Provare l'indipendenza
Se abbiamo $X$ ed $Y$ due v.a iid $N(0,1)$
una volta ricavate le distribuzioni di $W=X+Y$ ed $Z=X-Y$
dimostrare che $W$ e $Z$ sono indipendenti.
io so che se la congiunta è il prodotto delle marginali allora si ha indipendenza.
Nel mio caso l'indipendenza sembra intuitiva ma, ricavate le due distrib, come procedere con la dimostrazione?
una volta ricavate le distribuzioni di $W=X+Y$ ed $Z=X-Y$
dimostrare che $W$ e $Z$ sono indipendenti.
io so che se la congiunta è il prodotto delle marginali allora si ha indipendenza.
Nel mio caso l'indipendenza sembra intuitiva ma, ricavate le due distrib, come procedere con la dimostrazione?
Risposte
$W$ e $Z$ sai già che distribuzione hanno (per le proprietà sulle distribuzioni normali).
Il fatto da usare è quello che dici te, prova a ricavare dunque $f_{(W,Z)}(x,y)$ e vedi se si fattorizza.
Il fatto da usare è quello che dici te, prova a ricavare dunque $f_{(W,Z)}(x,y)$ e vedi se si fattorizza.
@markowitz ti proporrei anche un'altra strada.
Dimostra che il vettore $(W,Z)$ è normale; a quel punto calcolati la covarianza e vedi se viene 0.
Dimostra che il vettore $(W,Z)$ è normale; a quel punto calcolati la covarianza e vedi se viene 0.
Ok, avevo un'idea tipo quella di Dajeforte, ma prima parliamo della distribuzione.
Diciamo che so che la somma di normali e normale con media uguale alla somma delle medie
e varianza uguale, sotto indipendenza, alla somma delle varianze. In sostanza sia $Z$ che $W$ sono $N(0,2)$
però voglio vedere se riesco a fare i conti con il metodo usato prima.
$F(z)=P(X+Y<=z)=P(Y<=z-X)=int_(-oo) ^ (+oo) P(Y<=z-x)f(x)dx=int_(-oo) ^ (+oo) (1/(2*pi)^(1/2)*int_(-oo) ^ (z-x) e^((-y^2/2))dy )f(x)dx$
Giusto fin qua?
Diciamo che so che la somma di normali e normale con media uguale alla somma delle medie
e varianza uguale, sotto indipendenza, alla somma delle varianze. In sostanza sia $Z$ che $W$ sono $N(0,2)$
però voglio vedere se riesco a fare i conti con il metodo usato prima.
$F(z)=P(X+Y<=z)=P(Y<=z-X)=int_(-oo) ^ (+oo) P(Y<=z-x)f(x)dx=int_(-oo) ^ (+oo) (1/(2*pi)^(1/2)*int_(-oo) ^ (z-x) e^((-y^2/2))dy )f(x)dx$
Giusto fin qua?
Ma perche vuoi trovare la distribuzione di $X+Y$ che sai essere normale (se ti interessa il tuo ragionamento e' giusto a parte il $sqrt(2 pi)$ al denominatore che ne manca uno).
Quello che devi fare (per seguire il consiglio di fu) e' trovare la distribuzione di $(W,Z)$, $P(X+Y
EDIT: Non e' vero non manca nulla e' giusto quello che hai scritto.
Quello che devi fare (per seguire il consiglio di fu) e' trovare la distribuzione di $(W,Z)$, $P(X+Y
EDIT: Non e' vero non manca nulla e' giusto quello che hai scritto.
Rimaniamo un'attimo alla distribuzione di $X+Y$, voglio vedere se riesco ad ottenere il risultato.
Se quello che ho scritto è corretto allora ho un dubbio su due possibili vie da seguire per continuare:
caso1
porto bellamente fuori tutta la tonda,
l'altro integrale fa $1$ e mi resta $F(z-y)$ che non mi convince per niente
operazione NON è plausibile vero?
caso2
ottengo:
$1/(2pi)*int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^(z-y) e^-(x^2+y^2)/2 dxdy$
e giusta vero?
sperando di si sul suo svolgimento per adesso sorvolo.
Passando all'indipendenza di $W$ e $Z$ direi che
ragionando sulla distribuzione congiunta come consigliato
$P(W<=w,Z<=z)=P(X+Y<=z , X-Y<=w)=P(X<=w-Y nn X<=z+Y)$
e poi come proseguo? io devo dimostrare l'indipendenza non usarla. Non sarei obbligato ad avere o la
congiunta o la condizionata?
Altrimenti posso calcolare la corr. sfruttando il fatto che se due normali sono incorrelate sono anche indipendenti
allora $COV(W,Z)=E[(X-Y)*(X+Y)]-E[X-Y]*E[X+Y]=...=0$ ok!
Giusto vero?
Se quello che ho scritto è corretto allora ho un dubbio su due possibili vie da seguire per continuare:
caso1
porto bellamente fuori tutta la tonda,
l'altro integrale fa $1$ e mi resta $F(z-y)$ che non mi convince per niente
operazione NON è plausibile vero?
caso2
ottengo:
$1/(2pi)*int_(-oo)^(oo) int_(-oo)^(z-y) e^-(x^2+y^2)/2 dxdy$
e giusta vero?
sperando di si sul suo svolgimento per adesso sorvolo.
Passando all'indipendenza di $W$ e $Z$ direi che
ragionando sulla distribuzione congiunta come consigliato
$P(W<=w,Z<=z)=P(X+Y<=z , X-Y<=w)=P(X<=w-Y nn X<=z+Y)$
e poi come proseguo? io devo dimostrare l'indipendenza non usarla. Non sarei obbligato ad avere o la
congiunta o la condizionata?
Altrimenti posso calcolare la corr. sfruttando il fatto che se due normali sono incorrelate sono anche indipendenti
allora $COV(W,Z)=E[(X-Y)*(X+Y)]-E[X-Y]*E[X+Y]=...=0$ ok!
Giusto vero?
caso 1) sbagiato. Perchè l'integrale tra parentesi è a sua volta una funzione di $x$ e quindi non puoi portarlo fuori l'integrale esterno.
E poi come dici te il risultato che ottieni non è convorme a ciò che dovresti ottenere.
caso 2) Corretto(a parte il diviso 2 che penso sia un refuso). Ora uno da la si dovrebbe mettere a fare un po di trasformazioni ed arrivare alla fine a $1/sqrt(2*pi*2)int_(-infty)^z e^(-x^2/(2*2)) \ dx$.
Una strada più semplice sarebbe quella di passare per la funzione caratteristica.
Per quanto riguarda il dopo ti dovresti mettere a ragionare sul dominio di integrazione della variabile doppia.
Secondo me però ti conviene fare così:
dato il vettore $(W,Z)$ esso è normale se ogni combinazione lineare (non nulla) delle due variabili è normale, ovvero
presi $alpha$ e $beta$ non entrambi nulli $alpha \ W + beta\ Z$ è normale e questo è facile da vedere.
A questo punto $Cov(W,Z)=0$ implica che le due variabili sono indipendenti.
E poi come dici te il risultato che ottieni non è convorme a ciò che dovresti ottenere.
caso 2) Corretto(a parte il diviso 2 che penso sia un refuso). Ora uno da la si dovrebbe mettere a fare un po di trasformazioni ed arrivare alla fine a $1/sqrt(2*pi*2)int_(-infty)^z e^(-x^2/(2*2)) \ dx$.
Una strada più semplice sarebbe quella di passare per la funzione caratteristica.
Per quanto riguarda il dopo ti dovresti mettere a ragionare sul dominio di integrazione della variabile doppia.
Secondo me però ti conviene fare così:
dato il vettore $(W,Z)$ esso è normale se ogni combinazione lineare (non nulla) delle due variabili è normale, ovvero
presi $alpha$ e $beta$ non entrambi nulli $alpha \ W + beta\ Z$ è normale e questo è facile da vedere.
A questo punto $Cov(W,Z)=0$ implica che le due variabili sono indipendenti.
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