Questione matrice di Markov omogenea

[factotumleo]

Ragazzi mi serve il vostro aiuto su una questione. Sto studiando l'algoritmo PageRank di Google e sono arrivato ad un punto in cui la questione non mi è chiarissima. Cerco di spiegarvi. Partiamo dal presupposto che io sappia cosa sia un processo di Markov omogeneo e che lo indico come:

$ p_(ij) = P(X_(n+1)=i | X_n=j) $

So anche che gli elementi $ p_(ij) $ sono elementi di una matrice stocastica $ P = (p_(ij)) $ detta matrice di Markov omogenea. So anche che al passo uno la distribuzione dell'intero processo è descritta da tale matrice, che al passo due la distribuzione è descritta dalla matrice $ (P^2)_(ij) $ e che al passo m-esimo la distribuzione è descritta dalla matrice $ (P^m)_(ij) $ .

Quello che vorrei sapere è: perché per un certo passo sufficientemente grande, la matrice si "stabilizza"? Cioè matematicamente parlando, perché i valori di tutte le colonne restano sempre uguali (almeno le prime 4 cifre) e non cambiano mai moltiplicando la matrice per se stessa fino all'infinito? Spero sia chiaro! grazie aasai!!

[Intermat]

Guarda io in un corso sulla probabilità ho affrontato i primi aspetti delle catene di Markov e dei processi markoviani. Noi non abbiamo approfondito ma nel capitolo sulle catene di Markov era presente questo teorema (non so se tu lo conosca già e tanto meno se è esattamente quello che cerchi):

Teorema di Markov: " Se esiste un $m$ tale che $P_(ij) ^(m)>0$, $\AAi$,$\AAj$ (cioè se la catena è regolare), allora esistono quantità $pi_j$ tali che: $lim_(n->oo) P_(ij)^(n)=pi_j$ $\AAi=1,2,...,N$ cioè la probabilità di transizione su un numero di passi che tende ad infinito non dipende dallo stato iniziale. Le probabilità di uno stato $mu_j$ per $n->oo$ a partire dallo stato iniziale i-esimo avente probabilità $\alpha_i$, $i=1,...,N $ si ottengono dalle relazioni:
$lim_(n->oo)x^(n)=\mu_j=lim_(n->oo)P{X_n=j}=lim_(n->oo)\sum_{i=0}^N \alpha_i P_(ij) ^(n)=\sum_{i=0}^N \alpha_i lim_(n->oo)P_(ij) ^(n)=\sum_{i=0}^N \alpha_i pi_j=pi_j \sum_{i=0}^N\alpha_i=pi_j $
cioè sono uguali alle probabilità limite di transizione e quindi dipendono dalla matrice delle probabilità di transizione e non dallo stato iniziale della catena".

Ripeto...dalle poche cose che ho fatto riguardanti Markov è quello che mi viene in mente. Magari tu sei anche oltre con le nozioni teoriche...se così fosse pazienza vorrà dire che sarà stato utile solo a me ripetere tale teorema!

PS: Le notazioni ovviamente potrebbero essere diverse.