Relazione tra f.distribuzione e f.ripartizione
Salve a tutti!
Studiando l'integrazione delle variabili aleatorie, sono giunto ad un affermazione che mi lascia un po' perplesso.
Dunque, partendo proprio dall'inizio, dapprima mi viene presentata la notazione utilizzata, che è la seguente
\[\int_{\Omega} X(\omega) \, \mathbb{P}(\text{d}\omega)\]
avendo inteso
-\((\Omega,\mathcal{E},\mathbb{P})\) spazio probabilizzato;
-\(X\) variabile aleatoria del tipo \(X:\Omega \mapsto \overline{\mathbb{R}}\).
A seguire, mi vengono date le varie definizioni da utilizzare a seconda del tipo della v.a. sotto il segno di integrale.
In particolare, se \(X\) è semplice, ovvero se è della forma
\[\varphi(\omega)=\sum_{i=1}^n c_i \mathcal{1}_{E_i} (\omega)\]
con \(\mathcal{1}\) funzione caratteristica ed \(E_i=\{X^{-1}(c_i)\}\), si pone
\[\int_{\Omega} X(\omega) \, \mathbb{P}(\text{d}\omega)=\sum_{i=1}^n c_i \mathbb{P}(E_i)\]
Riporto testualmente il discorso che non mi convince
Per prima cosa, dato che nel primo integrale si integra rispetto \(F_X\), non sarebbe stato più corretto aver scritto
\(\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \text{ d}F_X (t)\)?
Ora il dubbio vero e proprio. Mi pare di capire che sussiste la seguente uguaglianza
\[ \text{ d}F_X (t)=\mathbb{P}_X(\text{d}t)\]
è vera? In caso affermativo, c'è una qualche intepretazione intuitiva per comprenderla?
Studiando l'integrazione delle variabili aleatorie, sono giunto ad un affermazione che mi lascia un po' perplesso.
Dunque, partendo proprio dall'inizio, dapprima mi viene presentata la notazione utilizzata, che è la seguente
\[\int_{\Omega} X(\omega) \, \mathbb{P}(\text{d}\omega)\]
avendo inteso
-\((\Omega,\mathcal{E},\mathbb{P})\) spazio probabilizzato;
-\(X\) variabile aleatoria del tipo \(X:\Omega \mapsto \overline{\mathbb{R}}\).
A seguire, mi vengono date le varie definizioni da utilizzare a seconda del tipo della v.a. sotto il segno di integrale.
In particolare, se \(X\) è semplice, ovvero se è della forma
\[\varphi(\omega)=\sum_{i=1}^n c_i \mathcal{1}_{E_i} (\omega)\]
con \(\mathcal{1}\) funzione caratteristica ed \(E_i=\{X^{-1}(c_i)\}\), si pone
\[\int_{\Omega} X(\omega) \, \mathbb{P}(\text{d}\omega)=\sum_{i=1}^n c_i \mathbb{P}(E_i)\]
Riporto testualmente il discorso che non mi convince
...la funzione di ripartizione \(F_X(t):\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) determina completamente la distribuzione dei valori della variabile aleatoria \(X\). Per questo motivo, si usa anche scrivere
\[\int_{\Omega} \varphi(t) \text{ d}F_X (t) \qquad \text{al posto di} \qquad \int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \, \mathbb{P} (\text{d}t)\]
Per prima cosa, dato che nel primo integrale si integra rispetto \(F_X\), non sarebbe stato più corretto aver scritto
\(\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \text{ d}F_X (t)\)?
Ora il dubbio vero e proprio. Mi pare di capire che sussiste la seguente uguaglianza
\[ \text{ d}F_X (t)=\mathbb{P}_X(\text{d}t)\]
è vera? In caso affermativo, c'è una qualche intepretazione intuitiva per comprenderla?
Risposte
...la funzione di ripartizione \( F_X(t):\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} \) determina completamente la distribuzione dei valori della variabile aleatoria \( X \). Per questo motivo, si usa anche scrivere
\[ \int_{\Omega} \varphi(t) \text{ d}F_X (t) \qquad \text{al posto di} \qquad \int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \, \mathbb{P} (\text{d}t) \]
Io la scriverei così:
\[ \int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \text{ d}F_X (t) \qquad \text{al posto di} \qquad \int_{\Omega} \varphi((X(\omega)) \, \mathbb{P} (\text{d}\omega) \]
E prima di affermare che la funzione di ripartizione determina la distribuzione della variabile aleatoria, bisognerebbe forse introdurre un teoremino che io conosco come integrale rispetto a una misura immagine (che nella fattispecie è proprio la distribuzione di $X$)). Lo conosci?
Ciao retrocomputer, ti ringrazio nuovamente per il supporto.
Devo ammettere che in questo momento c'è parecchia confusione nella mia testa.
Vorrei fare un po' d'ordine, cercando di comprendere le varie notazioni differenziali.
1)
Dunque, per prima cosa, leggendo un testo diverso da quello precedente, trovo la seguente definizione
\[\mathbb{E}[X]=\int_{\Omega} X(\omega) \text{ d} \mathbb{P}(\omega)\]
coincidente, tra l'altro, con quella data da wikipedia.
Siccome sul testo che seguo si pone
\[\mathbb{E}[X]=\int_{\Omega} X(\omega) \, \mathbb{P} (\text{d}\omega)\]
vorrei avere conferma, tanto per essere sicuro, sul fatto che si intendono equivalenti le due seguenti notazioni
\[ \mathbb{P} (\text{d}\omega) \qquad \text{ d} \mathbb{P}(\omega)\]
data una qualsiasi misura \((\mathcal{E},\mathbb{P})\) su \(\Omega\).
2)
Scritta così mi sembra ancora più corretta.
Sinceramente "integrale rispetto a una misura immagine" non mi dice niente.
Magari è qualcosa di simile al teorema che garantisce che
\[\int_{\Omega} \varphi(X(\omega)) \, \mathbb{P} (\text{d}\omega)=\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \, \mathbb{P}_X (\text{d}t)\]
dove con \(\mathbb{P}_X\) si indica la funzione di distribuzione di \(X\).
Il mio dubbio sta nella seguente relazione
\[\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \, \mathbb{P}_X (\text{d}t)=\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \text{ d}F_X(t)\]
vorrei sapere se è vera e, in tal caso, come arrivarci.
Devo ammettere che in questo momento c'è parecchia confusione nella mia testa.
Vorrei fare un po' d'ordine, cercando di comprendere le varie notazioni differenziali.
1)
Dunque, per prima cosa, leggendo un testo diverso da quello precedente, trovo la seguente definizione
\[\mathbb{E}[X]=\int_{\Omega} X(\omega) \text{ d} \mathbb{P}(\omega)\]
coincidente, tra l'altro, con quella data da wikipedia.
Siccome sul testo che seguo si pone
\[\mathbb{E}[X]=\int_{\Omega} X(\omega) \, \mathbb{P} (\text{d}\omega)\]
vorrei avere conferma, tanto per essere sicuro, sul fatto che si intendono equivalenti le due seguenti notazioni
\[ \mathbb{P} (\text{d}\omega) \qquad \text{ d} \mathbb{P}(\omega)\]
data una qualsiasi misura \((\mathcal{E},\mathbb{P})\) su \(\Omega\).
2)
"retrocomputer":
Io la scriverei così:
\[\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \text{ d}F_X (t) \qquad \text{al posto di} \qquad \int_{\Omega} \varphi((X(\omega)) \, \mathbb{P} (\text{d}\omega) \]
prima bisognerebbe forse introdurre un teoremino che io conosco come integrale rispetto a una misura immagine
Scritta così mi sembra ancora più corretta.
Sinceramente "integrale rispetto a una misura immagine" non mi dice niente.
Magari è qualcosa di simile al teorema che garantisce che
\[\int_{\Omega} \varphi(X(\omega)) \, \mathbb{P} (\text{d}\omega)=\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \, \mathbb{P}_X (\text{d}t)\]
dove con \(\mathbb{P}_X\) si indica la funzione di distribuzione di \(X\).
Il mio dubbio sta nella seguente relazione
\[\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \, \mathbb{P}_X (\text{d}t)=\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \text{ d}F_X(t)\]
vorrei sapere se è vera e, in tal caso, come arrivarci.
"Gost91":
vorrei avere conferma, tanto per essere sicuro, sul fatto che si intendono equivalenti le due seguenti notazioni
\[ \mathbb{P} (\text{d}\omega) \qquad \text{ d} \mathbb{P}(\omega) \]
Sì, sono due notazioni equivalenti, ma io sto imparando a preferire la prima.
"Gost91":
Sinceramente "integrale rispetto a una misura immagine" non mi dice niente.
Magari è qualcosa di simile al teorema che garantisce che
\[ \int_{\Omega} \varphi(X(\omega)) \, \mathbb{P} (\text{d}\omega)=\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \, \mathbb{P}_X (\text{d}\omega) \]
No no, è proprio il teorema che hai scritto
ma con \(\mathbb{P}_X (\text{d}t) \) al posto di \(\mathbb{P}_X (\text{d}\omega) \). Il secondo integrale è appunto un integrale rispetto alla misura $\mathbb{P}_X$, immagine di $\mathbb{P}$ mediante $X$."Gost91":
Il mio dubbio sta nella seguente relazione
\[ \int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \, \mathbb{P}_X (\text{d}t)=\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) \text{ d}F_X(t) \]
vorrei sapere se è vera e, in tal caso, come arrivarci.
E' vera, sì, ma arrivarci è uno dei teoremi più complicati della storia... No, scherzo, penso che sia soltanto una diversa notazione
"retrocomputer":
Sì, sono due notazioni equivalenti, ma io sto imparando a preferire la prima.
Ok perfetto. Potresti dirmi, dal tuo punto di vista, cosa ha di migliore la seconda?
(Se non si fosse capito, sono nuovo della materia. Per me ogni informazione nuova è oro colato
)"retrocomputer":
No no, è proprio il teorema che hai scritto
Hai ragione, è stato un errore di distrazione. Dannati copia e incolla!
"retrocomputer":
penso che sia soltanto una diversa notazione
Mah non ne sono molto convinto. Credo si sia entrambi d'accordo sul fatto che \(F_X\) e \(\mathbb{P}_X\) siano due cose distinte, quindi boh, mi torna po' difficile accettare siano semplicemente due notazioni distinte che rappresentano lo stesso oggetto.
Comunque sicuramente ne sai più di me, quindi se nessuno del forum avrà niente da aggiunge, me ne farò una ragione.
Prima di concludere vorrei però mostrarti quello che mi sta passando per la testa.
Magari mi sto solamente (e inutilmente) arrampicando sugli specchi.
Con qualche buco da rattoppare, credo di essere arrivato alla seguente uguaglianza
\[\int_A \mathbb{P}_X (\text{d}t)=\int_A \text{d}F_X (t) \qquad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\]
Sorretto dall'intuizione, parto dal presupposto che \(\forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\) valga
\[\mathbb{P}_X (A) = \int_A \mathbb{P}_X (\text{d}t) \qquad (1)\]
Per definizione so che la densità di \(X\) è quella particolare funzione \(f_X:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}\) tale che
\[\mathbb{P}_X (A)= \int_A f_X (t) \text{ d}t\]
Con un paio di semplici conti, si conclude che la funzione di ripartizione è una primitiva per la densità
\[F_X ' (t) =f_X (t)\]
quindi
\[\int_A f_X (t) \text{ d}t=\int_A \text{ d}F_X (t)\]
e dunque, se la \(1\) è valida, concludo che
\[\int_A \mathbb{P}_X (\text{d}t)=\int_A \text{ d}F_X (t)\]
Ora, se quello che ho appena scritto ha un senso, dovrei estendere il discorso al caso in cui sotto il segno di integrale è presente una qualsiasi funzione.
Prima di farlo, però, vorrei qualche tuo parere (o di chiunque altro).
"Gost91":
Ok perfetto. Potresti dirmi, dal tuo punto di vista, cosa ha di migliore la seconda?
Mah, niente di speciale, sono usate entrambe le notazioni e forse tipograficamente è preferibile la prima perché permette di abbreviare con $dP$... Comunque preferisco la seconda, cioè $P(d\omega)$, perché $\omega$ è un punto e se la probabilità $P$ è diffusa, risulta $P(\omega)=0$ per ogni $\omega$, e non mi piace un integrale $\int X(\omega)d0$
"Gost91":
Con qualche buco da rattoppare, credo di essere arrivato alla seguente uguaglianza
\[\int_A \mathbb{P}_X (\text{d}t)=\int_A \text{d}F_X (t) \qquad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\]
Io non aggiungo altro perché secondo me si tratta solo di due diverse notazioni...
Ok ti ringrazio ancora, mi sei stato molto di aiuto 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo