Proprietà dell'assenza di memoria

[Mega-X]

Stavo tentando (inutilmente) di dimostrare che la proprietà dell'assenza di memoria è un esclusiva delle distribuzioni esponenziali. Ho tentato di provare in 2 modi la cui parte in comune è:

$P(X>t+s|X>t) = (P((X>t+s)\nn(X>t)))/(P(X>t))=(P(X>t+s))/(P(X>t))=P(X>s)$

Definendo $R(t) = 1 - F(t)$ e sapendo quindi che $P(X>t) = 1-F(t) = R(t)$ abbiamo che

$(R(t+s))/(R(t)) = R(s)$; $R(t+s) = R(s)R(t)$ (1)

Qua ho trovato due modi di procedere

1. Equazioni Differenziali

Sottraggo ad entrambi i membri della (1) la quantità $R(t)$, divido tutto per $s$ e faccio tendere $s$ a $0$

$\lim_{s->0}(R(t+s)-R(t))/s = R(t)\lim_{s->0}(R(s)-1)/s$

Essendo $R(t) = 1 - F(t)$ e quindi $R'(t) = -F'(t) = -f(t)$ abbiamo

$-f(t) = R(t)\lim_{s->0}(R(s)-1)/s$
$f(t) = R(t)\lim_{s->0}(1-R(s))/s$
$f(t) = (1-F(t))\lim_{s->0}(F(s))/s$
E qua comincio ad avere problemi...

Ho pensato di porre $F(0) = 0$ così da poter scrivere ciò

$f(t) = (1-F(t))\lim_{s->0}(F(0+s)-F(0))/s$
$f(t) = (1-F(t))f(0)$

E qua cominciano a venirmi grossissimi dubbi: se $F(0) = 0$ e se $f(t) = d/dt F(t)$ allora $f(0) = 0$ !!
Provando a far finta di niente e a porre $f(0) = \lambda$ ottengo

$F'(t) = \lambda(1-F(t))$
$(F'(t))/(1-F(t)) = \lambda$
sostituendo tutto l'ambaradan
$ln(1-F(t)) = -\lambdat + c
$1-F(t) = e^{-\lambdat + c}$
$F(t) = 1 - e^{-\lambdat +c}$

EDIT: Essendo $F(0) = 0$ allora deve essere $e^{-\lambdat + c} = 1$ e quindi $c = 0$.

Rimane comunque il fatto di $f(0) = 0$...

2. Equazioni funzionali

Premessa: è la prima volta che mi cimento con esse, siate clementi (Siatelo anche per le informalità qua e là nei passaggi precedenti, sono pur sempre un laureando in Ingegneria Informatica. )

$R(t+s) = R(s)R(t)$ (1)

Visto che $R(*)$ è definita in tutto $RR$ (È l'integrale di una distribuzione) allora posso porre $t = 0$ nella (1) e avere quindi $R(s) = R(s)R(0)$ e perciò, $R(s) != 0$ e $R(0) = 1$
Poi ponendo $s = t + \Delta$ e sostituendo nella (1) abbiamo $R(t+t+\Delta) = R(2t+\Delta) = R(t+\Delta)R(t) = [R(t)]^{2}R(\Delta) = [R(t)]^{2}R(s-t) = R(t+s)$
$R(s-t) = (R(t+s))/([R(t)]^2)$ (2)

Come prima: Poniamo $s = 0$ in (2) avendo così $R(-t) = (R(t))/([R(t)]^2) = 1/(R(t))$

Da qua in poi non so che pesci prendere.

Chi è che mi dà una mano?

[_luca.barletta]

Guarda anche qui.

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"luca.barletta":Guarda anche qui.

Ok ho risolto, grazie.

Giusto per sfizio: perché se faccio finta di niente nel passaggio $f(0) = 0$ e pongo $f(0) = \lambda$ mi esce comunque il risultato?

Mi vien da pensare che $f(t) != d/dt F(t)$ a questo punto... (E se così fosse non potrei manco arrivare ad avere l'equazione differenziale )

EDIT: Ora che ci ripenso, perché è possibile porre $\lambda = -ln(R(1))$ e quindi avere $R(1) = e^{-\lambda}$?

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Uppete.