Regressione di X da Y

[motonic949392]

Ciao ragazzi, vi chiedo un aiuto per un esercizio di probabilità. Ho un supporto congiunto pari a
$Rxy={(x,y):1 Io l'ho impostato così:
dopo aver calcolato la funzione di densità congiunta che mi esce $fxy=2$, ho calcolato la marginale $fy=\int_{1}^{2-y}2 dx=2(1-y)$ (qui ho già un dubbio, va 1 come estremo inferiore o va 0? io ho messo 1 a logica visto che integro in x).
Successivamente ho calcolato la funzione di densità condizionata cioè $fx|y=(fxy)/(fy)=1/(1-y)$, quindi posso dire che è un uniforme il cui valore atteso $E(X|Y)=(1-y)/2$.
Spero di averci preso con l'estremo inferiore e quindi fin qui tutto bene,spero
Mi chiedevo però se applicassi la formula generale per la regressione di X da Y che estremi dovrei metterci agli integrali? Io lo farei in questo modo
$E(X|Y)=\int_{1}^{2-y} x 1/(1-y) dx$
Volevo sapere se fosse giusto o sbagliato.
Grazie per l'aiuto

[Lo_zio_Tom]

Hai fatto un buon lavoro ma con qualche piccola scivolata....:

"motonic949392":Ho un supporto congiunto pari a
$Rxy={(x,y):1

1) Il testo è già sbagliato: il testo corretto deve essere per forza così

Ho una distribuzione del vettore $(X,Y)$ UNIFORME SUL SUPPORTO
$Rxy={(x,y):1

...altrimenti ti dovrebbe dare anche la densità congiunta.

2)

"motonic949392":
Successivamente ho calcolato la funzione di densità condizionata cioè $fx|y=(fxy)/(fy)=1/(1-y)$, quindi posso dire che è un uniforme il cui valore atteso $E(X|Y)=(1-y)/2$.

è una uniforme (condizionata al valore di $Y=y$) e quindi il valore atteso in questione è $(a+b)/2=(3-y)/2$

...e devi anche specificare meglio come è uniforme.....

$f_(X|Y)(x|y)=1/(1-y)$; ${{: ( 1
3)

"motonic949392":
Mi chiedevo però se applicassi la formula generale per la regressione di X da Y che estremi dovrei metterci agli integrali? Io lo farei in questo modo
$E(X|Y)=\int_{1}^{2-y} x 1/(1-y) dx$
Volevo sapere se fosse giusto o sbagliato.
Grazie per l'aiuto

Certo! giustissimo . Fai i conti e vedi che ti torna esattamente lo stesso valore atteso condizionato (sono due passaggini semplici semplici)

[motonic949392]

Grazie per le conferme.
1)Si il testo mi diceva uniformemente distribuito, errore mio.
2)Non ho capito il valore atteso $(3-y)/2$.
Perchè $a=2$ ? Non capisco.
Se ho che $X|Y->Uni(0,1-y)$ il valore atteso non dovrebbe essere $(0+1-y)/2$?
3)Grazie mille per la conferma

[Lo_zio_Tom]

...lo hai anche scritto tu...se rileggi bene ciò che hai scritto...

$1
quindi il valore atteso è $(1+(2-y))/2=(3-y)/2$

prova anche a risolvere l'ultimo integrale che hai scritto tu (che è giusto) e controlla che il valore atteso è proprio questo.

[motonic949392]

ok capito perchè x va da 1 in 2 ed essendo condizionata devo considerare il supporto della x.
L'integrale l'ho svolto un po' a fatica ma esce $(3-y)/2$
Grazie per la spiegazione

[Lo_zio_Tom]

"motonic949392":
L'integrale l'ho svolto un po' a fatica ma esce $(3-y)/2$
Grazie per la spiegazione

come a fatica?

basta ricordare che $(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$

e fattorizzi $(2-y)^2-1=(2-y+1)(2-y-1)=(3-y)(1-y)$

semplifichi $(1-y)$ e stop

[motonic949392]

Si è facile dopo la tua spiegazione
Sono un po' arrugginito, però ho capito dai. Grazie ancora!

[markowitz]

"motonic949392":Ciao ragazzi, vi chiedo un aiuto per un esercizio di probabilità. Ho un supporto congiunto pari a
$ Rxy={(x,y):1. L'esercizio mi chiede di calcolare la regressione di X dato Y, cioè $ E[X|Y=y] $

Domanda: vi risulta sempre ammessa questa terminologia ?

[Lo_zio_Tom]

Direi di sì (funzione o curva di regressione, per la precisione)



@markowitz: bentornato

[markowitz]

Ciao tommik, grazie !
Esaustivo come al solito.
Pensavo al fatto che la regressione lineare stimata con OLS restituisce esattamente il valore atteso condizionale se questo si esprime in funzione lineare, ne è un'approssimazione altrimenti. Anche da qui la sua popolarità.
Invece per quanto riguarda la regressione non lineare, diciamo stimata con NLS, non so se rappresenti in modo esatto un valore atteso condizionale quando questo si esprime con una funzione non lineare, ma non penso.

[markowitz]

Ragazzi avrei una domanda strettamente connessa con questa, per questo riprendo il post.
Nella regressione lineare di $y$ su $X$, stimata con OLS, si ottiene $E[y|X]=beta X$ e, per converso, $E[epsilon|X]=0$ dove $epsilon$ è l'errore di regressione.

Adesso, io so che le relazioni sopra sono valide in senso esatto se il "vero" legame tra $y$ ed $X$ è lineare, altrimenti le relazioni che si trovano sono vere solo in approssimazione.

Formalmente:

data per vera $f(y,X)$ con $f$ non lineare, segue che

$E[y|X] = g(X, theta)$ o anche $f(y,X) = g(X, theta) + u$ e quindi $E[u|X]=0$


ma se non conosco $f$, stimando con OLS spero di ottenere $E[y|X]=beta X$ e $E[epsilon|X]=0$

ed invece ottengo $E[y|X] approx beta X$ e $E[epsilon|X] approx 0$

è proprio così? Ho capito bene?