Quantile di una distribuzione normale
Salve a tutti,
Ho un esercizio il cui testo è: "Sia $ X∼N(4.71,9.25) $
-Calcolare il quantile di ordine 0.63
-Calcolare il valore c tale che $ Pr(|X−μ| > c)=0.85 $
-Calcolare il valore d tale che $ Pr((X−μ)^2 > d)=0.68 $ ".
Già il primo punto mi ha messo in difficoltà. Per calcolare il quantile avrei bisogno della funzione di ripartizione, che non saprei come ricavare. (mi è stato detto che esiste un programma chiamato R che esegue calcoli del genere, non esistono altre vie per risolvere questo punto).
Per il secondo e il terzo punto ho proceduto in questo modo: (siccome immagino la risoluzione del terzo sia simile, propongo solo quella del secondo)
Ho standardizzato la X, quindi
$ Pr(|Z| > (c/σ))=0.85 $
Poi ho ipotizzato di prendere la parte positiva di Z,
$ Pr(Z > (c/σ))=0.425 $
Utilizzo le tavole per determinare il valore di $c/σ$
$ 1 - Pr(c/σ) = 0.425 $
$Pr(c/σ) = 0.575 $
$c/σ = 0.19$
Il procedimento fino a qua è corretto? La c è ricavabile solamente da quest'ultima equazione o devo ritornare alla variabile X per calcolarla?
Grazie
Ho un esercizio il cui testo è: "Sia $ X∼N(4.71,9.25) $
-Calcolare il quantile di ordine 0.63
-Calcolare il valore c tale che $ Pr(|X−μ| > c)=0.85 $
-Calcolare il valore d tale che $ Pr((X−μ)^2 > d)=0.68 $ ".
Già il primo punto mi ha messo in difficoltà. Per calcolare il quantile avrei bisogno della funzione di ripartizione, che non saprei come ricavare. (mi è stato detto che esiste un programma chiamato R che esegue calcoli del genere, non esistono altre vie per risolvere questo punto).
Per il secondo e il terzo punto ho proceduto in questo modo: (siccome immagino la risoluzione del terzo sia simile, propongo solo quella del secondo)
Ho standardizzato la X, quindi
$ Pr(|Z| > (c/σ))=0.85 $
Poi ho ipotizzato di prendere la parte positiva di Z,
$ Pr(Z > (c/σ))=0.425 $
Utilizzo le tavole per determinare il valore di $c/σ$
$ 1 - Pr(c/σ) = 0.425 $
$Pr(c/σ) = 0.575 $
$c/σ = 0.19$
Il procedimento fino a qua è corretto? La c è ricavabile solamente da quest'ultima equazione o devo ritornare alla variabile X per calcolarla?
Grazie
Risposte
Il quantile richiesto nel primo punto si legge sulle tavole, senza scomodare R.
Il secondo è giusto: $c=0,19 sqrt (9,25) $.
Per il terzo invece il metodo più veloce è questo: osservo che, posto $Z $ una va normale std:
$F_(Z^2)(y)=P (Z^2
$f_(Z^2) (y)=phi (sqrt (y)) 1/(2sqrt (y))-phi (-sqrt(y))(-1)/(2sqrt (y))=(phi (sqrt (y)))/sqrt (y)=$
$=1/sqrt(2pi) y^(-1/2) e^(-y/2)=(1/2)^(1/2)/(Gamma (1/2)) y^(1/2-1) e^(-y/2)~chi_((1))^2$
In pratica calcolo il quantile richiesto sulle tavole della chi-quadro con 1 gdl che corrisponde a $(X-mu)^2/sigma^2$ da cui subito ho la soluzione semplicemente moltiplicando per $sigma^2$. In sostanza l'esercizio si risolve facendo $0.17\cdot9.25=1.57$ dove $0.17$ lo leggi sulle tavole.
Ovviamente puoi anche ragionare come nel punto 2, con le opportune modifiche..ma immagino che il prof voglia farti usare le proprietà che ti ho illustrato
Ciao
Il secondo è giusto: $c=0,19 sqrt (9,25) $.
Per il terzo invece il metodo più veloce è questo: osservo che, posto $Z $ una va normale std:
$F_(Z^2)(y)=P (Z^2
$f_(Z^2) (y)=phi (sqrt (y)) 1/(2sqrt (y))-phi (-sqrt(y))(-1)/(2sqrt (y))=(phi (sqrt (y)))/sqrt (y)=$
$=1/sqrt(2pi) y^(-1/2) e^(-y/2)=(1/2)^(1/2)/(Gamma (1/2)) y^(1/2-1) e^(-y/2)~chi_((1))^2$
In pratica calcolo il quantile richiesto sulle tavole della chi-quadro con 1 gdl che corrisponde a $(X-mu)^2/sigma^2$ da cui subito ho la soluzione semplicemente moltiplicando per $sigma^2$. In sostanza l'esercizio si risolve facendo $0.17\cdot9.25=1.57$ dove $0.17$ lo leggi sulle tavole.
Ovviamente puoi anche ragionare come nel punto 2, con le opportune modifiche..ma immagino che il prof voglia farti usare le proprietà che ti ho illustrato
Ciao
Ti ringrazio per la spiegazione. L'unico dubbio che mi rimane riguarda il primo punto: per poter utilizzare le tavole avrei bisogno di standardizzare la variabile aleatoria. In questo caso otterrei un quantile per la va standardizzata, che non credo corrisponda a quello della mia va iniziale. In questo caso lo "de-standardizzo", quindi applico al quantile la formula inversa della $ Z=(X-μ)/sigma $ ?
"tommik":
la soluzione semplicemente moltiplicando per σ2. In sostanza l'esercizio si risolve facendo 0.17⋅9.25=1.57 dove 0.17 lo leggi sulle tavole.
Non ho ben capito dove si è trovato 0.17
Come ho detto più di un anno fa... è il quantile di una $chi_((1))^2$
Se non ti piace come soluzione, con qualche passaggio in più puoi anche passare per le tavole di una gaussiana
$P{(X-4,71)^2/(9,25)>d/(9,25)}=0,68$
$P{|Z|>sqrt(d/(9.25))}=0.68$
$sqrt(d/(9,25))=0.4125$
$d=1,57$
Esattamente come spiegai illo tempore
È più chiaro così?
Se non ti piace come soluzione, con qualche passaggio in più puoi anche passare per le tavole di una gaussiana
$P{(X-4,71)^2/(9,25)>d/(9,25)}=0,68$
$P{|Z|>sqrt(d/(9.25))}=0.68$
$sqrt(d/(9,25))=0.4125$
$d=1,57$
Esattamente come spiegai illo tempore
È più chiaro così?
Si grazie ora ho capito
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