Processo con pdf uniforme: è stazionario?
Sia x(t) un processo casuale con densità di probabilità (pdf) uniforme tra -V e +V. Mi domando se sia stazionario, in senso lato. Premesso che potrebbe non esserlo. Non è un'esercizio, è un'ipotesi che ho fatto io perchè sennò alcune parti del libro che sto studiando non mi tornano 
Devo verificare che il valore medio sia indipendente dal tempo e l'autocorrelazione dipende solo dalla distanza temporale tra i "campioni" di una realizzazione fissata. Allora il valore medio è nullo, quindi la prima condizione è verificata.
Non riesco a verificare l'autocorrelazione. Per definizione, assumendo che x(t) sia reale,
\( \displaystyle R_x(t_1,t_1+\tau) = E[x(t_1) x^*(t_1+\tau)] = \text{(ipotesi di x(t)} \in \mathbb{R} ) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} a \cdot b \cdot p_{x(t_1),x(t_1 + \tau)}(a,b) \cdot a \cdot b \)
dove quella è la ddp congiunta. Ora scrivendo che
\( \displaystyle p_{x(t_1),x(t_1 + \tau)} = p_{x(t_1+\tau)|x(t_1)} \cdot p_{x(t_1)} \)
e mi verrebbe da dire che \( p_{x(t_1+\tau)|x(t_1)} = p_{x(t_1+\tau)}\) dato che, essendo il campione successivo "pescato" anch'esso con ddp uniforme (come se fosse rumore termico), condizionarmi al campione precedente non mi cambia la probabilità del campione successivo
Solo che non ne sono pienamente convinto e vorrei che qualcuno me lo spiegasse in maniera più rigorosa (anche mantenendo la realità di x(t)), in modo da convincermene meglio (o se magari dispone di una dimostrazione alternativa più semplice). O che, ovviamente, fornisca un controesempio di processo con quella ddp e non stazionario (il che mi metterebbe nei casini)
Devo verificare che il valore medio sia indipendente dal tempo e l'autocorrelazione dipende solo dalla distanza temporale tra i "campioni" di una realizzazione fissata. Allora il valore medio è nullo, quindi la prima condizione è verificata.
Non riesco a verificare l'autocorrelazione. Per definizione, assumendo che x(t) sia reale,
\( \displaystyle R_x(t_1,t_1+\tau) = E[x(t_1) x^*(t_1+\tau)] = \text{(ipotesi di x(t)} \in \mathbb{R} ) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} a \cdot b \cdot p_{x(t_1),x(t_1 + \tau)}(a,b) \cdot a \cdot b \)
dove quella è la ddp congiunta. Ora scrivendo che
\( \displaystyle p_{x(t_1),x(t_1 + \tau)} = p_{x(t_1+\tau)|x(t_1)} \cdot p_{x(t_1)} \)
e mi verrebbe da dire che \( p_{x(t_1+\tau)|x(t_1)} = p_{x(t_1+\tau)}\) dato che, essendo il campione successivo "pescato" anch'esso con ddp uniforme (come se fosse rumore termico), condizionarmi al campione precedente non mi cambia la probabilità del campione successivo
Solo che non ne sono pienamente convinto e vorrei che qualcuno me lo spiegasse in maniera più rigorosa (anche mantenendo la realità di x(t)), in modo da convincermene meglio (o se magari dispone di una dimostrazione alternativa più semplice). O che, ovviamente, fornisca un controesempio di processo con quella ddp e non stazionario (il che mi metterebbe nei casini)
Risposte
nessuno sa la risposta?
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