Quadrato di una Chi-quadrato

[totinaples]

Ragazzi vi sottopongo un problema che non mi sta facendo dormire....

Sapendo che $Phi= 1/((1-2t)^(1/2))$ è la funzione generatrice dei momenti di una v.a. costituita dal quadrato di una v.a. gaussiana standard si calcoli la media del quadrato di una v.a. Chi-Quadrato con n gradi di libertà.

ho cercato di fare un ragionamento induttivo partendo dalla pdf della normale ma proprio non ci sono riuscito.
Allora ho provato a fare la Mgf della chi quadrato al quadrato mettendo al posto di $e^(tx)->e^(tx^2)$ ma oltre ad essere un integrale di difficile risoluzione, non giustificherebbe il motivo per cui mi è stata data la mgf del quadrato di una normale. Deve esserci qualche collegamento logico che io purtroppo non sono in grado di fare...aiutatemi!!!!!

[*] Diciamo che ho trovato una possibile soluzione...presupponendo che io conosca la mgf della chi quadrato so che la sua derivata prima è $E{K}$ e la sua derivata seconda è $E{K^2}$ cioè la speranza matematica della chi-quadro al quadrato che per la cronaca è $n^2+2n$. Tuttavia questo continua a non giustificare il dato di partenza (la mgf della normale al quadrato). Continuo a pensare che il professore voglia farmi fare un ragionamento partendo da quel dato

[hamming_burst]

"totinaples":

Diciamo che ho trovato una possibile soluzione...presupponendo che io conosca la mgf della chi quadrato so che la sua derivata prima è $E{K}$ e la sua derivata seconda è $E{K^2}$ cioè la speranza matematica della chi-quadro al quadrato che per la cronaca è $n^2+2n$. Tuttavia questo continua a non giustificare il dato di partenza (la mgf della normale al quadrato). Continuo a pensare che il professore voglia farmi fare un ragionamento partendo da quel dato

ok. Hai intuito il procedimento da fare, ma per utilizzare i dati dell'esercizio devi passare per le proprietà della media varianza (linerità), ci son più strade, te ne mostro una.

$Y = X^2$
$m_Y(t) = 1/sqrt(1-2t)$

$E[Y^1] = m_{Y}^{\prime}(0)$
$Var(Y) = E[Y^2] - E[Y]^2 = m_{Y}^{''}(0) - [m_{Y}^{\prime}(0)]^2$

$K = \chi^2(n) = sum_{i=1}^n Y_i$ con $Y_i$ indipendenti
$K^2 = [\chi^2(n)]^2 = [sum_{i=1}^n Y_i]^2$

$E[K] = E[sum_{i=1}^n Y_i] = sum_{i=1}^n E[Y_i^1] = sum_{i=1}^n m_{Y_i}^{\prime}(0)$
$Var(K) = Var(sum_{i=1}^n Y_i) = sum_{i=1}^n Var(Y_i) = ... = E[K^2] - E[K]^2$

a te concludere.

[totinaples]

Mamma mia....ci ho messo una decina di minuti per capire ma grazie veramente...solo un' aggiunta per chi dovesse leggere in futuro il post $E[K]=\sum_{i=1}^n E[Y]=n*m_y(0)'$.
Il risultato che avevo trovato deduco comunque che sia corretto!
Grazie mille!!!

[hamming_burst]

"totinaples":solo un' aggiunta per chi dovesse leggere in futuro il post $E[K]=\sum_{i=1}^n E[Y]=n*m_y(0)'$.

ah grazie, semplice dimenticanza. Ora correggo.

"totinaples":Il risultato che avevo trovato deduco comunque che sia corretto!

lo hai trovato però barando
ma se hai fatto i calcoli e le derivate, devono corrispondere.

[totinaples]

si è vero ahah...vabè almeno so cosa dire all' esame quando me lo chiederà però!