Processo gaussiano
Ciao a tutti, giungo con l' ultimo di una lunga serie di esercizi:
Il processo gaussiano stazionario $X_t$ ha media nulla e covarianza $k_X(\tau) = 4e^-|\tau|$
Calcolare:
(a.) la densità di probabilità di $X_3$;
(b.) la funzione caratteristica congiunta di $X_-1$, $X_3$ e $X_4$
(c.) la densità spettrale di potenza di $X_t$.
Intanto essendo un processo a media nulla, la covarianza sarà uguale alla correlazione, quindi per il punto (c) non ci dovrebbero essere problemi visto che si tratta di fare $R_X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}r_X(\tau)e^-{iw\tau}d\tau$
Per il punto (a) ho fatto alcune ipotesi: essendo il processo stazionario, media e varianza non dipenderanno da $t$ ma solo degli incrementi $\tau$ come mostrato dalla correlazione. Allora per trovare la varianza di $X_t$ basterà ricordare che $var(X_t) = r_X(0) = 4$.
Quindi a questo punto che senso ha chiedere la densità o la funzione caratteristica ad un determinato $t$ se tanto la media sarà sempre zero e la varianza sempre 4 ??
Chiaramente qualcosa mi sfugge..
Qualcuno rieusce ad aiutarmi ?
Il processo gaussiano stazionario $X_t$ ha media nulla e covarianza $k_X(\tau) = 4e^-|\tau|$
Calcolare:
(a.) la densità di probabilità di $X_3$;
(b.) la funzione caratteristica congiunta di $X_-1$, $X_3$ e $X_4$
(c.) la densità spettrale di potenza di $X_t$.
Intanto essendo un processo a media nulla, la covarianza sarà uguale alla correlazione, quindi per il punto (c) non ci dovrebbero essere problemi visto che si tratta di fare $R_X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}r_X(\tau)e^-{iw\tau}d\tau$
Per il punto (a) ho fatto alcune ipotesi: essendo il processo stazionario, media e varianza non dipenderanno da $t$ ma solo degli incrementi $\tau$ come mostrato dalla correlazione. Allora per trovare la varianza di $X_t$ basterà ricordare che $var(X_t) = r_X(0) = 4$.
Quindi a questo punto che senso ha chiedere la densità o la funzione caratteristica ad un determinato $t$ se tanto la media sarà sempre zero e la varianza sempre 4 ??
Chiaramente qualcosa mi sfugge..
Qualcuno rieusce ad aiutarmi ?
Risposte
ciao, io sto facendo lo stesso compito... 
ho fatto più o meno come te!
nel primo punto la densità di probabilità mi risulta
$ f_(x3) = frac{1}{2 sqrt(2 pi)} e^(frac{-x^2}{8}) $
(ovviamente la varianza è 4 e la media è 0 come hai detto tu)
per quanto riguarda il secondo punto io penso ma non sono sicuro che
$ phi_(x_(-1) x_(3) x_(4)) (t_-1, t_3, t_4)= phi_(x_(-1)) phi_(x_3) phi_(x_4) = phi^3(x_3) $
le tre $ phi $ sono uguali perchè la varianza e la media sono costanti...
infine per il punto 3 ci sto ancora lavorando...
ho fatto più o meno come te!
nel primo punto la densità di probabilità mi risulta
$ f_(x3) = frac{1}{2 sqrt(2 pi)} e^(frac{-x^2}{8}) $
(ovviamente la varianza è 4 e la media è 0 come hai detto tu)
per quanto riguarda il secondo punto io penso ma non sono sicuro che
$ phi_(x_(-1) x_(3) x_(4)) (t_-1, t_3, t_4)= phi_(x_(-1)) phi_(x_3) phi_(x_4) = phi^3(x_3) $
le tre $ phi $ sono uguali perchè la varianza e la media sono costanti...
infine per il punto 3 ci sto ancora lavorando...
ah allora la congettura non era poi così campata per aria
per la terza parte è una trasf notevole, viene $4*2/(1+w^2)$ se non ho fatto male i conti..
per la terza parte è una trasf notevole, viene $4*2/(1+w^2)$ se non ho fatto male i conti..
mmm
io ho appena finito di fare la 3 parte...
mi viene così:
$ r(t)=4 e^(-|t|) $
quindi R(f) sarà la trasformata di fourier di r(t) nel dominio della frequenza...
la trasformata di $ e^(-a t) u(t) $ è una trasformata notevole e risulta $ frac{1}{a+j omega} $
nel nostro caso possiamo distinguere i 2 casi:
per t>0 possiamo togliere il modulo e moltiplicare per u(t) quindi la trasformata mi esce $ frac{1}{1+j omega} $ (ho indicato la funzione gradino con u(t))
nel caso t<0 togliamo il modulo e mettiamo -t... moltiplichiamo per u(-t) e otteniamo la stessa trasformata di prima ma con applicata un'inversione temporale.
quindi dovrebbe risultare $ frac{1}{1-j omega} $
non sono sicuro di questi conti...
tu che ne pensi?
io ho appena finito di fare la 3 parte...
mi viene così:
$ r(t)=4 e^(-|t|) $
quindi R(f) sarà la trasformata di fourier di r(t) nel dominio della frequenza...
la trasformata di $ e^(-a t) u(t) $ è una trasformata notevole e risulta $ frac{1}{a+j omega} $
nel nostro caso possiamo distinguere i 2 casi:
per t>0 possiamo togliere il modulo e moltiplicare per u(t) quindi la trasformata mi esce $ frac{1}{1+j omega} $ (ho indicato la funzione gradino con u(t))
nel caso t<0 togliamo il modulo e mettiamo -t... moltiplichiamo per u(-t) e otteniamo la stessa trasformata di prima ma con applicata un'inversione temporale.
quindi dovrebbe risultare $ frac{1}{1-j omega} $
non sono sicuro di questi conti...
tu che ne pensi?
Non ho moto tempo quindi non ho visto bene il problema ma qualcosa non mi torna.
Innanzitutto non mi è chiara la funzione $k_X(tau)$; è la varianza?
Andrea te hai scritto che ha media nulla quindi la covarianza è uguale alla correlazione; semmai è uguale alla media prodotto.
Poi quando calcoli $var(X_t)$ questa dipenderà da t.
Poi alla fine nella funzione caratteristica avete supposto che le tre vatiabili siano indipendenti, ma se ho capito a cosa ci staimo riferendo indipendenti sono gli incrementi.
Magari mi sbaglio perchè non sono riuscito a capire bene le notazioni però vi invito a rifletterci un attimo.
Innanzitutto non mi è chiara la funzione $k_X(tau)$; è la varianza?
Andrea te hai scritto che ha media nulla quindi la covarianza è uguale alla correlazione; semmai è uguale alla media prodotto.
Poi quando calcoli $var(X_t)$ questa dipenderà da t.
Poi alla fine nella funzione caratteristica avete supposto che le tre vatiabili siano indipendenti, ma se ho capito a cosa ci staimo riferendo indipendenti sono gli incrementi.
Magari mi sbaglio perchè non sono riuscito a capire bene le notazioni però vi invito a rifletterci un attimo.
la funzione k_x è la covarianza!
$ k_x(t)= r_x(t)-m_x^2(t) $
siccome m_x(t)=0 allora risulta che la correlazione è uguale alla covarianza....
per quanto riguarda il discorso sull'indipendenza penso che tu abbia ragione... bisogna dimostrarla!
$ k_x(t)= r_x(t)-m_x^2(t) $
siccome m_x(t)=0 allora risulta che la correlazione è uguale alla covarianza....
per quanto riguarda il discorso sull'indipendenza penso che tu abbia ragione... bisogna dimostrarla!
@abcdJoe: continuo a non capire
perchè non me la definisci come un valore atteso?
Per l'indipendenza: secondo me non la devi dimostrare, non sono indipendenti
perchè non me la definisci come un valore atteso?
Per l'indipendenza: secondo me non la devi dimostrare, non sono indipendenti
ripartiamo da zero: il simbolo $\tau$ indica gli incrementi, allora per $\tau =0$ si ha la funzione di correlazione $r_X(X_tX_t) = r_X(X_t^2) = E[X_t^2]$; ora essendo un processo a media nulla mi aspetto che $E[X_t] = 0$ e la varianza coincide con $r_X(0)$ che a sua volta coincide con la covarianza.
Per la densità spetrale si ha: $R_X(f) = \int_{-\infty}^{0}e^{\tau}e^{-iw\tau}d\tau + \int_{0}^{\infty}e^{-\tau}e^{-iw\tau}d\tau = e^{\tau(1 - jw)}/(1 - jw)|_{-\infty}^{0} - e^{-\tau(1 + jw)}/(1 + jw)|_{0}^{\infty} = 1/(1-jw) + 1/(1+jw) = 2/(1 + w^2)$
In qualunque caso, che siano indipendenti o no, si può usare la definizione generale che abbiamo usato nel topic di qualche giorno fa appunto sulle variabili gaussiane. o no ?
Per la densità spetrale si ha: $R_X(f) = \int_{-\infty}^{0}e^{\tau}e^{-iw\tau}d\tau + \int_{0}^{\infty}e^{-\tau}e^{-iw\tau}d\tau = e^{\tau(1 - jw)}/(1 - jw)|_{-\infty}^{0} - e^{-\tau(1 + jw)}/(1 + jw)|_{0}^{\infty} = 1/(1-jw) + 1/(1+jw) = 2/(1 + w^2)$
In qualunque caso, che siano indipendenti o no, si può usare la definizione generale che abbiamo usato nel topic di qualche giorno fa appunto sulle variabili gaussiane. o no ?
lo spettro di potenza mi convince... è sicuramente giusto!
per quanto riguarda le variabili gaussiane, se ti riferisci a quelle dell'esercizio 5, era specificato che erano indipendenti nella traccia!
io penso che quella formula dello split per le funzioni caratteristiche valga anche se non sono indipendenti e più tardi se ho tempo posto la dimostrazione... se guardi negli esercizi svolti in classe il prof ne ha fatto uno dove la usa anche senza dire che sono indipendenti... ovviamente vale solo per le funzioni caratteristiche... per il resto non vale!
cmq ti ripeto che non sono convintissimo di questa cosa quindi devo riguardare tutto con calma.
per quanto riguarda le variabili gaussiane, se ti riferisci a quelle dell'esercizio 5, era specificato che erano indipendenti nella traccia!
io penso che quella formula dello split per le funzioni caratteristiche valga anche se non sono indipendenti e più tardi se ho tempo posto la dimostrazione... se guardi negli esercizi svolti in classe il prof ne ha fatto uno dove la usa anche senza dire che sono indipendenti... ovviamente vale solo per le funzioni caratteristiche... per il resto non vale!
cmq ti ripeto che non sono convintissimo di questa cosa quindi devo riguardare tutto con calma.
nono aspetta, nell' altro esercizio X ed Y erano indipendenti, ma non si sapeva nulla su Z..
Riguardo allo split delle funzioni caratteristiche non è vero quello che dici.
La proprietà dice solo che se le v.a. sono indipendenti allora puoi fattorizzare le funzioni caratterisitche. e attenzione che non vale il viceversa..
Riguardo allo split delle funzioni caratteristiche non è vero quello che dici.
La proprietà dice solo che se le v.a. sono indipendenti allora puoi fattorizzare le funzioni caratterisitche. e attenzione che non vale il viceversa..
Attenzione:
Date due variabili aleatorie queste sono indipendenti se e solo se la funzione caratteristica congiunta si fattorizza nel prodotto delle due funzioni caratteristiche.
Focaliziamoci sul punto 2. Il processo è stazionario questo vuol dire che traslando il tempo le distribuzioni non cambiano.
Ora voi dovete trovare la distribuzione di $(X_(-1),X_3,X_4)$ che essendo stazionario ha stessa distribuzione di $(X_0,X_4,X_5)$.
Questo è un vettore normale di media nulla e matrice di varianze e covarianze 3x3 dove dovete inserire varianze e covarianze di quelle tre variabili aleatorie.
Date due variabili aleatorie queste sono indipendenti se e solo se la funzione caratteristica congiunta si fattorizza nel prodotto delle due funzioni caratteristiche.
Focaliziamoci sul punto 2. Il processo è stazionario questo vuol dire che traslando il tempo le distribuzioni non cambiano.
Ora voi dovete trovare la distribuzione di $(X_(-1),X_3,X_4)$ che essendo stazionario ha stessa distribuzione di $(X_0,X_4,X_5)$.
Questo è un vettore normale di media nulla e matrice di varianze e covarianze 3x3 dove dovete inserire varianze e covarianze di quelle tre variabili aleatorie.
quindi la matriche di covarianza sarà: $((4,4e^-4,4e^-5),(4e^-4,4,e^-1),(4e^-5,e^-1,4))$, ma questo come può aiutarci sulla definizione della funzione caratteristica ?
O forse vuoi farci capire il perchè non sono indipendenti ?
O forse vuoi farci capire il perchè non sono indipendenti ?
Dato un vettore normale X di media $mu$ (un vettore) e matrice di var/cov $Sigma$
$phi_X(theta)\ =\ exp{i mu^T theta\ -\ 1/2 theta^T Sigma theta }$
Non so se ci sia qualche trick da applicare per trovarla direttamente ma per la normale abbiamo questo risultato che pure facile da dimostrare.
$phi_X(theta)\ =\ exp{i mu^T theta\ -\ 1/2 theta^T Sigma theta }$
Non so se ci sia qualche trick da applicare per trovarla direttamente ma per la normale abbiamo questo risultato che pure facile da dimostrare.
mmh questa formula mi è capitato di vederla per internet, ma almeno io non credo di averla riportata sul quaderno..
ed in effetti prima mi sono sbagliato sull' effermazione dell' indipendenza e fattorizzazione, avevo letto male degli appunti.
EDIT: risolto, ho trovato la formula cheeffettivamente mi era sfuggita. Grazie ancora
ed in effetti prima mi sono sbagliato sull' effermazione dell' indipendenza e fattorizzazione, avevo letto male degli appunti.
EDIT: risolto, ho trovato la formula cheeffettivamente mi era sfuggita. Grazie ancora
andrea per caso hai messo online anche il penultimo esercizio? non lo trovo!
io ho difficoltà a fare l'ultimo punto...
io ho difficoltà a fare l'ultimo punto...
"andra_zx":
risolto, ho trovato la formula cheeffettivamente mi era sfuggita. Grazie ancora
Prego.
Vorrei precisare una cosa. Ieri dicevo che pareva strano che $X_t$ avesse varianza non dipendente da t.
Invece dovrebbe essere corretto perchè per la stazionarietà si ha $X_t \sim X_s$ proprio perchè si trasla il tempo di $tau=s-t$
Quindi ritengo sia corretto che la varianza (media e tutti i momenti) della $X_t$ non dipendono da t.
Rifletteteci fatemi sapere.
sisisi DajeForte ha ragione... ho trovato la formula nei miei appunti...
tutto di ordine d (dimensione)
$mu $ è un vettore colonna $theta$ lo stesso
quindi $mu^T theta$ definisce il prodotto scalare (ed è uno scalare)
$Sigma$ è una matrice quadrata e $theta^T Sigma theta$ è a sua volta uno scalare (è una forma quadratica).
Se hai dubbi su un altro esercizio vai a vedere i messaggi di andrea (andando sul suo profilo) e vedi se o hga postato.
Se no postalo te, in una pausa studio gli do un'occhiata.
$mu $ è un vettore colonna $theta$ lo stesso
quindi $mu^T theta$ definisce il prodotto scalare (ed è uno scalare)
$Sigma$ è una matrice quadrata e $theta^T Sigma theta$ è a sua volta uno scalare (è una forma quadratica).
Se hai dubbi su un altro esercizio vai a vedere i messaggi di andrea (andando sul suo profilo) e vedi se o hga postato.
Se no postalo te, in una pausa studio gli do un'occhiata.
applicando la formula mi risulta:
$ mu $ è un vettore di zeri essendo il processo a media nulla quindi la prima parte dell'esponenziale si annulla.
per la seconda parte ho calcolato $ theta Sigma theta^(T) $ e mi risulta:
$ 4[t_1^2+t_2^2+t_3^2+2 t_1 t_3 e^(-5)+ 2 t_1 t_2 e^(-4) + 2 t_2 t_3 e^(-1)] $
è un po' brutto come risultato ma la formula è quella e quindi deve uscire così
ho chiamato t1, t2 e t3 le componenti del vettore $ theta $
$ mu $ è un vettore di zeri essendo il processo a media nulla quindi la prima parte dell'esponenziale si annulla.
per la seconda parte ho calcolato $ theta Sigma theta^(T) $ e mi risulta:
$ 4[t_1^2+t_2^2+t_3^2+2 t_1 t_3 e^(-5)+ 2 t_1 t_2 e^(-4) + 2 t_2 t_3 e^(-1)] $
è un po' brutto come risultato ma la formula è quella e quindi deve uscire così
ho chiamato t1, t2 e t3 le componenti del vettore $ theta $
le componenti sotto la diagonale sono 0
"Wolfplayer":
le componenti sotto la diagonale sono 0
come è possibile ? la matrice di covarianza è simmetrica, quindi dovresti avere tutti zero anche soprà.. e di conseguenza v.a. indipendenti.
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