Proprietà della media aritmetica
Come si può dimostrare matematicamente che la media aritmetica rende minima la somma degli scarti al quadrato?
Risposte
Determinando il minimo della seguente funzione:
$f(x)=(x_1-x)^2+(x_2-x)^2+...+(x_N-x)^2$
$f(x)=(x_1-x)^2+(x_2-x)^2+...+(x_N-x)^2$
Riprende la notazione speculor, basta notare che \(f(x)=f(x+\mu-\mu)>f(\mu)\) ove \(\mu\) è la media aritmetica dei numeri assegnati!
Dò per scontato che devi svolgere i quadrati!
Dò per scontato che devi svolgere i quadrati!
$f(x)=(x_1-x)^2+(x_2-x)^2+...+(x_N-x)^2 rarr f'(x)=-2(x_1-x)-2(x_2-x)+...-2(x_N-x)$
$f'(x)>=0 rarr -2(x_1-x)-2(x_2-x)+...-2(x_N-x)>=0 rarr Nx-x_1-x_2+...-x_N>=0 rarr x>=(x_1+x_2+...+x_N)/N$
j18eos, non ho capito quale sarebbe il modo più veloce.
$f'(x)>=0 rarr -2(x_1-x)-2(x_2-x)+...-2(x_N-x)>=0 rarr Nx-x_1-x_2+...-x_N>=0 rarr x>=(x_1+x_2+...+x_N)/N$
j18eos, non ho capito quale sarebbe il modo più veloce.
Penso che j18eos si riferisca ad una sorta di teorema di Steiner: \( \displaystyle \sum_{i=1}^N (x_i-x)^2 = \sum_{i=1}^N (x_i-\mu)^2 + \sum_{i=1}^N (\mu-x)^2 + 0 \), minimo per \( \displaystyle x=\mu \)
Ho modificato:
$f(x)=(x_1-x)^2+(x_2-x)^2+...+(x_N-x)^2$
nel rispetto della notazione standard. Ok, in quanto:
$\sum_{i=1}^N 2(x_i-\mu)(\mu-x)=2(\mu-x)\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)=0$
essendo:
$\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)=0$.
In ogni modo, ad un primo approccio e senza utilizzare altre proprietà, il primo procedimento mi sembra più elementare. Questo non toglie che si debba assolutamente saper procedere anche utilizzando il secondo.
$f(x)=(x_1-x)^2+(x_2-x)^2+...+(x_N-x)^2$
nel rispetto della notazione standard. Ok, in quanto:
$\sum_{i=1}^N 2(x_i-\mu)(\mu-x)=2(\mu-x)\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)=0$
essendo:
$\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)=0$.
In ogni modo, ad un primo approccio e senza utilizzare altre proprietà, il primo procedimento mi sembra più elementare. Questo non toglie che si debba assolutamente saper procedere anche utilizzando il secondo.
@cenzo Grazie per aver battezzato questa proprietà! 
@speculor Mai parlato di metodo più veloce.
@speculor Mai parlato di metodo più veloce.
"speculor":
In ogni modo, ad un primo approccio e senza utilizzare altre proprietà, il primo procedimento mi sembra più elementare.
Dipende.
Nell'approccio di j18eos ci vedo due qualità:
1) l'analogia con la fisica rende molto bene l'idea: il momento di inerzia (la "varianza"..) è minimo rispetto ad un asse passante per il centro di massa (scarti valutati rispetto alla media artimetica);
2) non è necessaria la conoscenza delle derivate, il che lo rende comprensibile anche a studenti (per esempio di terza/quarta superiore) che non possiedono ancora questo strumento.
"speculor":
Questo non toglie che si debba assolutamente saper procedere anche utilizzando il secondo.
Concordo sull'opportunità di avere più metodi a disposizione
cenzo, evidentemente hai ragione, ho dato per scontato la conoscenza dello strumento "derivata". A questo punto, al netto degli artifici algebrici, oserei dire che l'approccio più elementare è quello di j18eos. 
Con una interpretazione geometrica si accostano i due metodi:
se [tex]\displaystyle X =(x_1,...x_N)[/tex], la funzione f(x) calcola la distanza euclidea al quadrato tra il vettore X ed il vettore appartenente al sottospazio V generato da [tex](1,...,1)[/tex] le cui componenti sono tutte uguali a x.
Il vettore di V che ha distanza minima da X è la proiezione ortoganale p che verifica la proprietà: X-p è ortogonale a V, da cui si ricava
[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-p)=0[/tex] ovvero [tex]\displaystyle p=\mu[/tex].
Partendo da [tex]\displaystyle X-x=(X-\mu)+(\mu-x)[/tex] si ha, per la proprietà detta sopra, che i due vettori a destra dell'uguaglianza sono ortogonali.
Dunque [tex]\displaystyle ||X-x||^2 \ =\ ||X-\mu||^2+||\mu-x||^2[/tex] che è l'uguaglianza scritta da cenzo.
se [tex]\displaystyle X =(x_1,...x_N)[/tex], la funzione f(x) calcola la distanza euclidea al quadrato tra il vettore X ed il vettore appartenente al sottospazio V generato da [tex](1,...,1)[/tex] le cui componenti sono tutte uguali a x.
Il vettore di V che ha distanza minima da X è la proiezione ortoganale p che verifica la proprietà: X-p è ortogonale a V, da cui si ricava
[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-p)=0[/tex] ovvero [tex]\displaystyle p=\mu[/tex].
Partendo da [tex]\displaystyle X-x=(X-\mu)+(\mu-x)[/tex] si ha, per la proprietà detta sopra, che i due vettori a destra dell'uguaglianza sono ortogonali.
Dunque [tex]\displaystyle ||X-x||^2 \ =\ ||X-\mu||^2+||\mu-x||^2[/tex] che è l'uguaglianza scritta da cenzo.
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