha(y^{2}-log(e^{y^{2}}-1))}\frac{2y}{e^{y^{2}}-1}$
Procedendo con un po' di semplificazioni arrivo alla seguente formula:
$2y\alpha e^{-\alpha y^{2}}(e^{y^{2}}-1)^{\alpha-1}$
Mentre la prof arriva alla seguente conclusione:
$2y\alpha e^{-y^{2}}(1-e^{y^{2}})^{\alpha-1}$
Ho omesso alcuni passaggi ma se vi servono posso inserirli.
Qualcuno mi sa aiutare e dirmi dove sbaglio?
Ringrazio già da ora anche chi avrà avuto la pazienza di leggere tutto questo post.
Risposte
"dalca":
Procedendo con un po' di semplificazioni arrivo alla seguente formula:
$2y\alpha e^{-\alpha y^{2}}(e^{y^{2}}-1)^{\alpha-1}$
ok, mi risulta uguale e pure converge.
Mentre la prof arriva alla seguente conclusione:
$2y\alpha e^{-y^{2}}(1-e^{y^{2}})^{\alpha-1}$
se si integra con $\alpha$ costante non converge, quindi ho dei dubbi sulla corretta trascrizione oppure definizione. La docente ha imposto qualche condizione di validità?
Grazie per la risposta,
effettivamente manca un segno alla $y$ all'esponente, la forma corretta data dalla prof è:
$2yα e^{−y^{2}}(1−e^{-y^{2}})^{α−1}$
Inoltre ha posto $y>0$ e $\alpha > 0$
Altre condizioni non ne ha poste.
effettivamente manca un segno alla $y$ all'esponente, la forma corretta data dalla prof è:
$2yα e^{−y^{2}}(1−e^{-y^{2}})^{α−1}$
Inoltre ha posto $y>0$ e $\alpha > 0$
Altre condizioni non ne ha poste.
"dalca":
Grazie per la risposta,
effettivamente manca un segno alla $y$ all'esponente, la forma corretta data dalla prof è:
$2yα e^{−y^{2}}(1−e^{-y^{2}})^{α−1}$
Inoltre ha posto $y>0$ e $\alpha > 0$
Altre condizioni non ne ha poste.
ok ora mi torna e pure converge.
Sono passaggi algebrici, nulla di più. Togliamo i fattori superflui per i conti:
$2ay*e^(-y^2)(1-e^(-y^2))^(a-1) -> e^(-y^2)((e^(y^2)-1)/e^(y^2))^(a-1) -> e^(-y^2)e^((-y^2)^(a-1))(e^(y^2)-1)^(a-1) ->$
$e^(-y^2)e^(-ay^2)/e^(-y^2)(e^(y^2)-1)^(a-1) -> 2ay *e^(-ay^2)(e^(y^2)-1)^(a-1)$ come si voleva.
Ci ho perso ore nel tentare di trovare la soluzione.
Grazie mille hamming_burst!
Grazie mille hamming_burst!
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