Prodotto di convoluzione
Ciao a tutti.
Devo calcolare la media di una v.a Z=X+Y con Y ed X statisticamente indipendenti e tali che le loro pdf (densità di probabilità) siano:
$f_x(x)=delta(x)$
$f_y(y)=tr(x)$
dove $tr(x)$ rapprensenta l'impulso triangolare.
Ora la media anche da un punto di grafico risulta essere $E[Z]=0$
Ma servendosi del prodotto di convoluzione, come si deve procedere? Chi mi conviene tenere fisso?
Inoltre conoscete degli ottimi appunti che si possono scaricare da internet? Prevalentemente esercizi per capire (non quelli di nettuno che già li ho)?
GRAZIE!
Devo calcolare la media di una v.a Z=X+Y con Y ed X statisticamente indipendenti e tali che le loro pdf (densità di probabilità) siano:
$f_x(x)=delta(x)$
$f_y(y)=tr(x)$
dove $tr(x)$ rapprensenta l'impulso triangolare.
Ora la media anche da un punto di grafico risulta essere $E[Z]=0$
Ma servendosi del prodotto di convoluzione, come si deve procedere? Chi mi conviene tenere fisso?
Inoltre conoscete degli ottimi appunti che si possono scaricare da internet? Prevalentemente esercizi per capire (non quelli di nettuno che già li ho)?
GRAZIE!
Risposte
Ovviamente so fare la convoluzione tra due impulsi rettangolar, ma con la delta di dirac mi trovo in difficoltà.
Come faccio a calcolare la media di Z=X+Y con X e Y statisticamente indipendenti e con tali pdf (densità di probabilità)
$f_x(x)=0.2delta(x+5)+0.5delta(x)+0.3delta(x-5)$
$f_y(y)=pigreco(y)$ (impulso rettangolare)
usando il prodotto di convoluzione?
Come faccio a calcolare la media di Z=X+Y con X e Y statisticamente indipendenti e con tali pdf (densità di probabilità)
$f_x(x)=0.2delta(x+5)+0.5delta(x)+0.3delta(x-5)$
$f_y(y)=pigreco(y)$ (impulso rettangolare)
usando il prodotto di convoluzione?
Dunque se si vuole operare con il prodotto di convoluzione, il procedimento potrebbe essere il seguente.
La densità di probabilità di "Z" è data dalla convoluzione delle due densità $f_x(x)$ e $f_y(y)$:
$f_z(z)=int_(-oo)^(+oo) tr(u) \delta(z-u) du$ per la proprietà "rivelatrice" dell'impulso (centrato in questo caso in "z") si otterrà:
$f_z(z)=tr(z)$ quindi $E[Z]=0$.
La densità di probabilità di "Z" è data dalla convoluzione delle due densità $f_x(x)$ e $f_y(y)$:
$f_z(z)=int_(-oo)^(+oo) tr(u) \delta(z-u) du$ per la proprietà "rivelatrice" dell'impulso (centrato in questo caso in "z") si otterrà:
$f_z(z)=tr(z)$ quindi $E[Z]=0$.
Scusa, ma la $delta$ non è l'elemento neutro rispetto alla convoluzione (nel senso che $f**delta=f$ per ogni $f$)?
Nel secondo esercizio puoi utilizzare la proprietà di linearità della convoluzione, cioè:
$f_z(z)=int_(-oo)^(+oo) 0.2 \delta(u+5) \pi(z-u) du + int_(-oo)^(+oo) 0.5 \delta(u) \pi(z-u) du + int_(-oo)^(+oo) 0.3 \delta(u-5) \pi(z-u) du = 0.2 \pi(z+5) + 0.5 \pi(z) + 0.3 \pi(z-5)$.
Il valore medio sarà al somma dei 3 valori medi:
$E[Z]=-5*0.2+0+5*0.3=1/2$.
$f_z(z)=int_(-oo)^(+oo) 0.2 \delta(u+5) \pi(z-u) du + int_(-oo)^(+oo) 0.5 \delta(u) \pi(z-u) du + int_(-oo)^(+oo) 0.3 \delta(u-5) \pi(z-u) du = 0.2 \pi(z+5) + 0.5 \pi(z) + 0.3 \pi(z-5)$.
Il valore medio sarà al somma dei 3 valori medi:
$E[Z]=-5*0.2+0+5*0.3=1/2$.
"clrscr":
Nel secondo esercizio puoi utilizzare la proprietà di linearità della convoluzione, cioè:
$f_z(z)=int_(-oo)^(+oo) 0.2 \delta(u+5) \pi(z-u) du + int_(-oo)^(+oo) 0.5 \delta(u) \pi(z-u) du + int_(-oo)^(+oo) 0.3 \delta(u-5) \pi(z-u) du = 0.2 \pi(z+5) + 0.5 \pi(z) + 0.3 \pi(z-5)$.
Il valore medio sarà al somma dei 3 valori medi:
$E[Z]=-5*0.2+0+5*0.3=1/2$.
Non ho capito bene questo integrale:
$f_z(z)=int_(-oo)^(+oo) 0.2 \delta(u+5) \pi(z-u) du + int_(-oo)^(+oo) 0.5 \delta(u) \pi(z-u) du + int_(-oo)^(+oo) 0.3 \delta(u-5) \pi(z-u) du = 0.2 \pi(z+5) + 0.5 \pi(z) + 0.3 \pi(z-5)$.
la prima volta utilizzi la proprietà della delta ma poi anche la seconda?
Ma l'impulso una volta definiti gli estremi "scompare", perché resta lì?
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