Quesito su distribuzioni
Ciao
volevo sapere se:
1 dati i valori $min$, $max$ e $mediana$ di una distribuzione triangolare ne è possibile ricavare la moda,
2 se di una distribuzione normale sono noti il 5° e 95° percentile si può affermare che la media è la semisomma dei due. Che si può dire della deviazione standard? C'è modo di ricavarla per via analitica o si deve passare dalla normale standardizzata e quindi per via grafica?
Scusate la potenziale banalità dei quesiti.
Grazie.
Lorenzo
volevo sapere se:
1 dati i valori $min$, $max$ e $mediana$ di una distribuzione triangolare ne è possibile ricavare la moda,
2 se di una distribuzione normale sono noti il 5° e 95° percentile si può affermare che la media è la semisomma dei due. Che si può dire della deviazione standard? C'è modo di ricavarla per via analitica o si deve passare dalla normale standardizzata e quindi per via grafica?
Scusate la potenziale banalità dei quesiti.
Grazie.
Lorenzo
Risposte
1) no, servono altre informazioni
2) Sì ma è una cosa utile solo per esercizio. Conoscendo due percentili qualunque trovi immediatamente $mu$ e $sigma$
Per dimostrare che la media è la semisomma dei due percentili è davvero banale.
Indico con $A$ il 5° percentile e con $B$ il 95° percentile (noti per ipotesi).
Allora subito abbiamo
${{: ( (A-mu)/sigma=-1.64 ),( (B-mu)/sigma=1.64 ) :} rarr{{: ( A-mu=-1.64sigma ),( B-mu=1.64sigma ) :}$
sommo membro a membro e risolvo in $mu$ ottenendo subito
$mu=(A+B)/2$
...ma ripeto è una cosa inutile perché risolvendo il sistema trovi subito sia media che deviazione standard
[ot]ma sei tu?[/ot]
2) Sì ma è una cosa utile solo per esercizio. Conoscendo due percentili qualunque trovi immediatamente $mu$ e $sigma$
Per dimostrare che la media è la semisomma dei due percentili è davvero banale.
Indico con $A$ il 5° percentile e con $B$ il 95° percentile (noti per ipotesi).
Allora subito abbiamo
${{: ( (A-mu)/sigma=-1.64 ),( (B-mu)/sigma=1.64 ) :} rarr{{: ( A-mu=-1.64sigma ),( B-mu=1.64sigma ) :}$
sommo membro a membro e risolvo in $mu$ ottenendo subito
$mu=(A+B)/2$
...ma ripeto è una cosa inutile perché risolvendo il sistema trovi subito sia media che deviazione standard
[ot]ma sei tu?[/ot]
si, sono io, è grave? 
L.
L.
Cambio la mia risposta 1)
direi di sì.....con qualche ragionamento si può fare
Se ti interessa ti indico come fare....non ho voglia di fare tutti i conticini
direi di sì.....con qualche ragionamento si può fare
Se ti interessa ti indico come fare....non ho voglia di fare tutti i conticini
Ciao tommik
grazie della risposta. Scusa ma sono un po' de coccio...
Se $m$ è la mediana allora so che l'area sotto la distribuzione a destra di $m$ è uguale a quella alla sinistra e pari a $0.5$. Se in più so che $m$ non è la semisomma di $max$ e $min$ della distribuzione so che $m$ non coincide con la moda. A questo punto l'indeterminatezza sta nel fatto che posso avere moda$>m$ e moda$
Lorenzo
grazie della risposta. Scusa ma sono un po' de coccio...
Se $m$ è la mediana allora so che l'area sotto la distribuzione a destra di $m$ è uguale a quella alla sinistra e pari a $0.5$. Se in più so che $m$ non è la semisomma di $max$ e $min$ della distribuzione so che $m$ non coincide con la moda. A questo punto l'indeterminatezza sta nel fatto che posso avere moda$>m$ e moda$
Lorenzo
"tommik":
Cambio la mia risposta 1)
direi di sì.....con qualche ragionamento si può fare
Se ti interessa ti indico come fare....non ho voglia di fare tutti i conticini
mi interessa, dammi almeno qualche dritta....
L.
1) Se la mediana coincide con il punto medio $ (a+b)/2$ allora la distribuzione è simmetrica e la moda coincide con media e mediana
2) se la mediana è minore del punto medio vuol dire che la distribuzione è asimmetrica positiva, cioè la moda è minore della mediana. A questo punto sai che l'area alla destra della mediana (che vale comunque $1/2$) è data dall'area sotto una retta (è un triangolo)....e molto banalmente ti calcoli la retta. A questo punto mi sembra facile risalire alla moda avendo già una parte analitica della densità...
3) se la mediana è maggiore del punto medio stesso discorso, in modo speculare....
se vuoi mettiamo giù un esempietto ma in realtà sono conti davvero banali...è più difficile spiegarlo che risolvere
2) se la mediana è minore del punto medio vuol dire che la distribuzione è asimmetrica positiva, cioè la moda è minore della mediana. A questo punto sai che l'area alla destra della mediana (che vale comunque $1/2$) è data dall'area sotto una retta (è un triangolo)....e molto banalmente ti calcoli la retta. A questo punto mi sembra facile risalire alla moda avendo già una parte analitica della densità...
3) se la mediana è maggiore del punto medio stesso discorso, in modo speculare....
se vuoi mettiamo giù un esempietto ma in realtà sono conti davvero banali...è più difficile spiegarlo che risolvere
Perfetto, grazie. 
Vedo se ci riesco da solo e ti faccio sapere, buona serata.
Lorenzo
Vedo se ci riesco da solo e ti faccio sapere, buona serata.Lorenzo
Ti faccio un esempio da seguire passo-passo.
Prima di tutto, senza perdita di generalità, possiamo considerare che il minimo punto del supporto sia sempre 0. Ciò semplifica di molto i calcoli e, anche se non fosse così, basterebbe una traslazione per riportare il minimo a zero.
Quindi supponiamo di avere
Osserviamo che la mediana è circa $0.78$ che è minore del punto medio 1 e quindi la moda è "a sinistra" della mediana.
Sapendo che l'area a destra della mediana è $1/2$ e che la figura a destra della mediana è un triangolo di vertici
$((4-sqrt(6))/2;0)$
$(2;0)$
$((4-sqrt(6))/2;y)$
trovi subito $y$. Ora con la formula della retta che passa per due punti assegnati trovi anche l'equazione della retta che è
$y=4/3-2/3x$
Immediatamente vedi che TUTTA l'area sotto tale retta nel dominio assegnato è $(2xx4/3)/2=4/3>1$
Significa che bisogna scartare il triangolo di sinistra di area $1/3$ e di vertici $(0;0)$; $(0;4/3)$;$(m;y)$
in altri termini la moda si trova risolvendo in m la seguente equazione ($y$ non serve calolarlo)
$(4/3xx m)/2=1/3 rarr m=1/2$
fine
Prima di tutto, senza perdita di generalità, possiamo considerare che il minimo punto del supporto sia sempre 0. Ciò semplifica di molto i calcoli e, anche se non fosse così, basterebbe una traslazione per riportare il minimo a zero.
Quindi supponiamo di avere
Una distribuzione triangolare continua definita in $x in [0;2]$ con mediana $me=(4-sqrt(6))/2$
Calcolare la moda
Osserviamo che la mediana è circa $0.78$ che è minore del punto medio 1 e quindi la moda è "a sinistra" della mediana.
Sapendo che l'area a destra della mediana è $1/2$ e che la figura a destra della mediana è un triangolo di vertici
$((4-sqrt(6))/2;0)$
$(2;0)$
$((4-sqrt(6))/2;y)$
trovi subito $y$. Ora con la formula della retta che passa per due punti assegnati trovi anche l'equazione della retta che è
$y=4/3-2/3x$
Immediatamente vedi che TUTTA l'area sotto tale retta nel dominio assegnato è $(2xx4/3)/2=4/3>1$
Significa che bisogna scartare il triangolo di sinistra di area $1/3$ e di vertici $(0;0)$; $(0;4/3)$;$(m;y)$
in altri termini la moda si trova risolvendo in m la seguente equazione ($y$ non serve calolarlo)
$(4/3xx m)/2=1/3 rarr m=1/2$
fine
Dunque. Siano:
$a$, $b$, $c$, e $m$ rispettivamente minimo, massimo, moda e mediana della distribuzione, tutti noti tranne $c$ e sia $m<(a+b)/2$ per cui $c
Se considero il triangolo di vertici $(m,0)$, $(m,k)$ (con $k$ intersezione della verticale per ($m,0)$ e la retta fra $(c,h)$ e $(m,0)$) e $(b,0)$ ricavo $k$ imponendo che la sua area sia uguale a $1/2$.
Se faccio la similitudine fra questo triangolo e il triangolo di vertici $(c,0)$, $(c,h)$ e $(b,0)$ posso impostare la seguente relazione
$(b-m):k=(b-c):h$
da cui ricaverei $c$. Il problema è che assegnando dei valori ai termini noti mi viene $c<0$.....
Sto sbagliando qualcosa ma non capisco cosa
... help!!!
Lorenzo
$a$, $b$, $c$, e $m$ rispettivamente minimo, massimo, moda e mediana della distribuzione, tutti noti tranne $c$ e sia $m<(a+b)/2$ per cui $c
Se considero il triangolo di vertici $(m,0)$, $(m,k)$ (con $k$ intersezione della verticale per ($m,0)$ e la retta fra $(c,h)$ e $(m,0)$) e $(b,0)$ ricavo $k$ imponendo che la sua area sia uguale a $1/2$.
Se faccio la similitudine fra questo triangolo e il triangolo di vertici $(c,0)$, $(c,h)$ e $(b,0)$ posso impostare la seguente relazione
$(b-m):k=(b-c):h$
da cui ricaverei $c$. Il problema è che assegnando dei valori ai termini noti mi viene $c<0$.....
Sto sbagliando qualcosa ma non capisco cosa
... help!!!Lorenzo
segui bene l'esempio che ti ho fatto e vedrai che sarà tutto chiaro
"tommik":
Ti faccio un esempio da seguire passo-passo.
Prima di tutto, senza perdita di generalità, possiamo considerare che il minimo punto del supporto sia sempre 0. Ciò semplifica di molto i calcoli e, anche se non fosse così, basterebbe una traslazione per riportare il minimo a zero.
Quindi supponiamo di avere
Una distribuzione triangolare continua definita in $x in [0;2]$ con mediana $me=(4-sqrt(6))/2$
Calcolare la moda
Osserviamo che la mediana è circa $0.78$ che è minore del punto medio 1 e quindi la moda è "a sinistra" della mediana.
Sapendo che l'area a destra della mediana è $1/2$ e che la figura a destra della mediana è un triangolo di vertici
$((4-sqrt(6))/2;0)$
$(2;0)$
$((4-sqrt(6))/2;y)$
trovi subito $y$. Ora con la formula della retta che passa per due punti assegnati trovi anche l'equazione della retta che è
$y=4/3-2/3x$
Immediatamente vedi che TUTTA l'area sotto tale retta nel dominio assegnato è $(2xx4/3)/2=4/3>1$
Significa che bisogna scartare il triangolo di sinistra di area $1/3$ e di vertici $(0;0)$; $(0;4/3)$;$(m;y)$
in altri termini la moda si trova risolvendo in m la seguente equazione ($y$ non serve calolarlo)
$(4/3xx m)/2=1/3 rarr m=1/2$
fine
Ok, grazie, visto e capito. Se ti va dai un'occhiata a quello che ho provato a fare io e vedi di capire dove sta la cazzata che non so qual'è e dov'è ma di sicuro c'è
Lorenzo
come hai fatto è giusto, sbaglierai qualche conto. Tra l'altro riguardando come ho fatto ho trovato anche una via molto più semplice...insomma è un problema da II liceo....anche I
Ciao
più che un errore di calcolo era un errore di valore della mediana $m$. Infatti su $b$ è il massimo della distribuzione si ha che la moda $c$ assume valori positivi e $
Lorenzo
più che un errore di calcolo era un errore di valore della mediana $m$. Infatti su $b$ è il massimo della distribuzione si ha che la moda $c$ assume valori positivi e $
Lorenzo
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