Quesito su Gaussiana e sua CDF

[NickF]

Buonasera, devo risolvere un pai di quesiti a risposta multipla che sembrerebbero semplici se avessi capito bene la Gaussiana (cosa che probabilmente non ho fatto).

1) Sia data una variabile aleatoria X Gaussiana a media nulla e varianza unitaria. Definita la funzione Q(x), quale delle
seguenti affermazioni è falsa?
a) Fx(-x)=Q(x)
b) Fx(-x)=1-Q(-x)
c) Fx(x)=Q(-x)
d) Fx(x)=Q(x)
Suppongo che la risposta corretta (ovvero, l'affermazione falsa) sia la b) ma vado ad intuito mentre io vorrei capire.

2) Sia X una variabile aleatoria Gaussiana a media nulla e varianza 4. Definita la funzione Q (x) , quanto vale P(X > 2 ) ?
a) Q (1)
b) Q (0)
c) 1-Q(2)
d) Q(2)
Come sopra, credo che la risposta corretta sia la d) ma desidererei una spiegazione su come arrivare alla risposta

Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
Cordiali saluti

[Lo_zio_Tom]

"NickF": Definita la funzione Q(x)

sì ma definita come?

mentre $F_(X)(x)$ è un simbolo che in tutto il mondo matematico indica una funzione integrale ed in Statistica indica la CDF di una v.a., ovvero

$F_(X)(x)=int_(-oo)^(x)f(t)dt$

non è così per $Q(x)$....quindi dimmi come il tuo libro definisce tale funzione che vediamo di risolvere.

Ps: è fortemente consigliato dal regolamento scrivere le formule utilizzando l'apposito compilatore; ricordati che dopo il 30° messaggio tale consiglio diventa mandatorio.....tra l'altro inserire le formule in modo corretto è molto intuitivo, basta racchiuderle fra i simboli del dollaro e comunque esiste una guida ed il folder "aggiungi formula" , in basso, quando rispondi al messaggio, dove ci sono già i prinicipali simboli preimpostati.

3.7 È fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella community, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.

[NickF]

Grazie per la cortese risposta,

dunque, il mio libro definisce la $ Q(x) $ come segue
"
$ Q(x)= int_(x)^(oo ) 1/sqrt(2pi) e^(-(y^2)/2)dy $

mediante la quale è possibile esprimere la CDF di X:
$ F_(X)(x)=int_(-oo)^(x)f_(X)(u)du = 1-Q((x-eta )/delta )$

"

Spero di aver usato correttamente l'editor

[Lo_zio_Tom]

Benissimo ..hai visto com'è semplice? Semplice come il tuo esercizio:

Infatti immediatamente vedi che la risposta al quesito 1) è la d) ...che vale come uguaglianza solo se $x=0$

mentre la risposta corretta al secondo quesito è $P(X>2)=Q(1)$

Vediamo anche il perché.

Esercizio 1)

le risposte a) e c) sono la stessa cosa (ha solo sostituito $x rarr -x$) e sono sempre vere; si vede dal seguente grafico dove ho indicato le due aree, uguali fra loro per la simmetria della distribuzione normale.



la risposta b) è sempre vera essendo

$P(X<=x)+P(X>x)=1$

quindi l'unica "errata" è la d) anche se, per $x=0$, è vera anche lei e vale 0.5 (è mezza area della normale)

Esercizio 2)

Basta usare la standardizzazione che conosci secondo cui se $X~ N(mu;sigma^2)$ allora $(X-mu)/sigma~Phi$

e quindi $P(X>2)=Q((2-0)/sqrt(4))=Q(1)$

[NickF]

Grazie mille Tommik !!!