Quesiti calcolo probabilità: vero o falso

[agostino.ia]

1)Siano X ed Y due v.a. indipendenti, allora $E(X/Y)=[E(X)]/[E(Y)]$?

2)Siano $X ~exp(\lambda)$ ed $Y~exp(\mu)$ indipendenti, allora $min(X,Y)~exp(\lambda+mu- \lambda \mu), \lambda, \mu >0$

[anfri1]

Ciao

Per la domanda 1:

Esiste un teorema che recita:

Siano $X,Y$ due v.a. indipendenti,
siano $ϕ : RR→RR$, $Ψ : RR→RR$ due funzioni misurabili
siano $U = ϕ◦X$, $V = Ψ◦Y$

Allora $U$ e $V$ sono indipendenti.

Applicando al caso specifico: (in cui $ϕ(t) = t$ e $Ψ(t) = 1/t$)

$ E[X/Y]=E[X(1/Y)]=E[X]E[1/Y]$ e non $(E[X]) / (E[Y])$

Per la domanda 2:

Ti spiego qual è stato il mio modo di procedere:

Consideriamo intanto la funzione di ripartizione di una v.a. $W~exp(γ)$
$P(W≤t) = 0$, se $t < 0$ ; $1 - e^(-γt)$, se $t ≥ 0$

Nello specifico, posto $Z = min{X, Y}$
$P(Z≤t) = 1-P(Z>t) = 1-P(min{X, Y}>t) = 1-P(X>t∩Y>t) = 1-P(X>t)P(Y>t)$

Anche per $Z$ vale ovviamente $P(Z≤t) = 0$ se $t < 0$ , quindi limitiamoci al caso $t ≥ 0$

Si osserva a questo punto che:

$P(X>t) = 1-P(X≤t) = 1-(1 - e^(-λt)) = e^(-λt)$
$P(Y>t) = 1-P(Y≤t) = 1-(1 - e^(-µt)) = e^(-µt)$

Quindi, continuando da dove eravamo rimasti:

$P(Z≤t) = ... = 1-P(X>t)P(Y>t) = 1-e^(-(λ+µ)t)$

Ottenendo infine:

$P(Z≤t) = 0$, se $t < 0$ ; $1-e^(-(λ+µ)t)$, se $t ≥ 0$

da cui si deduce che $Z~exp(λ+µ)$ e non $Z~exp(λ+µ-λµ)$