Quesito maturità 2018
in un gioco a due giocatori ogni partita vinta frutta 1 punto e vince chi per primo raggiunge 10 punti.Due giocatori che hanno la stessa probabilità di vincere si sfidano.Qual è la probabilità che uno dei due vinca in un numero di partite minore o uguale a 12?
Ho letto la soluzione in rete a cura di alcuni tizi chiamati Rossi e Tomasi ma la trovo veramente lacunosa dal unto di vista logico. ecco il ragionamento che ho ricostruito (loro lo hanno completamente saltato)
facciamo finta che esista uno spazio di probabilità che modellizzi il problema, chiamiamo $\Omega$ l'insieme dei risultati e $\mathcal{P} (\Omega)$ 'insieme degli eventi e facciamo finta che $\mathbb{P}$ sia la nostra pseudo-probabilità. Ovviamente noi abbiamo la minima idea di chi siano quegli insiemi ma battezziamo gli pseudo-eventi
$ V=\{\text{ il giocatre vince }\ }$
$ V_10=\{\text{ il giocatre vince in 10 partite}\ } $
$ V_11=\{\text{ il giocatre vince in 11 partite}\ } $
$ V_12=\{\text{ il giocatre vince in 12 partite}\ } $
Anche non avendo la minima idea dell'ambiente matematico in cui stiamo lavorando per pure considerazioni svolte in italiano, usando un minimo di logica aristotelica possiamo azzardare
$V= V_10 \cup V_11 \cup V_12$ dove l'unione è disgiunta.
Ora se per assurdo $\mathbb{P}$ fosse effettivamente una probabilità potremmo scrivere $\mathbb{P}(V)=\mathbb{P}(V_10)+\mathbb{P}(V_11)+\mathbb{P}(V_12)$
adesso viene la parte più mistica.Come posso tentare di calcolare ad esempio $\mathbb{P}(V_10)$ ? Leggendo attentamente in italiano e sfruttando un ragionamento per analogia posso ritenere ragionevole confrontare la mia situazione con una moneta equilibrata lanciata dieci volte e quindi andare a sbirciare in un altro spazio di probabilità cioè quello di una moneta lanciata 10 volte . Questo spazio di probabilità è interamente costruito ad esempio possono considerare $\Omega_10=\{ \text{tutte le stringhe di lunghezza 10 che contengono lettere T o C} \}$ e dotarlo della probabilità $\mathbb{P}_10 (\{\text{escono k teste su 10 lanci}\}) =\frac{10!}{k!( 10-k)!} \frac{1}{2^10}$
Pertanto per calcolare la pseudo-probabilità $\mathbb{P}(V_10)$ tramite unasorta di mappa iniettiva vado a lavorare su $\mathbb{P}_10(\{\text{escono dieci teste su dieci lanci}\}$ ed analogamente per calcolare per calcolare la pseudo-probabilità $\mathbb{P}(V_11)$ tramite unasorta di mappa iniettiva vado a lavorare su$ \mathbb{P}_11(\{\text{escono dieci teste su undici lanci}\}$ e così via.
Ora al di là di calcoli combinatori che andrebbero fatti per escludere delle stringhe che potrebbero essere contate più volte la domanda che sorge spontanea in un ragionamento sgangherato come questo è:
chi ci assicura che la pseudo-probabilità così costruita a sentimento $\mathbb{P}$ sia effettivamente una probabilità?
Risposte
Premesso che l'implicazione "soluzione in due passaggi -> soluzione facile" è falsa, purtroppo ci posso fare ben poco se non ti è chiaro quanto scrivo 
Peraltro, forse non stiamo parlando della stessa cosa dato che affermi
Peraltro, forse non stiamo parlando della stessa cosa dato che affermi
"Brufus":
Un vincitore sicuro potrebbe non esserci mai.
Peraltro, forse non stiamo parlando della stessa cosa
due giocatori si sfidano al meglio delle 12 partite. Vince chi ne vince 10 su 12 non chi ne vince di più in 12. In qualsiasi lingua del mondo questo significa che dopo 12 partite (oppure 19 se intendi che prima giochi uno e poi l'altro) potrebbe non aver vinto nessuno.
Per quanto concerne la soluzione (che io non ho mai chiesto fin dal principio) nel primo caso saltando tutti i passaggi e la modellizzazione hai scritto due numeri e poi li hai divisi, poi dopo aver affermato che era tutto molto banale non sei stato in grado di scrivere i passaggi in modo accurato come qualsiasi matematico farebbe. Il che è abbastanza singolare perchè forse la soluzione è più calcolosa e combinatoria di quanto volevi far sembrare con grande nonchalance.
Eppure non è complicato scrivere un conto con pochi passaggi. esempio di modellizzazione:
faccio finta che la moneta venga lanciata a prescindere 12 volte (cosa che non accade nel gioco ma poco importa) cosicchè tutte le stringhe di lughezza 12 ragionevolmente saranno equiprobabili. Infatti volendo usare il modello di probabilità uniforme sono obbligato a costruire l'insieme dei risultati ad esempio
$\Omega = \{ \omega_1, ....., \omega_12\} , \omega_i \in \{0,1\}$
e poi devo costruire l'evento vittoria $V$ che posso decomporre nell'unione disgiunta $V=V_10\cup V_11\cup V_12$ L'evento $V_10$ corrisponde alla frase italiana sono uscite 10 teste nei primi 10 lanci. Allora la cardinalità di tale insieme sarà $\# V_10= ((10),(10))\cdot 4$ dove abbiamo moltiplicato per 4 in quanto ci sono 4 modi distinti di completare le ultime 2 caselle vuote. Con ragionamento analogo si calcola
$\#V_11= [((11),(10)) -1]\cdot 2$ mentre $\#V_12 = [((12),(10))-((11),(10))]$
Siccome $\#V= \#V_10+\#V_11+\#V_12$ usando la probabilità uniforme andiamo a calcolare il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili cioè
$\mathbb{P}(V)=2\frac{((10),(10))\cdot 4+[((11),(10)) -1]\cdot 2+ [((12),(10))-((11),(10))]}{2^12}$
Appurato che la soluzione non è ciò che chiedevo visto che già sapevo calcolarla la mia domanda originaria che nessuno comprende (o che in automatico nessuno legge?) era un'altra e cioè:
come hanno fatto a risolvere l'esercizio i signori in questione visto che non hanno modellizzato niente, non hanno costruito alcuno spazio dei risultati,quindi non possono aver usato la probabilità uniforme, ma hanno unicamente decomposto un evento (in uno spazio di probabilità virtuale mai costruito) come unione disgiunta di tre eventi e poi calcolato la pseudo-probabilità di quegli eventi con 3 leggi binomiali diverse?
"Brufus":
come hanno fatto a risolvere l'esercizio i signori in questione visto che ...
Ma tu che ne sai di quello che hanno effettivamente fatto? Siccome in quello che hai letto tu non c'è quello che tu ti sei costruito nella tua testa allora non va bene
Idem per quello che ho scritto io
Come ho proceduto l'ho scritto nelle righe del post precedente, non ho riportato i conti nel minimo dettaglio perché non ne avevo la minima voglia ma è chiaro quello che ho fatto: ho usato la definizione classica di probabilità, ho calcolato i casi possibili e i casi favorevoli e ne ho fatto il rapporto. Punto.
Ho anche premesso la modellizzazione che avevo fatto del gioco ovvero due giocatori, ad ogni partita o vince uno o vince l'altro, vince il il gioco il primo che vince $10$ partite; indipendentemente da quante partite vengano effettivamente giocate, ogni gioco è equivalente ad una striscia di $19$ risultati (ovvero un numero binario di $19$ cifre) e questi sono i casi possibili.
Tra questi vado a contare (usando la combinatoria ma soprattutto la testa) quanti sono i casi in cui il giocatore vincente ottiene la vittoria prima della tredicesima partita.
L'idea è semplice, i calcoli non brevissimi ma neppure particolarmente complicati. Punto.
Se tu lo hai risolto in un altro modo, non mi interessa, il mio funziona, è corretto e non è complicato. Punto.
Ma tu che ne sai di quello che hanno effettivamente fatto? Siccome in quello che hai letto tu non c'è quello che tu ti sei costruito nella tua testa allora non va bene
Idem per quello che ho scritto io
Ma stiamo parlando di matematica o di chiacchiere ingegneresche in italiano?
La matematica si svolge con un certo linguaggio , invocando teoremi, scrivendo conti e formule,scrivendo insiemi, insomma tutto quello che tu non fai.
La matematica non è fatta di chiacchiere, però forse la probabilità si. Infatti mi rendo conto che esiste una facoltà discienze statistiche così come esiste una facoltà di fisica che appunto sono luoghi diversi da una facoltà di matematica
A me pare che chi chiacchiera qui sei tu, strologando su cos'è la Matematica, la Statistica, la Fisica, su Matematici, Fisici e Ingegneri
Ho anche premesso la modellizzazione che avevo fatto del gioco ovvero due giocatori, ad ogni partita o vince uno o vince l'altro, vince il il gioco il primo che vince 10 partite
Questo è inesatto. Vince il gioco chi totalizza 10 punti in 12 partite non chi raggiunge 10 punti per primo. In altre parole tu hai preso il gioco e lo hai trasformato in un altro gioco che sarebbe questo : un giocatore lancia una moneta non truccata 19 volte. Vince se ottiene 10 teste o croci nei primi 12 lanci. Tutto ciò è veramente singolare poiché in effetti ci si potrebbe chiedere come mai deve lanciare 19 volte se tanto bastano 12 lanci. Perché non proporre il seguente gioco allora :
una moneta non truccata viene lanciata 199 volte. Si vince se escono 10 teste o croci nei primi 12 lanci
Tra questi vado a contare (usando la combinatoria ma soprattutto la testa) quanti sono i casi in cui il giocatore vincente ottiene la vittoria prima della tredicesima partita.
Questo conto, che per inciso non sei in grado di scrivere, spiegare in modo completo, è esattamente quello che ho fatto io e cioè:
$\mathbb{P}(V)= 2\frac{ ((10),(10))\cdot 2^9 +[((11),(10))-((10),(10))]\cdot 2^8 +[((12),(10))-((11),(10))]\cdot 2^7}{2^{19}}=\frac{20224}{524288}$
Se il gioco avesse recitato di lanciare 199 volte la moneta non sarebbe cambiato assolutamente nulla. Avremmo aggiunto 187 lanci totalmente inutili esattamente come tu hai aggiunto 7 lanci totalmente inutili
$\mathbb{P}(V)= 2\frac{ ((10),(10))\cdot 2^{189} +[((11),(10))-((10),(10))]\cdot 2^{188} +[((12),(10))-((11),(10))]\cdot 2^{187}}{2^{199}}=\frac{20224}{524288}$
Ora il punto è che tutti questi modelli,compreso quello in cui la moneta viene lanciata 12 volte fanno finta che accadano dei risultati mai esistiti, perché all'atto pratico se escono 10 teste l'undicesimo lancio non verrà mai effettuato. Il vero spazio dei risultati naturale comprende due stringhe di lunghezza 10, 20 stringhe di lunghezza 11 e un numero più grande di stringhe di lunghezza 12. La probabilità di ciascun singletone si calcola esclusivamente utilizzando l'indipendenza dei lanci.
"Brufus":
Questo è inesatto. Vince il gioco chi totalizza 10 punti in 12 partite non chi raggiunge 10 punti per primo.
Devo aver capito male il primo messaggio dove vedo "in un gioco a due giocatori ogni partita vinta frutta 1 punto e vince chi per primo raggiunge 10 punti.Due giocatori che hanno la stessa probabilità di vincere si sfidano.Qual è la probabilità che uno dei due vinca in un numero di partite minore o uguale a 12?"
"Brufus":
Il vero spazio dei risultati naturale comprende due stringhe di lunghezza 10, 20 stringhe di lunghezza 11 e un numero più grande di stringhe di lunghezza 12.
E dagli, questa è una convinzione tua, te l'ho dimostrato che il problema si può trasformare in uno equivalente più semplice da risolvere.
Ma chi non la pensa come te, sbaglia a prescindere
I "lanci" ulteriori che tu definisci "inutili" invece semplificano il problema generalizzandolo ma se non lo vedi, non ci posso fare nulla
Contento te, tieniti pure le tue convinzioni.
E per favore, smettila di scrivere inesattezze come questa
"Brufus":te l'ho già detto che non ho voglia di trascrivere quello che ho fatto
Questo conto, che per inciso non sei in grado di scrivere,
@Brufus scusa ma temo di non capire quando dici
insomma, se le regole del gioco sono quelle nel primo post e cioé
dato che, appunto, ad ogni "set" viene assegnato un punto ad uno dei due partecipanti, direi che l'evento "uno dei due giocatori vince entro il 19 set compreso" è l'evento certo dato che, appunto, per vincere uno dei due giocatori deve avere raggiunto quota 10 vittorie e, nel peggiore dei casi, l'altro giocatore avrà raggiunto 9 punti.
E questa osservazione vale in qualunque modo tu decida di modellizzare il tuo insieme degli eventi elementari, che mi pare di capire sia il fulcro delle tue obiezioni.
"Brufus":
Anche questa affermazione è assolutamente imprecisa. Un vincitore sicuro potrebbe non esserci mai.
Io penso che chi è laureato in matematica non scriva mai cose approssimative, gli ingegneri e i fisici sono educati in quel modo.
insomma, se le regole del gioco sono quelle nel primo post e cioé
in un gioco a due giocatori ogni partita vinta frutta 1 punto e vince chi per primo raggiunge 10 punti.Due giocatori che hanno la stessa probabilità di vincere si sfidano. Qual è la probabilità che uno dei due vinca in un numero di partite minore o uguale a 12?
dato che, appunto, ad ogni "set" viene assegnato un punto ad uno dei due partecipanti, direi che l'evento "uno dei due giocatori vince entro il 19 set compreso" è l'evento certo dato che, appunto, per vincere uno dei due giocatori deve avere raggiunto quota 10 vittorie e, nel peggiore dei casi, l'altro giocatore avrà raggiunto 9 punti.
E questa osservazione vale in qualunque modo tu decida di modellizzare il tuo insieme degli eventi elementari, che mi pare di capire sia il fulcro delle tue obiezioni.
@Lampo1089
Lui dice che potrebbe non esistere un vincitore perché nella sua "visione" le partite sono sempre e solo $12$ quindi è vero che in quel "mondo" potrebbe non esistere un vincitore.
Il problema consiste nel fatto che NON ammette visioni e concetti diversi dai suoi, e quel che è peggio (a mio parere) è che considera chi non la pensa così uno che non capisce niente di Matematica, concedendo, bontà sua, che possa essere un Ingegnere o un Fisico.
Lui dice che potrebbe non esistere un vincitore perché nella sua "visione" le partite sono sempre e solo $12$ quindi è vero che in quel "mondo" potrebbe non esistere un vincitore.
Il problema consiste nel fatto che NON ammette visioni e concetti diversi dai suoi, e quel che è peggio (a mio parere) è che considera chi non la pensa così uno che non capisce niente di Matematica, concedendo, bontà sua, che possa essere un Ingegnere o un Fisico.
Senza fare calcoli complicati, puoi utilizzare anche Tartaglia,
noterai che in riga 12, ci sta la riga:
1,12,66,220,495,792,924,792,495,220,66,12,1
questi numeri rappresentano, il numero di volte che esca "T" in 12 lanci,
basta che prendi i primi 3 campi per "T" e gli ultimi 3 per "C"
1,12,66,220,495,792,924,792,495,220,66,12,1
ottenendo:
$158/4096$ (circa il 4%)
noterai che in riga 12, ci sta la riga:
1,12,66,220,495,792,924,792,495,220,66,12,1
questi numeri rappresentano, il numero di volte che esca "T" in 12 lanci,
basta che prendi i primi 3 campi per "T" e gli ultimi 3 per "C"
1,12,66,220,495,792,924,792,495,220,66,12,1
ottenendo:
$158/4096$ (circa il 4%)
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