Quesito di statistica... help ^_^
Salve gente!
Sto preparando statistica nel mio corso di laurea (tra una settimana ho lo scritto) e mi sono imbattuto in un esercizio che per quanto mi sbatta non riesco a capire come risolvere..
ve lo propongo qui di seguito:
"Qual'è la probabilità che ci siano esattamente 4 arrivi alla cassa di un supermercato nei successivi 3 minuti, se il numero medio di arrivi è di 0.5 al minuto?"
(A) 0.481
(B) 0.048
(C) 0.134
(D) 0.940
Potreste spiegarmi che ragionamento seguire e che metodo utilizzare per risolverlo?
Anticipatamente grazie
Sto preparando statistica nel mio corso di laurea (tra una settimana ho lo scritto) e mi sono imbattuto in un esercizio che per quanto mi sbatta non riesco a capire come risolvere..
ve lo propongo qui di seguito:
"Qual'è la probabilità che ci siano esattamente 4 arrivi alla cassa di un supermercato nei successivi 3 minuti, se il numero medio di arrivi è di 0.5 al minuto?"
(A) 0.481
(B) 0.048
(C) 0.134
(D) 0.940
Potreste spiegarmi che ragionamento seguire e che metodo utilizzare per risolverlo?
Anticipatamente grazie
Risposte
a me ricorda tanto Poisson. è una vita che non lo "incontro" più, ma ho l'impressione che sia $P(N=4)=((0.5*3)^4)/(4!)*e^(-0.5*3)$. mi pare che la risposta più vicina sia la B.
spero di non averti portato fuori strada, e di essere stata chiara. ciao.
spero di non averti portato fuori strada, e di essere stata chiara. ciao.
Io farei anche quest'altra verifica.
Dividendo il lasso di tempo in 3 tranches da 1 minuto l'uno, in ognuna delle quali la prob. del numero di arrivi è data dalla poissoniana:
$P(k)=[2^k k! sqrt(e)]^-1
calcolerei con questa poissoniana la probabilità totale di 15 diverse possibilità mutuamente esclusive (ed esaustive), elencate nella seguente tabella:
Arrivi nel: (1°__ 2°__ 3°) minuto
________ (0 .... 0 .... 4) e simili, cioè anche (0 4 0) e (4 0 0)
________ (0 .... 1 .... 3) e simili (sono 6 probabilità in tutto, tutte uguali fra loro)
________ (0 .... 2 .... 2) e simili (ce ne sono 3 in tutto)
________ (1 .... 1 .... 2) e simili (ce ne sono 3 in tutto)
Se il risultato viene uguale a quello dato da Ada (che è 0.0471, e non 0.048, come sembra che avrebbe dovuto essere, stando al testo) allora bene!, Se no, è questa che dico io la risposta giusta.
Per il ragionamento e tutto il resto, beh, occorre che tu vada quanto prima a leggerti i rudimenti della distribuzione di Poisson!
Dividendo il lasso di tempo in 3 tranches da 1 minuto l'uno, in ognuna delle quali la prob. del numero di arrivi è data dalla poissoniana:
$P(k)=[2^k k! sqrt(e)]^-1
calcolerei con questa poissoniana la probabilità totale di 15 diverse possibilità mutuamente esclusive (ed esaustive), elencate nella seguente tabella:
Arrivi nel: (1°__ 2°__ 3°) minuto
________ (0 .... 0 .... 4) e simili, cioè anche (0 4 0) e (4 0 0)
________ (0 .... 1 .... 3) e simili (sono 6 probabilità in tutto, tutte uguali fra loro)
________ (0 .... 2 .... 2) e simili (ce ne sono 3 in tutto)
________ (1 .... 1 .... 2) e simili (ce ne sono 3 in tutto)
Se il risultato viene uguale a quello dato da Ada (che è 0.0471, e non 0.048, come sembra che avrebbe dovuto essere, stando al testo) allora bene!, Se no, è questa che dico io la risposta giusta.
Per il ragionamento e tutto il resto, beh, occorre che tu vada quanto prima a leggerti i rudimenti della distribuzione di Poisson!
visto che pare sia un test a scelta multipla, dall'intervento di seascoli mi è venuta una curiosità:
quanto tempo si ha a disposizione per rispondere ad un quesito del genere?
mi pare che anche questo sia un modo per intuire il procedimento richiesto.
quanto tempo si ha a disposizione per rispondere ad un quesito del genere?
mi pare che anche questo sia un modo per intuire il procedimento richiesto.
Le due probabilità, quella calcolata semplicemente da Ada, e quella indicata da me (a puro scopo di verifica), coincidono al 100%.
Quindi la risposta è: 0.047066518...
A questo punto non si capisce bene, però, perchè il testo non riporti la risposta esatta, ma solo una che le é abbastanza vicina.
Quindi la risposta è: 0.047066518...
A questo punto non si capisce bene, però, perchè il testo non riporti la risposta esatta, ma solo una che le é abbastanza vicina.
beh, la questione è che si dispone del tempo totale e della media al minuto.
ma certamente la media al minuto può essere assimilata al calcolo della "velocità media come spazio fratto tempo", tanto per intenderci non si hanno informazioni maggiori, per cui su ogni minuto andrebbe applicata la stessa media. in questo senso è coerente che le due probabilità calcolate con le stesse informazioni coincidano.
chi l'ha detto che media al minuto significa che debbano essere considerati intervalli di un minuto? perché non di 15 secondi?
il dubbio sul risultato proposto a questo punto è lecito...
ma certamente la media al minuto può essere assimilata al calcolo della "velocità media come spazio fratto tempo", tanto per intenderci non si hanno informazioni maggiori, per cui su ogni minuto andrebbe applicata la stessa media. in questo senso è coerente che le due probabilità calcolate con le stesse informazioni coincidano.
chi l'ha detto che media al minuto significa che debbano essere considerati intervalli di un minuto? perché non di 15 secondi?
il dubbio sul risultato proposto a questo punto è lecito...
innanzitutto grazie per le tante risposte.
Riprendendo l'esponenziale di Poisson
e procedendo con il calcolo ho capito dove sbagliavo: al posto di np facevo n/p e quindi sballava tutto..
cmq la meccanica l'ho capita quello che non capisco è come fare a stabilire che per risolvere questo quesito debba ricorrere a Poisson e non ad esempio ad una binomiale di probabilità
Spero non aver detto una boiata
Riprendendo l'esponenziale di Poisson
"adaBTTLS":
$P(N=4)=((0.5*3)^4)/(4!)*e^(-0.5*3)$.
e procedendo con il calcolo ho capito dove sbagliavo: al posto di np facevo n/p e quindi sballava tutto..
cmq la meccanica l'ho capita quello che non capisco è come fare a stabilire che per risolvere questo quesito debba ricorrere a Poisson e non ad esempio ad una binomiale di probabilità
$P(n,x)=(n x)(p^x)*q^(n-x)
Spero non aver detto una boiata
prego.
ti posso dire che a me è scattato il meccanismo di associazione a Poisson perché si parlava di tempo d'attesa e di media degli arrivi.
ciò non toglie che possano essere usate altre "formalizzazioni". nella tua formula che cosa rappresenterebbero le varie "variabili", e quali valori avrebbero l probabilità di base? avresti gli elementi per scrivere il risultato dai dati del problema?
ti posso dire che a me è scattato il meccanismo di associazione a Poisson perché si parlava di tempo d'attesa e di media degli arrivi.
ciò non toglie che possano essere usate altre "formalizzazioni". nella tua formula che cosa rappresenterebbero le varie "variabili", e quali valori avrebbero l probabilità di base? avresti gli elementi per scrivere il risultato dai dati del problema?
Non ho ben capito la domanda che mi hai fatto, presumo che non sono stato chiaro nella definizione della formula ^^
per comodità dato che non so fare le parentesi tonde lunghe ti linko la pagina di wikipedia( se sto infrangendo qualche regola del forum toglietela pure!! )
http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_casuale_binomiale
Esempio: Se si ritiene che un farmaco sia efficace, in media , nel 60% dei casi, la probabilità di una guarigione è p=0.6 e la probabilità dell'evento contrario è q=0.4
inoltre se il farmaco viene somministrato ad n= 5 pazienti e si vogliono calcolare le probabilità che guariscano 2 pazienti avremo:
ritornando al quesito iniziale: mentre cervavo di capire come risolverlo ho provato così consideravo k successi ( 4 arrivi ) , in n prove ( 3 minuti ) e p= 0.5 come nella definizione: "Definito k il numero di successi ottenuti in n prove, la distribuzione di probabilità associa ad ogni possibile valore di k (da 0 ad n) la relativa probabilità."
il ragionamento è sicuramente sbagliato... ma perchè?
per comodità dato che non so fare le parentesi tonde lunghe ti linko la pagina di wikipedia( se sto infrangendo qualche regola del forum toglietela pure!! )
http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_casuale_binomiale
Esempio: Se si ritiene che un farmaco sia efficace, in media , nel 60% dei casi, la probabilità di una guarigione è p=0.6 e la probabilità dell'evento contrario è q=0.4
inoltre se il farmaco viene somministrato ad n= 5 pazienti e si vogliono calcolare le probabilità che guariscano 2 pazienti avremo:
$P(5,2)=(4/2)*0.6^2*0.4^(4-2)$
ritornando al quesito iniziale: mentre cervavo di capire come risolverlo ho provato così consideravo k successi ( 4 arrivi ) , in n prove ( 3 minuti ) e p= 0.5 come nella definizione: "Definito k il numero di successi ottenuti in n prove, la distribuzione di probabilità associa ad ogni possibile valore di k (da 0 ad n) la relativa probabilità."
il ragionamento è sicuramente sbagliato... ma perchè?
Spero anch'io di non dire una boiata
Stavo pensando alla possibilità di risolvere il problema con il calcolo combonatorio.
Dato che la media è di 0,5 arrivi al minuto, ogni secondo c'è 1 possibilità su 120 che arrivi qualcuno alla cassa.
Il problema chiede la probabilità di 4 arrivi in 180'.
Quindi:
$((180!)/(176!*4!)*119^176)/120^180$
E' la prima volta che scrivo una formula, spero che si legga correttamente.
Il risultato però e leggermente diverso da quello di Ada e seasecoli : 0,046767
Forse ho scritto una boiata...
Stavo pensando alla possibilità di risolvere il problema con il calcolo combonatorio.
Dato che la media è di 0,5 arrivi al minuto, ogni secondo c'è 1 possibilità su 120 che arrivi qualcuno alla cassa.
Il problema chiede la probabilità di 4 arrivi in 180'.
Quindi:
$((180!)/(176!*4!)*119^176)/120^180$
E' la prima volta che scrivo una formula, spero che si legga correttamente.
Il risultato però e leggermente diverso da quello di Ada e seasecoli : 0,046767
Forse ho scritto una boiata...
a livello teorico il problema si può impostare in vari modi. a dire il vero, dall'intervento di seascoli non escluderei che lui abbia usato i coefficienti binomiali, perché ha parlato di diverse possibilità.
io noto una forzatura nel suddividere l'intervallo di tempo in un non ben precisato numero di intervallini, e questo mi sembra arbitrario.
vi consiglio comunque di cercare il "metodo della randomizzazione di Schrodinger", se non lo conoscete già. forse potete trovare conferma in quello che vorreste fare, ed anche capire se c'è qualche cosa che non va nei vostri ragionamenti. tale metodo appunto è tipico nelle "suddivisioni degli intervalli di tempo" e fa un po' da collegamento tra la binomiale e Poisson.
spero vi sia d'aiuto. ciao.
io noto una forzatura nel suddividere l'intervallo di tempo in un non ben precisato numero di intervallini, e questo mi sembra arbitrario.
vi consiglio comunque di cercare il "metodo della randomizzazione di Schrodinger", se non lo conoscete già. forse potete trovare conferma in quello che vorreste fare, ed anche capire se c'è qualche cosa che non va nei vostri ragionamenti. tale metodo appunto è tipico nelle "suddivisioni degli intervalli di tempo" e fa un po' da collegamento tra la binomiale e Poisson.
spero vi sia d'aiuto. ciao.
E perchè fermarsi al secondo?
Perchè non considerare il microsecondo? Quindi in ogni benedetto microsecondo c'è una probabilità 1/120000 che arrivi qualcuno alla cassa. In 3 minuti ci sono in tutto 180 mila microsecondi per cui la tua formula diventa
$((180000),(4)) \frac{(119996)^179996}{120000^180000}$ aiuto!!!!!
E anche questa sarebbe proponibile.
Ora, se leggi qualcosa sulla distribuzione di Poisson, vedrai proprio questo: che essa corrisponde ad una binomiale quando $p->0$ e $N->\infty$ col prodotto $Np$ che però resta fisso. Infatti tu hai usato come base dei tempi il secondo e ottieni:
p=1/120, N=180 e Np=180/120 = 1.5 arrivi ogni 3 minuti (che è la media del problema).
Io, basandomi su microsecondo, trovo invece:
p=1/120000 N=180000, e Np=180000/120000 = 1,5 arrivi ogni 3 minuti, ancora una volta.
Allora, ci scommetto le palle, se riesci a fare il calcolo della mia espressione con numeri enormi, otterrai ancora una risposta simile alla tua e a quella scritta prima da me, cioè 0,047 circa.
Insomma, il tuo ragionamento non fa una piega, ma un certo Denis Poisson circa 180 anni fa l'aveva già fatto, inoltre si era accorto che esisteva quel limite cui tendeva .... non "la pargoletta mano" , ma la "benedetta binomiale" e l'aveva calcolato a beneficio dei posteri. Perciò se non vuoi farlo incax!x!are di brutto, dovunque lui si trovi, sai quello che devi fare!
Perchè non considerare il microsecondo? Quindi in ogni benedetto microsecondo c'è una probabilità 1/120000 che arrivi qualcuno alla cassa. In 3 minuti ci sono in tutto 180 mila microsecondi per cui la tua formula diventa
$((180000),(4)) \frac{(119996)^179996}{120000^180000}$ aiuto!!!!!
E anche questa sarebbe proponibile.
Ora, se leggi qualcosa sulla distribuzione di Poisson, vedrai proprio questo: che essa corrisponde ad una binomiale quando $p->0$ e $N->\infty$ col prodotto $Np$ che però resta fisso. Infatti tu hai usato come base dei tempi il secondo e ottieni:
p=1/120, N=180 e Np=180/120 = 1.5 arrivi ogni 3 minuti (che è la media del problema).
Io, basandomi su microsecondo, trovo invece:
p=1/120000 N=180000, e Np=180000/120000 = 1,5 arrivi ogni 3 minuti, ancora una volta.
Allora, ci scommetto le palle, se riesci a fare il calcolo della mia espressione con numeri enormi, otterrai ancora una risposta simile alla tua e a quella scritta prima da me, cioè 0,047 circa.
Insomma, il tuo ragionamento non fa una piega, ma un certo Denis Poisson circa 180 anni fa l'aveva già fatto, inoltre si era accorto che esisteva quel limite cui tendeva .... non "la pargoletta mano" , ma la "benedetta binomiale" e l'aveva calcolato a beneficio dei posteri. Perciò se non vuoi farlo incax!x!are di brutto, dovunque lui si trovi, sai quello che devi fare!
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