Proprietà del valore atteso condizionato
Ho letto sulla pagina di Wikipedia che il valore atteso condizionato di una v.a. $X$ (con l'ipotesi extra che abbia varianza finita) rispetto ad una $sigma$-algebra $ccF$ ha la proprietà di rendere minimo
$E[(X-Y)^2]$ al variare di $Y$ tra le v.a. $ccF$-misurabili.
Ora sarà probabilmente banale, ma io da principiante totale non riesco a dimostrare questa affermazione. Mi aiutate per favore?
$E[(X-Y)^2]$ al variare di $Y$ tra le v.a. $ccF$-misurabili.
Ora sarà probabilmente banale, ma io da principiante totale non riesco a dimostrare questa affermazione. Mi aiutate per favore?
Risposte
Ti ringrazio dissonance questa proprietà non la conoscievo e poi alla fine questa tua richiesta ha stimolato qualche pensiero interessante.
Considera $Z$ $mathcal(F)$-misurabile.
$E[(X-Z)^2]\ =\ E[{(X-Y)-(Z-Y)}^2]\ =\ E[(X-Y)^2]+E[(Z-Y)^2]-2E[(X-Y)(Z-Y)]=$
$=E[(X-Y)^2]+E[(Z-Y)^2] \ geq \ E[(X-Y)^2]$
$E[(X-Y)(Z-Y)]\ =\ E[(Z-Y)\ E[(X-Y)|mathcal(F)]]\ =0$
Non so se si capiscono le parentesi.
Considera $Z$ $mathcal(F)$-misurabile.
$E[(X-Z)^2]\ =\ E[{(X-Y)-(Z-Y)}^2]\ =\ E[(X-Y)^2]+E[(Z-Y)^2]-2E[(X-Y)(Z-Y)]=$
$=E[(X-Y)^2]+E[(Z-Y)^2] \ geq \ E[(X-Y)^2]$
$E[(X-Y)(Z-Y)]\ =\ E[(Z-Y)\ E[(X-Y)|mathcal(F)]]\ =0$
Non so se si capiscono le parentesi.
Ah finalmente credo di avere capito. @DajeForte: Hai usato questa proposizione, vero?
Proposizione Se [tex]\xi, \eta[/tex] sono v.a. (non uso X, Y per evitare confusione), [tex]\mathcal{F}[/tex] è una sigma-algebra e [tex]\eta[/tex] è [tex]\mathcal{F}[/tex]-misurabile allora
[tex]$ E(\xi \eta \mid \mathcal{F})=\eta E(\xi \mid \mathcal{F})[/tex].
Se ho capito bene tu hai fatto questo:
[tex]$\mathbf{E}[(X-Y)(Z-Y)]=\mathbf{E}\big(\mathbf{E}[(X-Y)(Z-Y)\mid \mathcal{F}]\big)[/tex]
poi con la Proposizione di sopra hai portato [tex](Z-Y)[/tex] fuori dal segno di valore atteso condizionato e hai concluso osservando che
[tex]$\mathbf{E}(X-Y \mid \mathcal{F})=0[/tex] perché [tex]Y=\mathbf{E}(X \mid \mathcal{F})[/tex].
Giusto?
@K.Lomax: Grazie per la segnalazione!
Proposizione Se [tex]\xi, \eta[/tex] sono v.a. (non uso X, Y per evitare confusione), [tex]\mathcal{F}[/tex] è una sigma-algebra e [tex]\eta[/tex] è [tex]\mathcal{F}[/tex]-misurabile allora
[tex]$ E(\xi \eta \mid \mathcal{F})=\eta E(\xi \mid \mathcal{F})[/tex].
Se ho capito bene tu hai fatto questo:
[tex]$\mathbf{E}[(X-Y)(Z-Y)]=\mathbf{E}\big(\mathbf{E}[(X-Y)(Z-Y)\mid \mathcal{F}]\big)[/tex]
poi con la Proposizione di sopra hai portato [tex](Z-Y)[/tex] fuori dal segno di valore atteso condizionato e hai concluso osservando che
[tex]$\mathbf{E}(X-Y \mid \mathcal{F})=0[/tex] perché [tex]Y=\mathbf{E}(X \mid \mathcal{F})[/tex].
Giusto?
@K.Lomax: Grazie per la segnalazione!
"dissonance":
[tex]$\mathbf{E}(X-Y \mid \mathcal{F})=0[/tex] perché [tex]Y=\mathbf{E}(X \mid \mathcal{F})[/tex].
Giusto?
Esatto e metti pure che $Y$ è $mathcal(F)$-misurabile tanto per essere più precisi, ma è ovvio.
Ribadisco ancora una volta a tutti, e questo ne è uno degli infiniti esempi, che le medie condizionate permettono di ottenere una quantità enorme di risultati
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