Qualcuno mi spiega il "paradosso del cubo"?

[pierfraxxxx]

Abbiamo un sacco con all'interno un numero infinito di cubi che variano omegeneamente da cubi piccoli di 2cm per lato a cubi grandi di 4cm per lato, il cubo "medio" diciamo che è di 3cm per lato ovvero (2+4)/2=3

Abbiamo un secondo sacco con all'interno un numero infinito di cubi che variano omegeneamente da cubi piccoli di 8CmCubi di volume a cubi grandi di 64CmCubi di volume, il cubo "medio" diciamo che è di 36CmCubi di volume ovvero (8+64)/2=36

E' evidente che il secondo sacco è identico al primo solo che nel primo il cubo medio ha un lato di 3cm ed un volume di 27CmCubi, nel secondo invece il cubo medio ha un lato dato dalla radice cubica di 36 e volume di 36CmCubi.

Come mai???

[elgiovo]

Nel primo sacco la variabile aleatoria lato del cubo $bbl$ è distribuita uniformemente tra $2$ e $4$, mentre nel secondo sacco è la variabile aleatoria volume del cubo $bbV$ ad essere distribuita uniformemente tra $8$ e $64$. La trasformazione necessaria per passare da una v.a. all'altra è non lineare: $bbV=bbl^3$, quindi non c'è da stupirsi. Prova ad esempio a calcolare la distribuzione di $bbl$ nel secondo sacco, e ti renderai conto che non è poi tanto "identico" al primo.

[pierfraxxxx]

Grazie elgiovo per il concetto di trasformazione non lineare.
Volevo capire meglio a carattere più generale:
Se ho un sacco con un infinito numero di cubi che variano dal più picclolo avente lato di 2cm e volume di 8CmCubi ed il più grande avente lato di 4cm e volume di 64CmCubi, qual'è il cubo medio?

Se ho capito ciò che mi hai spiegato la risposta è che la domanda non è completa perchè dovrei chiedermi rispetto a quale variabile devo calcolare la media.

E' così?
Grazie.

[elgiovo]

"pierfraxxxx":
Se ho capito ciò che mi hai spiegato la risposta è che la domanda non è completa perchè dovrei chiedermi rispetto a quale variabile devo calcolare la media.

Si. Sostanzialmente, quella che tu chiami nel primo post "variazione omogenea" si rappresenta matematicamente con il concetto di distribuzione uniforme. Vuol dire che, grosso modo, ogni grandezza da 2 a 4 cm nel caso dei lati è equiprobabile alle altre pescando un cubo qualsiasi. Se però i lati assumono questa distribuzione, i volumi non possono, in quanto legati ai lati da quella relazione non lineare. Non so quanto tu sia ferrato in probabilità, comunque ti faccio vedere come si agisce.
La distribuzione dei lati nel primo sacco è $f_(bbl)(l)=1/2 chi_([2,4])(l)$. Hai che $bbl=root(3)(bbV)$; esiste un teorema secondo cui puoi ricavare $f_(bbV)(v)$ a partire dall'equazione precedente: $f_(bbV)(v)=(f_(bbl)(root(3)(v)))/(|3(root(3)(v))^2|)=(chi_([2,4])(root(3)(v)))/(6v^(2/3))$, ovvero una distribuzione tutt'altro che uniforme e "omogenea". Oltretutto vorrei farti notare che il volume medio nel primo sacco non corrisponde affatto al cubo di lato medio. Infatti $m_(bbV)=int_(-oo)^(oo) v*f_(bbV)(v)"d"v=30$, che corrisponde al cubo di lato $root(3)(30) ~= 3.172$.