Quesiti teorici di Probabilità [Teorema di Bernulli e Legge dei grandi numeri forte/debole]

[Francikkk1]

Buongiorno a tutti,
stavo cercando di capire cosa il mio professore di modelli matematici e probabilistici vuole che sia fatto, in particolare ho problemi sulla parte finale del programma di probabilità in quanto sullo stesso programma c'è scritto "Teorema di Bernoulli (convergenza della distribuzione binomiale alla distribuzione normale); Legge debole dei grandi numeri; Teorema del limite centrale".
Adesso il mio problema è che non riesco a capire se la legge dei grandi numeri (forte o debole) e il teorema di bernulli coincidano. In particolare il dubbio mi è stato insinuato da wiki in quanto scrive "La legge dei grandi numeri oppure teorema di Bernoulli (in quanto la sua prima formulazione è dovuta a Jakob Bernoulli),..." anche se nel programma sono delimitare da un ";" e per questo dovrebbero essere a rigore due cose distinte . Potete darmi una mano con questo, in particolare potete spiegarmi anche un po in soldoni il Teorema di Bernulli e la differenze (se esiste) con la legge dei grandi numeri?
Secondo problema di nomenclatura: volevo sapere se la così detta legge empirica del caso corrisponde a una delle due leggi dei grandi numeri.


Grazie per l'attenzione!

[Lo_zio_Tom]

"Francikkk": in particolare potete spiegarmi anche un po in soldoni il Teorema di Bernulli e la differenze (se esiste) con la legge dei grandi numeri?

La domanda è malposta e per risponderti sarebbe necessario un corso completo di probabilità, ed anche un po' di matematica; di conseguenza ogni cosa che si scriva come risposta è suscettibile di obiezioni, più o meno formali. Ad ogni modo, giusto per darti un'idea di cosa studiare:

In genere con la dicitura "Teorema di Bernulli" si intende proprio la legge dei grandi numeri, ovvero la legge che dimostra la convergenza della media campionaria (sperimentale) verso la media "vera", teorica.

Di tali leggi ne esistono di due tipi e, sotto determinate condizioni, affermano che

1) Legge debole dei grandi numeri: $bar(X)_n\stackrel(mathcal(P))rarr mu$, ovvero $lim_(n rarr+oo)P{|bar(X)_n-mu|<=epsilon}=1$

Questa disuguaglianza ti ricorda qualche cosa di noto fatto al corso?


2) Legge forte dei grandi numeri: $bar(X)_n\stackrel("q.c. ")rarr mu$

ovvero $P(lim_(n rarr+oo)bar(X)_n=mu)=1$ che è una forma di convergenza molto più forte.


Qui c'è un esempio molto didattico e non troppo difficile sui vari concetti di convergenza, ma ne puoi trovare molti altri cercando autonomamente, anche molto articolati.

Se invece il tuo libro, come affermi qui

"Francikkk":... in quanto sullo stesso programma c'è scritto "Teorema di Bernoulli (convergenza della distribuzione binomiale alla distribuzione normale)

significa che con tale dicitura intende il teorema di De Moivre- Laplace, che è una convergenza in Legge, più debole delle precedenti.
Dettagli sul suddetto teorema, che è un caso particolare del Teorema Centrale del Limite, li puoi trovare su qualunque testo, sicuramente anche sul tuo.
In questo forum di esercizi in proposito ce ne sono a centinaia, tutti risolti e commentati; devi solo usare la funzione cerca.

Infine:

"Francikkk":Buongiorno a tutti,
stavo cercando di capire cosa il mio professore di modelli matematici e probabilistici vuole che sia fatto,

....chiedendo direttamente a lui avresti un'interpretazione autentica di ciò che vuole.

EDIT: ah dimenticavo

"Francikkk":volevo sapere se la così detta legge empirica del caso corrisponde a una delle due leggi dei grandi numeri.

sì, è un modo volgare di chiamare la legge debole dei grandi numeri (ma basta digitare "legge empirica del caso" su google che ti esce...non hai provato?