Riflessione su Variabili Aleatorie
Vorrei chiedervi cortesemente dei chiarimenti riguardo il concetto di variabile aleatoria.
Definizione rigorosa che io conosco:
Si definisce var. Al. un'applicazione \(\displaystyle X:\Omega \rightarrow R \) tale che , per ogni \(\displaystyle t \in R \), l'insieme \(\displaystyle \{w,X(w) \leq t\} \) sia un evento (faccia parte di una Sigma-algebra insomma).
Ora il mio dubbio scaturisce forse più nel nome che nella definizione. Variabile aleatoria significa variabile casuale, giusto? Ma qui di casuale cosa c'è ? Dopo tutto la variabile aleatoria è una funzione " \(\displaystyle X:\Omega \rightarrow R \) tale che ..." quindi dato in "input" un evento ti restituisce come "output" un numero BEN DEFINITO.
Nella mia testa una variabile casuale dovrebbe essere un'entità che dato un input non genera un output ben definito a priori.
Ovviamente c'è qualche ragionamento sbagliato nel mio discorso, vi chiedo se è possibile anche degli esempi per spiegarmi bene tutto ciò.
Vi ringrazio come sempre!
Definizione rigorosa che io conosco:
Si definisce var. Al. un'applicazione \(\displaystyle X:\Omega \rightarrow R \) tale che , per ogni \(\displaystyle t \in R \), l'insieme \(\displaystyle \{w,X(w) \leq t\} \) sia un evento (faccia parte di una Sigma-algebra insomma).
Ora il mio dubbio scaturisce forse più nel nome che nella definizione. Variabile aleatoria significa variabile casuale, giusto? Ma qui di casuale cosa c'è ? Dopo tutto la variabile aleatoria è una funzione " \(\displaystyle X:\Omega \rightarrow R \) tale che ..." quindi dato in "input" un evento ti restituisce come "output" un numero BEN DEFINITO.
Nella mia testa una variabile casuale dovrebbe essere un'entità che dato un input non genera un output ben definito a priori.
Ovviamente c'è qualche ragionamento sbagliato nel mio discorso, vi chiedo se è possibile anche degli esempi per spiegarmi bene tutto ciò.
Vi ringrazio come sempre!
Risposte
"luca66":
(faccia parte di una Sigma-algebra insomma).
Non di "una" qualunque ma bensì della Sigma-algebra associata allo spazio campionario.
La mia sensazione è che tu confonda la formalizzazione matematica con i concetti.
Supponiamo che lo spazio campionario sia composto da un unico evento possibile...sarebbe una variabile casuale?
In matematica ovviamente le formulazioni devono essere rigorose, pertanto occorre comunque fornire una definizione coerente e completa di un oggetto. Prendiamo il caso di cui sopra, discreto e finito. L'applicazione (dotata di una misura) quindi associerà un valore ad ogni possibile sottoinsieme della sigma-algebra....come? prendendo casi favorevoli/casi possibili.
Questo rapporto è una probabilità intesa come misura ma è una probabilità?
Intendo dire, il rapporto casi favorevoli/casi totali è sinonimo del concetto stesso di probabilità?
Non confondere mai i concetti con i formalismi!
Grazie per la risposta!
Si assolutamente intendevo la sigma-algebra associata allo spazio campionario.
Cosa intendi per confondere il concetto con il formalismo? Dato un concetto determino un formalismo che lo descrive in modo rigoroso, quindi il formalismo esiste perché esiste anche il concetto. Guardiamo il concetto di infinito ad esempio, esso è ben formalizzato con la definizione di limite e tutto ciò che ne segue (sto parlando in modo semplicistico, sia chiaro).
Quindi in sostanza data questa definizione di Variabile Aleatoria non riesco a ricavarne il senso di "aleatorio/casuale".. forse proprio perché magari non capisco il concetto dietro questo formalismo, bensì voglio associargliene un altro.
Allora forse dovrei chiederti quale è il significato intuitivo di questa?
\(\displaystyle X:\Omega \rightarrow R \) tale che, \(\displaystyle \forall t \in R \), \(\displaystyle \{w: X(w)≤t\} \)
Esempio
Lancio del dado (che considero per finta un evento casuale) e associo il numero della faccia uscita alla mia variabile aleatoria
\(\displaystyle X \in \{1,2,3,4,5,6\} \)
ho quindi \(\displaystyle 1 \rightarrow 1 \\2 \rightarrow 2 \\3 \rightarrow 3 \\4 \rightarrow 4 \\5 \rightarrow 5 \\6 \rightarrow 6 \\\)
\(\displaystyle X \) mi associa un evento ad un numero
Prendo una \(\displaystyle t \), ad esempio \(\displaystyle t=3 \)
data \(\displaystyle \{w:X(w)≤t\} \)
ottengo l'insieme \(\displaystyle \{1,2,3\} \)
Ripeto so che sto facendo confusione io, un esempio ben posto credo mi possa far capire
Si assolutamente intendevo la sigma-algebra associata allo spazio campionario.
Cosa intendi per confondere il concetto con il formalismo? Dato un concetto determino un formalismo che lo descrive in modo rigoroso, quindi il formalismo esiste perché esiste anche il concetto. Guardiamo il concetto di infinito ad esempio, esso è ben formalizzato con la definizione di limite e tutto ciò che ne segue (sto parlando in modo semplicistico, sia chiaro).
Quindi in sostanza data questa definizione di Variabile Aleatoria non riesco a ricavarne il senso di "aleatorio/casuale".. forse proprio perché magari non capisco il concetto dietro questo formalismo, bensì voglio associargliene un altro.
Allora forse dovrei chiederti quale è il significato intuitivo di questa?
\(\displaystyle X:\Omega \rightarrow R \) tale che, \(\displaystyle \forall t \in R \), \(\displaystyle \{w: X(w)≤t\} \)
Esempio
Lancio del dado (che considero per finta un evento casuale) e associo il numero della faccia uscita alla mia variabile aleatoria
\(\displaystyle X \in \{1,2,3,4,5,6\} \)
ho quindi \(\displaystyle 1 \rightarrow 1 \\2 \rightarrow 2 \\3 \rightarrow 3 \\4 \rightarrow 4 \\5 \rightarrow 5 \\6 \rightarrow 6 \\\)
\(\displaystyle X \) mi associa un evento ad un numero
Prendo una \(\displaystyle t \), ad esempio \(\displaystyle t=3 \)
data \(\displaystyle \{w:X(w)≤t\} \)
ottengo l'insieme \(\displaystyle \{1,2,3\} \)
Ripeto so che sto facendo confusione io, un esempio ben posto credo mi possa far capire
Boh, secondo me non sai nemmeno tu cosa cerchi.
Hai scritto che consideri il lancio di un dado un finto evento casuale e già qua forse c'è un indizio su cosa non ti è chiaro...e francamente non capisco quale possa essere dato che E' un evento casuale.
Poi non concludi l'esempio ma non associ una misura assumendo una distribuzione iniziale delle prob di uscita di ogni singola faccia (e qui invece avresti trovato un problema concettuale)
Ho ipotizzato che tu avessi problemi a vedere il concetto di probabilità in tutto questo e quindi ti ho fatto notare appunto i due "difetti" della formalizzazione assiomatica di Kolmogorov.
Quindi abbiamo un sistema formale e potente ma che non dice nulla sul concetto stesso di probabilità.
E tu, curiosamente, gli hai contrapposto invece l'esempio contrario! Hai affermato (anche se con cautela) che il concetto di infinito è ben formalizzato! Ma se sono secoli che i matematici sanno che il concetto di limite conduce a incoerenze logiche tanto che ancora oggi ci sono matematici che sviluppano (a loro dire) una matematica completa ed efficiente che non faccia uso di infiniti e infinitesimi? E proprio invece il concetto di limite a non trovare una definizione rigorosa per lo standard matematico! Per come la vedo io, la definizione di limite di Cauchy è puro genio e senza di essa non sarebbe possibile tornare dal discreto al continuo, anzi è essa stessa la definizione di continuità: però va presa in senso assiomatico e gli eventuali maldipancia (=conseguenze) sono un piccolissimo prezzo da pagare rispetto alla sua immensa utilità.
Riassumendo, se il dubbio fosse stato Non vedo il concetto di probabilità nel formalismo era ok.
Ma dire che non vedi l'eleganza della formalizzazione assiomatica di kolmogorov nel definire una variabile aleatoria solo per feeling, non ha senso compiuto.
Hai scritto che consideri il lancio di un dado un finto evento casuale e già qua forse c'è un indizio su cosa non ti è chiaro...e francamente non capisco quale possa essere dato che E' un evento casuale.
Poi non concludi l'esempio ma non associ una misura assumendo una distribuzione iniziale delle prob di uscita di ogni singola faccia (e qui invece avresti trovato un problema concettuale)
Ho ipotizzato che tu avessi problemi a vedere il concetto di probabilità in tutto questo e quindi ti ho fatto notare appunto i due "difetti" della formalizzazione assiomatica di Kolmogorov.
Quindi abbiamo un sistema formale e potente ma che non dice nulla sul concetto stesso di probabilità.
E tu, curiosamente, gli hai contrapposto invece l'esempio contrario! Hai affermato (anche se con cautela) che il concetto di infinito è ben formalizzato! Ma se sono secoli che i matematici sanno che il concetto di limite conduce a incoerenze logiche tanto che ancora oggi ci sono matematici che sviluppano (a loro dire) una matematica completa ed efficiente che non faccia uso di infiniti e infinitesimi? E proprio invece il concetto di limite a non trovare una definizione rigorosa per lo standard matematico! Per come la vedo io, la definizione di limite di Cauchy è puro genio e senza di essa non sarebbe possibile tornare dal discreto al continuo, anzi è essa stessa la definizione di continuità: però va presa in senso assiomatico e gli eventuali maldipancia (=conseguenze) sono un piccolissimo prezzo da pagare rispetto alla sua immensa utilità.
Riassumendo, se il dubbio fosse stato Non vedo il concetto di probabilità nel formalismo era ok.
Ma dire che non vedi l'eleganza della formalizzazione assiomatica di kolmogorov nel definire una variabile aleatoria solo per feeling, non ha senso compiuto.
No scherziamo non ho detto che non ammiro l'eleganza della formalizzazione assiomatica ne tanto meno che sia sbagliato il concetto di variabile aleatoria, semmai non riesco a trovare un appiglio intuitivo della stessa. Non di meno ammiro l'enorme genio di Cauchy riguardo la sua definizione.
Io non ho una vasta conoscenza matematica, anzi non sapevo che la definizione di limite portava incoerenze logiche appunto perché il mio sapere matematico è assai limitato.
Quello che cerco è capire se una variabile aleatoria è la formalizzazione del concetto di "caso" nel senso che dato un input non so che output ricevo (anche se magari conosco l'immagine dove il mio output pesca), oppure non centra nulla
Per quanto riguarda la mia visione sul dado, beh è molto semplice. Il dado è soggetto a leggi fisiche come qualsiasi altro oggetto di cui si studia il moto, non vedo perché il lancio di un dado dovrebbe essere un evento fisico privo di una legge deterministica e quindi casuale.
L'esempio non era incompleto, ti volevo mostrare cosa la definizione mi tira fuori, ovvero un risultato preciso deterministico. (P.S. è qui che suppongo ci sia il mio errore, è proprio in questa mia visione che sbaglio, sono quasi sicuro. Ecco diciamo che voglio comprendere il risultato che mi esce da quell'esempio)
Ah inoltre ho ben capito che questo sistema formale non ci dice nulla sul concetto di probabilità, su questo oramai mi sono ben spaccato la testa
Non chiedo infatti informazioni sul concetto di probabilità.
Io non ho una vasta conoscenza matematica, anzi non sapevo che la definizione di limite portava incoerenze logiche appunto perché il mio sapere matematico è assai limitato.
Quello che cerco è capire se una variabile aleatoria è la formalizzazione del concetto di "caso" nel senso che dato un input non so che output ricevo (anche se magari conosco l'immagine dove il mio output pesca), oppure non centra nulla
Per quanto riguarda la mia visione sul dado, beh è molto semplice. Il dado è soggetto a leggi fisiche come qualsiasi altro oggetto di cui si studia il moto, non vedo perché il lancio di un dado dovrebbe essere un evento fisico privo di una legge deterministica e quindi casuale.
L'esempio non era incompleto, ti volevo mostrare cosa la definizione mi tira fuori, ovvero un risultato preciso deterministico. (P.S. è qui che suppongo ci sia il mio errore, è proprio in questa mia visione che sbaglio, sono quasi sicuro. Ecco diciamo che voglio comprendere il risultato che mi esce da quell'esempio)
Ah inoltre ho ben capito che questo sistema formale non ci dice nulla sul concetto di probabilità, su questo oramai mi sono ben spaccato la testa
Non chiedo infatti informazioni sul concetto di probabilità.
"luca66":
Quello che cerco è capire se una variabile aleatoria è la formalizzazione del concetto di "caso" nel senso che dato un input non so che output ricevo ...
Da perfetto profano: no, è l'input che è casuale non l'output; semplicemente si "censiscono" gli eventi in input e si "formalizzano" in un numero cosicchè POI si possa lavorare con "normali" funzioni, che è più facile ...
Non so se si è capito il concetto ...
...IMHOCordialmente, Alex
"axpgn":
Da perfetto profano: no, è l'input che è casuale non l'output; semplicemente si "censiscono" gli eventi in input e si "formalizzano" in un numero cosicchè POI si possa lavorare con "normali" funzioni..
Infatti non mi tornava che questa formalizzazione descrivesse quel fatto da me descritto
L'aggettivo "aleatoria" dato alla variabile non significa che ci sia un nesso casuale tra input e output (e ci mancherebbe ... ) ma che la variabile "dipende", "nasce", "scaturisce", "è legata (biunivocamente)" ad un evento casuale, aleatorio.
Molto bene ora comincio a vedere un po' di luce, infatti dissi inizialmente che il problema era forse più legato al nome che alla formalizzazione in se. Qui mi sorge un altro dubbio perché invece una variabile che assume solo un valore come immagine è detta deterministica?
Non mi è ben chiaro il contesto nel quale nasce la domanda quindi anche qui da profano dico che per prima cosa questa è la proprietà caratterizzante le funzioni e che l'aggettivo "deterministica" mi pare ovvio in quanto se le immagini fossero più di una il "risultato" dell'applicazione di una funzione non sarebbe univocamente determinato ... IMHO
"luca66":
Quello che cerco è capire se una variabile aleatoria è la formalizzazione del concetto di "caso" nel senso che dato un input non so che output ricevo (anche se magari conosco l'immagine dove il mio output pesca), oppure non centra nulla
Ma no! La formalizzazione in se è chiarissima. Creo uno spazi degli eventi possibili e lo associo con una sigma-algebra esattamente come hai fatto te nell'esempio. Poi introduco una misura (che soddisfi due requisiti in croce) per poter assegnare un valore ad ogni singolo sottoinsieme della sigma-algebra e la chiamo probabilità.
In tutto questo però è arbitraria sia la scelta dello spazio degli eventi iniziali (che potrebbe benisismo non essere esaustiva) che l'implita assegnazione di probabilità iniziali agli eventi che lo compongono (che quasi sempre è del tipo "sono equiprobabili", ovvero la cosidetta situazione di completa ignoranza). E' questa arbitrarietà stessa che nasconde il concetto di probabilità (e qui devi rifletterci!). La formalizzazione invece è obbligata oppure stiamo fermi e non facciamo nulla, no? Per quanto possa schifare i matematici, la formalizzazione in se è "strumentale" al concetto di probabilità. Un matematico invece vede solo "toh una applicazione a cui hanno assegnato una misura quindi applico questo e quel teorema pincopallo etc etc" e sarà totalmente indifferente a tutto il resto. Esci dalla scatola che è il formalismo matematico!
"luca66":
Per quanto riguarda la mia visione sul dado, beh è molto semplice. Il dado è soggetto a leggi fisiche come qualsiasi altro oggetto di cui si studia il moto, non vedo perché il lancio di un dado dovrebbe essere un evento fisico privo di una legge deterministica e quindi casuale.
O mio dio, sei rimasto al 1850 a far compagnia a Quetelet
Questo è un argomento che mi ha appasionato e mi appassiona tuttora ma è vastissimo e stiamo già abusando del forum.
Però, permettemi di dirti che il dibattito fra determinismo e indeterminismo (per quanto ancora vivo e vegeto) oramai vede i deterministi in un angolo da decenni. La visione di un universo ad orologeria (col tempo reversibile!) è roba davvero dell'ottocento. Ti conviene cambiare visione del mondo e pensare a qualsiasi evento come una variabile aleatoria. Alcune hanno una variabilità estremamente bassa e un dominio di tempo molto grande e quindi prestano bene ad essere descritte da modelli deterministici, mentre la stragrande parte degli eventi ha una variabilità immensa e un odminio di tempo brevissimo e in essi emerge la necessità di descriverli in modo statistico. Fondamentalmente l'universo è casuale e tutta la nostra conoscenza è legata al sottile filo della regolarità (come scrisse Pirandello citando Cartesio). Alcune cose sono più regolari di altre e in passato ci piaceva molto pensare che eventuali discrepanze fossero solo errori di misurazione. Cosa che non solo non è ma che può portare a cecità colossali. Faccio un esempio. Immagina che nel 800 fossero in grado di misurare con una enorme precisione il tempo e che potessero condurre anche test raffinati e tecnologicamente avanzati. Avendo a disposizione solo la meccanica newtoniana, se avessero condotto un test per misurare il tempo soggettivo in condizioni estreme, avrebbero ottenuto risultati la cui discrepanza sarebbe stata così piccola che avrebbe condotto al seguente ragionamento E' dovuto all'errore di misura ed è compatibile con esso mentre invece sappiamo benissimo che il medesimo fenomeno ha una spiegazione relativistica. Imputare anche dispcrepanze infinitesimali solo e unicamente al caso non è davvero un paradigma mentale che porta a nuove scoperte. No?
"luca66":
Ah inoltre ho ben capito che questo sistema formale non ci dice nulla sul concetto di probabilità, su questo oramai mi sono ben spaccato la testa
Per la verità era proprio quello il punto su cui volevo che riflettessi e magari che mi ponessi qualche domanda...ma non ti ha impressionato neanche un poco LOL
Riguardo la probabilità non credere, ma ho in passato aperto un post a riguardo perché ero pieno di domande. Quel periodo feci infinite ricerche su internet per trovare un risposta e sono giunto ora come ora a capire che nessuno sa cosa significhi nonostante ci siano diverse definizioni.
Riguardo il determinismo mi fa piacere che mi hai fatto notare questa mia lacuna, vorrei veramente discuterne a fondo e capirne di più. Molto di più.
Infine non capisco il tuo odio verso i matematici e il formalismo, sempre se non ho capito male!
Riguardo il determinismo mi fa piacere che mi hai fatto notare questa mia lacuna, vorrei veramente discuterne a fondo e capirne di più. Molto di più.
Infine non capisco il tuo odio verso i matematici e il formalismo, sempre se non ho capito male!
"Bokonon":
E' questa arbitrarietà stessa che nasconde il concetto di probabilità(e qui devi rifletterci!)
Credo che qui tu ti stia riferendo o all'approccio soggettivo della probabilità o a quello classico, o sbaglio?
"luca66":
Infine non capisco il tuo odio verso i matematici e il formalismo, sempre se non ho capito male!
No nessun odio...affatto anzi.
Il punto è che la formalizzazione non sono le idee. Più idee hanno diverse fomalizzazioni, ma non è vero il contrario.
Vedo invece spesso la gente entrare in un sistema formale e non uscirne più. Quindi zero idee.
"luca66":
Credo che qui tu ti stia riferendo o all'approccio soggettivo della probabilità o a quello classico, o sbaglio?
Non sbagli
La definizione che ho proposto nella prima risposta è una definizione di probabilità viziosa (scopri perchè!)
Stessa cosa per la definizione frequentista.
Poi nella storia ci sono definizioni di tutti i tipi (dalla probabilità come propensione di Popper che è spazzatura assoluta alla definizione fuzzy di probabilità che è anche peggio).
Poi ci sono tentativi seri di definire la probabilità come un oggetto esterno ovvero come qualcosa che esiste in natura...non a caso mimando la percezione determinista del mondo che vuole che le cose siano perfettamente causali perchè ne abbiamo bisogno noi per capirle ma, che guarda caso, la realtà è proprio così! e noi siamo perfettamente in grado di capirla, LOL. Questa percezione della realtà rientra nelle categorie (se leggerai dei libri in proposito) chiamate platonismo e neoplatonismo ma sono molto vicine alla percezione che hanno i fedeli di qualsiasi religione...dio ha creato l'universo e loro ergo etc. etc.
Troverai una marea di esponenti importanti nelle file più o meno differenziate dei "platonisti" e nei campi più disparati. E sono tutte persone che ammiro (da Einstein a Penrose passando per Hofstatder). Tutti hanno un comune una visione meccanicista dell'universo e quindi anche della mente.
L'analogo genio per le probabilità oggettive è una persona che non ti aspetteresti: Keynes. Pochi sanno che ha scritto un trattato sulle probabilità come credenza ed è sempre un grandissimo piacere leggere Keynes (qualsiasi cosa abbia scritto!).
Poi ci sono i soggettivisti e ne cito due importanti: Ramsey e Savage
Ma io sono della scuola definettiana. Il nostro Bruno De Finetti scrisse un libro che fra tutte le possibili definizioni di prob. mi trova più vicino...ed è semplicemente geniale.
Ma semplicemente se tutta questa difficoltà nel trovare una definizione per la probabilità sia dovuta al fatto che la probabilità non esiste? o meglio esiste solo nella nostra testa, appunto una cosa soggettiva?
Questo grado di fiducia(probabilità) che noi vogliamo necessariamente associare ad un evento casuale(ammesso ripeto se esso esiste, perché senza dimostrazione tangibile possiamo chiacchierare anche all'infinito sull'esistenza o meno del caso stesso) lo modelliamo in base all'esperienza.
P.S.
Non mi dichiaro neanche determinista in quanto non ho nemmeno una dimostrazione di ciò. Sempre se non esista, in questo purtroppo pecca la mia conoscenza, poco vasta.
Questo grado di fiducia(probabilità) che noi vogliamo necessariamente associare ad un evento casuale(ammesso ripeto se esso esiste, perché senza dimostrazione tangibile possiamo chiacchierare anche all'infinito sull'esistenza o meno del caso stesso) lo modelliamo in base all'esperienza.
P.S.
Non mi dichiaro neanche determinista in quanto non ho nemmeno una dimostrazione di ciò. Sempre se non esista, in questo purtroppo pecca la mia conoscenza, poco vasta.
"luca66":
Non mi dichiaro neanche determinista in quanto non ho nemmeno una dimostrazione di ciò. Sempre se non esista, in questo purtroppo pecca la mia conoscenza, poco vasta.
Leggi.
Puoi iniziare con testi specifici o un libro introduttivo di filosofia della scienza (uno di Giorello per esempio).
Poi passi a leggere i libri scritti dai protagonisti...
Hp dato un veloce sguardo alla discussione e forse già axpgn ha già dato una risposta puntuale. Comunque:
Passare dal rigore all'intuizione non è sempre facile, questo mi sembra un caso non facile.
Comunque, ciò che è aleatorio è l'evento $omega in Omega$, una volta conosciuto questo allora $X(w)≤t$ non è più aleatorio ma è una funzione che associa un numero all'evento. Tuttavia dire che la variabile aleatoria (la funzione) è "aleatoria" non è sbagliato; nel senso che se non conosci l'esito non conosci neanche il valore della funzione. E' un po il discorso che porta a dire che funzioni di variabili casuali sono variabili casuali.
Peraltro spesse volte gli "eventi" neppure si considerano e si considerano solo le variabili ... infatti spesso si scrive $X=x$ quando la scrittura completa sarebbe $X(omega)=x$
"luca66":
Quindi in sostanza data questa definizione di Variabile Aleatoria non riesco a ricavarne il senso di "aleatorio/casuale".. forse proprio perché magari non capisco il concetto dietro questo formalismo, bensì voglio associargliene un altro.
Allora forse dovrei chiederti quale è il significato intuitivo di questa?
\(\displaystyle X:\Omega \rightarrow R \) tale che, \(\displaystyle \forall t \in R \), \(\displaystyle \{w: X(w)≤t\} \)
Passare dal rigore all'intuizione non è sempre facile, questo mi sembra un caso non facile.
Comunque, ciò che è aleatorio è l'evento $omega in Omega$, una volta conosciuto questo allora $X(w)≤t$ non è più aleatorio ma è una funzione che associa un numero all'evento. Tuttavia dire che la variabile aleatoria (la funzione) è "aleatoria" non è sbagliato; nel senso che se non conosci l'esito non conosci neanche il valore della funzione. E' un po il discorso che porta a dire che funzioni di variabili casuali sono variabili casuali.
Peraltro spesse volte gli "eventi" neppure si considerano e si considerano solo le variabili ... infatti spesso si scrive $X=x$ quando la scrittura completa sarebbe $X(omega)=x$
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