Processo di Poisson - Tempo di attesa di 2 guasti
Salve a tutti, sono un nuovo utente 
.
Sono alle prese con un esercizio di probabilità che mi sta creando qualche problema.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Cinque dispositivi, \(\{X_i\}, i = 1, \dots, 5\), vengono controllati simultaneamente. Ciascuno ha una durata in vita exponenziale di parametri \(\lambda_i, i = 1, \dots,5\), indipendentementi uno dall'altro.
1) Quanto tempo di deve attendere prima che se ne guasti uno? Si fornisca la distribuzione e il suo valore atteso.
2) Quanto tempo si deve attendere prima che ce ne siano 2 guasti? Si fornisca la distribuzione e il suo valore atteso.
Ho probemi con il punto due ma riporto la soluzione anche del punto uno dato che l'ho usata nalla mia bozza della soluzione:
Per trovare il dispositivo che si guasta per primo basta trovare quello che ha un tempo di vita minimo. Si ponga dunque
\[\lambda = \sum_{i=1}^{5}\lambda_i \qquad \text{e} \qquad T = min\{X_i\}\]
dove \(T\) è a sua volta una variabile aleatoria esponenziale di parametro \(\lambda\).
La sua funzione di ripartizione è la seguente:
\[ F(x) = 1 - P(T > x) = 1 - P(X_1 > x, X_2 > x, \dots, X_5 > x) = 1 - \prod_{i=1}^{5} e^{-\lambda_ix} = 1 - e^{-(\sum_{x=1}^5 \lambda_i) x} = 1 - e^{-\lambda x} \]
mentre il valore atteso è
\[E[T] = \frac{1}{\lambda}\]
Per il secondo punto ho seguito questo ragionamento (probabilmente sbagliato):
ho definito una nuova variabile \(S\) che rappresenta il tempo di vita del secondo dispositivo che si guasta. \(S\) dovrebbe essere una variabile esponenziale anche se non saprei come specificare il suo parametro.
Una volta tolto il dispositivo che si guasta per primo (punto 1), il secondo è il minimo dei 4 dispositivi restanti.
La probabilità che \(S\) sia il secondo a rompersi è quindi calcolata sommando i 5 casi in cui sapendo che un determiato \(X_i\) è il minimo, \(S\) è il minimo tempo di vita dei restanti 4 dispositivi:
\[P(S > x) = \sum_{i=1}^{5}P(\min_{j \neq i} \{X_j\} > x \mid T = X_i) \]
dove
\[P(\min_{j \neq i} \{X_j\} > x) = e^{-\sum_{j \neq i} \lambda_j x}) \qquad \text{e} \qquad P(T = X_i) = \frac{\lambda_i}{\lambda}\]
con \(i\) vincolato alla sommatoria esterna.
Da qui in poi non so come procedere; i due eventi della probabilità condizionata sono dipendenti e non so come calcolarne l'intersezione. Avreste qualche consiglio su come procedere?
Grazie in anticipo a chiunque mi potrà dedicare un po' del suo tempo
.Sono alle prese con un esercizio di probabilità che mi sta creando qualche problema.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Cinque dispositivi, \(\{X_i\}, i = 1, \dots, 5\), vengono controllati simultaneamente. Ciascuno ha una durata in vita exponenziale di parametri \(\lambda_i, i = 1, \dots,5\), indipendentementi uno dall'altro.
1) Quanto tempo di deve attendere prima che se ne guasti uno? Si fornisca la distribuzione e il suo valore atteso.
2) Quanto tempo si deve attendere prima che ce ne siano 2 guasti? Si fornisca la distribuzione e il suo valore atteso.
Ho probemi con il punto due ma riporto la soluzione anche del punto uno dato che l'ho usata nalla mia bozza della soluzione:
Per trovare il dispositivo che si guasta per primo basta trovare quello che ha un tempo di vita minimo. Si ponga dunque
\[\lambda = \sum_{i=1}^{5}\lambda_i \qquad \text{e} \qquad T = min\{X_i\}\]
dove \(T\) è a sua volta una variabile aleatoria esponenziale di parametro \(\lambda\).
La sua funzione di ripartizione è la seguente:
\[ F(x) = 1 - P(T > x) = 1 - P(X_1 > x, X_2 > x, \dots, X_5 > x) = 1 - \prod_{i=1}^{5} e^{-\lambda_ix} = 1 - e^{-(\sum_{x=1}^5 \lambda_i) x} = 1 - e^{-\lambda x} \]
mentre il valore atteso è
\[E[T] = \frac{1}{\lambda}\]
Per il secondo punto ho seguito questo ragionamento (probabilmente sbagliato):
ho definito una nuova variabile \(S\) che rappresenta il tempo di vita del secondo dispositivo che si guasta. \(S\) dovrebbe essere una variabile esponenziale anche se non saprei come specificare il suo parametro.
Una volta tolto il dispositivo che si guasta per primo (punto 1), il secondo è il minimo dei 4 dispositivi restanti.
La probabilità che \(S\) sia il secondo a rompersi è quindi calcolata sommando i 5 casi in cui sapendo che un determiato \(X_i\) è il minimo, \(S\) è il minimo tempo di vita dei restanti 4 dispositivi:
\[P(S > x) = \sum_{i=1}^{5}P(\min_{j \neq i} \{X_j\} > x \mid T = X_i) \]
dove
\[P(\min_{j \neq i} \{X_j\} > x) = e^{-\sum_{j \neq i} \lambda_j x}) \qquad \text{e} \qquad P(T = X_i) = \frac{\lambda_i}{\lambda}\]
con \(i\) vincolato alla sommatoria esterna.
Da qui in poi non so come procedere; i due eventi della probabilità condizionata sono dipendenti e non so come calcolarne l'intersezione. Avreste qualche consiglio su come procedere?
Grazie in anticipo a chiunque mi potrà dedicare un po' del suo tempo
Risposte
Benvenuto @AlephZero.
[ot]Intanto complimenti per l'ordine e la precisione nell'esposizione del problema; purtroppo di rado si vedono neoiscritti postare un topic in maniera così impeccabile: testo scritto in maniera integrale, soluzione (corretta) e ben scritta.....mi piacerebbe che tutti i neoiscritti prendessero esempio da te nel postare i propri problemi.[/ot]
Io farei così (ovviamente è solo una mia idea e quindi prendila con le dovute cautele):
Il processo in questione è un processo di Poisson di media (intensità) $sum_(i=1)^5 lambda_i=lambda$. Il primo interarrivo ($t_1$) è quindi un'esponenziale univariata $Exp(lambda)=Gamma(1;lambda)$ come hai anche calcolato per diversa via....
Quindi penso che si possa usare il seguente
[ot]Intanto complimenti per l'ordine e la precisione nell'esposizione del problema; purtroppo di rado si vedono neoiscritti postare un topic in maniera così impeccabile: testo scritto in maniera integrale, soluzione (corretta) e ben scritta.....mi piacerebbe che tutti i neoiscritti prendessero esempio da te nel postare i propri problemi.[/ot]
Io farei così (ovviamente è solo una mia idea e quindi prendila con le dovute cautele):
Il processo in questione è un processo di Poisson di media (intensità) $sum_(i=1)^5 lambda_i=lambda$. Il primo interarrivo ($t_1$) è quindi un'esponenziale univariata $Exp(lambda)=Gamma(1;lambda)$ come hai anche calcolato per diversa via....
Quindi penso che si possa usare il seguente
[size=150]Teorema[/size]: il tempo di arrivo $t_n$ di un processo di poisson omogeneo di intensità $lambda$ è una variabile aleatoria di Erlang[nota]La distribuzione di Erlang non è altro che una $Gamma(n;lambda)$ con $n in NN^+$ invece che $RR^+$[/nota] di parametro $lambda$ e indice $n$
[ot]Grazie per i complimenti sulla struttura del messaggio . Ogni tanto aiuto utenti su forum di programmazione e so bene quanto sia difficile farlo quando la domanda non è molto chiara.[/ot]
Innanzitutto grazie per la risposta.
Ho reimpostato la soluzione, in base ai tuoi consigli, nel seguente modo:
il problema può essere rappresentato da un processo di Poisson di media \(\lambda\) dove
\[\lambda = \sum_{i=1}^5 \lambda_i\]
Sia \(T_n\) la variabile aleatoria rappresentante il tempo necessario affinchè si verifichino \(n\) guasti.
Allora \(T_n\) è una variabile aleatoria di Erlang di media \(\lambda\) e indice \(n\).
La funzione di ripartizione è data da :
\[ F_{T_n}(x) = 1 - e^{-\lambda x} \sum_{k = 0}^{n-1}\frac{(\lambda x)^k}{k!} \]
mentre il suo valore atteso da:
\[E[T_n] = \frac{n}{\lambda}\]
Nel caso specifico in cui \(n=1\) (prima rottura):
\begin{align*}
F_{T_1}(x) &= 1 - e^{-\lambda x} \sum_{k = 0}^{0}\frac{(\lambda x)^k}{k!}
= 1 - e^{-\lambda x} \frac{(\lambda x)^0}{0!} \\
&= 1 - e^{-\lambda x}\\
E[T_1] &= \frac{1}{\lambda}
\end{align*}
Nel caso in cui invece $n = 2$ (seconda rottura):
\begin{align*}
F_{T_2}(x) &= 1 - e^{-\lambda x} \sum_{k = 0}^{1}\frac{(\lambda x)^k}{k!}
= 1 - e^{-\lambda x} \left( \frac{(\lambda x)^0}{0!} + \frac{(\lambda x)^1}{1!}\right)\\
&= 1 - e^{-\lambda x}(1 + \lambda x)\\
E[T_2] &= \frac{2}{\lambda}
\end{align*}
Potresti dirmi se adesso la soluzione va bene?
Grazie ancora
. Ogni tanto aiuto utenti su forum di programmazione e so bene quanto sia difficile farlo quando la domanda non è molto chiara.[/ot] Innanzitutto grazie per la risposta.
Ho reimpostato la soluzione, in base ai tuoi consigli, nel seguente modo:
il problema può essere rappresentato da un processo di Poisson di media \(\lambda\) dove
\[\lambda = \sum_{i=1}^5 \lambda_i\]
Sia \(T_n\) la variabile aleatoria rappresentante il tempo necessario affinchè si verifichino \(n\) guasti.
Allora \(T_n\) è una variabile aleatoria di Erlang di media \(\lambda\) e indice \(n\).
La funzione di ripartizione è data da :
\[ F_{T_n}(x) = 1 - e^{-\lambda x} \sum_{k = 0}^{n-1}\frac{(\lambda x)^k}{k!} \]
mentre il suo valore atteso da:
\[E[T_n] = \frac{n}{\lambda}\]
Nel caso specifico in cui \(n=1\) (prima rottura):
\begin{align*}
F_{T_1}(x) &= 1 - e^{-\lambda x} \sum_{k = 0}^{0}\frac{(\lambda x)^k}{k!}
= 1 - e^{-\lambda x} \frac{(\lambda x)^0}{0!} \\
&= 1 - e^{-\lambda x}\\
E[T_1] &= \frac{1}{\lambda}
\end{align*}
Nel caso in cui invece $n = 2$ (seconda rottura):
\begin{align*}
F_{T_2}(x) &= 1 - e^{-\lambda x} \sum_{k = 0}^{1}\frac{(\lambda x)^k}{k!}
= 1 - e^{-\lambda x} \left( \frac{(\lambda x)^0}{0!} + \frac{(\lambda x)^1}{1!}\right)\\
&= 1 - e^{-\lambda x}(1 + \lambda x)\\
E[T_2] &= \frac{2}{\lambda}
\end{align*}
Potresti dirmi se adesso la soluzione va bene?
Grazie ancora
hai fatto esattamente come intendevo....che poi questa sia la soluzione giusta non so.....non faccio il prof di mestiere, a me sembra molto logica
ciao
ciao
che poi questa sia la soluzione giusta non so.....non faccio il prof di mestiere, a me sembra molto logica
Da quello che ho studiato in base alla tua dritta anche a me sembra che l'approcio che ho usato sia sensato.
Ti ringrazio molto per l'aiuto
ciao
Ma da dove salta fuori il processo di Poisson, ovvero come giustificate questo fatto:
il problema può essere rappresentato da un processo di Poisson di media λ
il problema può essere rappresentato da un processo di Poisson di media λ
Il commento di @DajeForte mi fa capire di aver detto una baggianata....speravo aver trovato una via semplice di soluzione ma effettivamente, ragionando sui risultati, ciò che mi sembrava logico si frantuma con la seguente considerazione:
... e, con l'approccio usato, questo è evidentemente falso.
A questo punto l'unica alternativa risolutiva che mi viene in mente è quella di usare il teorema delle probabilità totali....
Prendiamo ad esempio il caso di due sistemi, esponenziali indipendenti di parametro $theta_1$ e $theta_2$.
Indicando con:
Gli stati possono essere
$(0 - 0) rarr P=[1-e^(-theta_1 x)][1-e^(-theta_2 x)]$
$(0 - 1) rarr P=[1-e^(-theta_1 x)]e^(-theta_2 x)$
$(1 - 0) rarr P=e^(-theta_1 x)[1-e^(-theta_2 x)]$
$(1 - 1) rarr P= e^(-theta_1 x)e^(-theta_2 x)$
dove la somma della probabilità di tutti gli stati fa evidentemente uno e:
1) $P{0-0} $ coincide con la distribuzione del massimo: $[1-e^(-theta_1 x)] [1-e^(-theta_2 x)]$
2) $P{(0-0) uu (0 – 1)uu(1-0)}$ coincide con la distribuzione del minimo:
$[1-e^(-theta_1 x)] [1-e^(-theta_2 x)]+e^(-theta_1 x) [1-e^(-theta_2 x)]+[1-e^(-theta_1 x)]e^(-theta_2 x) =1-e^(-theta_1 x)e^(-theta_2 x)$
Per il calcolo della media converrà sicuramente utilizzare la seguente definizione
$E[X]=int_0^(+oo)[1-F_X(x)]dx$
...ma qui mi fermo perché estendere il ragionamento a 5 sistemi va ben oltre la mia soglia di volontà (e probabilmente anche capacità) di calcolo. Probabilmente esistono metodi per approcciare il problema in modo più semplice ma li ignoro.
Scuse a @AlephZero per avergli indicato una strada errata
Ringrazio @DajeForte per aver fatto notare l'incongruenza
"la probabilità che tutti i dispositivi siano rotti ad un determinato istante deve coincidere con la Distribuzione del massimo"
... e, con l'approccio usato, questo è evidentemente falso.
A questo punto l'unica alternativa risolutiva che mi viene in mente è quella di usare il teorema delle probabilità totali....
Prendiamo ad esempio il caso di due sistemi, esponenziali indipendenti di parametro $theta_1$ e $theta_2$.
Indicando con:
STATO 0: Sistema $D_i$ rotto ad un determinato istante $x rarr P=1-e^(-theta_i x)$
STATO 1: Sistema $D_i$ funzionanate ad un determinato istante $x rarr P=e^(-theta_i x)$
Gli stati possono essere
$(0 - 0) rarr P=[1-e^(-theta_1 x)][1-e^(-theta_2 x)]$
$(0 - 1) rarr P=[1-e^(-theta_1 x)]e^(-theta_2 x)$
$(1 - 0) rarr P=e^(-theta_1 x)[1-e^(-theta_2 x)]$
$(1 - 1) rarr P= e^(-theta_1 x)e^(-theta_2 x)$
dove la somma della probabilità di tutti gli stati fa evidentemente uno e:
1) $P{0-0} $ coincide con la distribuzione del massimo: $[1-e^(-theta_1 x)] [1-e^(-theta_2 x)]$
2) $P{(0-0) uu (0 – 1)uu(1-0)}$ coincide con la distribuzione del minimo:
$[1-e^(-theta_1 x)] [1-e^(-theta_2 x)]+e^(-theta_1 x) [1-e^(-theta_2 x)]+[1-e^(-theta_1 x)]e^(-theta_2 x) =1-e^(-theta_1 x)e^(-theta_2 x)$
Per il calcolo della media converrà sicuramente utilizzare la seguente definizione
$E[X]=int_0^(+oo)[1-F_X(x)]dx$
...ma qui mi fermo perché estendere il ragionamento a 5 sistemi va ben oltre la mia soglia di volontà (e probabilmente anche capacità) di calcolo. Probabilmente esistono metodi per approcciare il problema in modo più semplice ma li ignoro.
Scuse a @AlephZero per avergli indicato una strada errata
Ringrazio @DajeForte per aver fatto notare l'incongruenza
Scuse a @AlephZero per avergli indicato una strada errata
Figurati, non hai niente di che scusarti
Interessante l'approcio che hai usato per risolvere il problema con due sistemi. Proverò a estenderlo a 5 anche se mi sembra abbastanza complicato.
Molte grazie sia a te per il tempo che mi hai dedicato che a @DajeForte per essersi accorto dell'errore.
Ciao
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