Relazione tra statistiche sufficienti
Sia $(Y_1,...,Y_N)$ un campione casuale estratto da una distribuzione incognita $p_\theta$ e sia $T:RR^N->R^q$ una statistica.
Si dice che la statistica $T$ e' sufficiente per il parametro $\theta$ se $P_theta[Y_1=y_1,...,Y_N=y_N|T(Y_1,...,Y_n)=t(y_1,...,y_N)]$ non dipende da $theta$.
Supponiamo ora che la statistica $T$ sia sufficiente per $theta$. Sia $F$ un'altra statistica, posso concludere che la statistica $(T,F)$ e' sufficiente per $\theta$?
Si dice che la statistica $T$ e' sufficiente per il parametro $\theta$ se $P_theta[Y_1=y_1,...,Y_N=y_N|T(Y_1,...,Y_n)=t(y_1,...,y_N)]$ non dipende da $theta$.
Supponiamo ora che la statistica $T$ sia sufficiente per $theta$. Sia $F$ un'altra statistica, posso concludere che la statistica $(T,F)$ e' sufficiente per $\theta$?
Risposte
$T$ e $F$ entrambe sufficienti per il parametro (univariato) $theta$? Devi specificare che relazione esiste fra $T$ e $F$
Se $F$ è funzione monotona di $T$ la risposta è affermativa
Se $F$ è funzione monotona di $T$ la risposta è affermativa
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Se $F$ è in corrispondenza biunivoca con $T$ allora $F$ è chiaramente sufficiente perchè lo è $T$ e quindi anche $(T,F)$ è sufficiente, giusto?
Se ad esempio $F$ è minima (ovvero è una statistica sufficiente tale che per ogni altra statistica sufficiente $G$ esiste una funzione $f$ tale che $F=f(G)$) allora $F=f(T)$ ma se $f$ non è biunivoca la sufficienza di $(T,F)$ non è garantita?
Se ad esempio $F$ è minima (ovvero è una statistica sufficiente tale che per ogni altra statistica sufficiente $G$ esiste una funzione $f$ tale che $F=f(G)$) allora $F=f(T)$ ma se $f$ non è biunivoca la sufficienza di $(T,F)$ non è garantita?
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