Processi di poisson esercizio
Ciao a tutti volevo qualche delucidazione in merito al seguente esercizio riguardante i Processi di Poisson. Non credo sia complicatissimo però se non capisco il metodo di svolgimento o meglio se è corretto o meno non vado da nessuna parte.
L'esercizio è questo e vi scrivo anche come penso si risolva (anche se non so se è corretto anzi credo non lo sia). Allora:
Il passaggio dell’autobus nella stazione di Padova è un processo di Poisson. In un’ora in media passano alla stazione 2 autobus. Maria è arrivata alla stazione alle ore 16. Sapendo che fra le ore 16 e 25 minuti e le ore 16 e 35 minuti è passato un solo autobus alla stazione di Padova calcolare qual'e la probabilità che Maria sia salita sull’autobus prima delle ore 16 e 30.
Allora sicuramente il processo di poisson $\mathcal{N}_t$ che conta il numero di arrivi dei bus fino al tempo $t$ ha parametro 2 perché passano 2 autobus in media all'ora. Chiamando $t_0 = 16$, $t_1 = 16.25$, $t_2 = 16.30$ e $t_3 = 16.35$, allora ho pensato che l'evento in cui Maria prende l'autobus prima dele 16.30 si può spezzare in due eventi, precisamente in un evento che corrisponde al fatto che Maria salga sull'autobus prima delle 16.25, ed un secondo evento che corrisponde al fatto che Maria salga sul bus dalle 16.25 alle 16.30 (sempre condizionando tutto al fatto che tra le 16.25 e le 16.35 passa un solo autobus). Ora il punto è che secondo me il primo evento (cioè l'evento: Maria sale sull'autobus prima delle 16.25) ha probabilità uguale a $\mathbb{P}(\mathcal{N}_{t_1} = 1)$ perché sarebbe la probabilità che prima delle 16.25 passi un autobus e se si calcola così non dovrebbe essere difficile perché so che è una poissoniana di parametro $2t_1$. Il problema è nella seconda probabilità, cioè dovrei calcolare la probabilità dell'evento: Maria sale sull'autobus dalle 16.25 alle 16.30. Quindi dovrei calcolare la probabilità $\mathbb{P}(\mathcal{N}_{t_1} = 0, \mathcal{N}_{t_2} - \mathcal{N}_{t_1} =1 | \mathcal{N}_{t_3} - \mathcal{N}_{t_1} =1) $ e questa non so come calcolarla.
Il procedimento di ragionare è giusto oppure c'è un modo più semplice per risolvere l'esercizio? E soprattutto la probabilità che ho scritto alla fine è impostata bene e calcolabile oppure devo ragionare in modo differente? Se si come ??
Grazie mille
L'esercizio è questo e vi scrivo anche come penso si risolva (anche se non so se è corretto anzi credo non lo sia). Allora:
Il passaggio dell’autobus nella stazione di Padova è un processo di Poisson. In un’ora in media passano alla stazione 2 autobus. Maria è arrivata alla stazione alle ore 16. Sapendo che fra le ore 16 e 25 minuti e le ore 16 e 35 minuti è passato un solo autobus alla stazione di Padova calcolare qual'e la probabilità che Maria sia salita sull’autobus prima delle ore 16 e 30.
Allora sicuramente il processo di poisson $\mathcal{N}_t$ che conta il numero di arrivi dei bus fino al tempo $t$ ha parametro 2 perché passano 2 autobus in media all'ora. Chiamando $t_0 = 16$, $t_1 = 16.25$, $t_2 = 16.30$ e $t_3 = 16.35$, allora ho pensato che l'evento in cui Maria prende l'autobus prima dele 16.30 si può spezzare in due eventi, precisamente in un evento che corrisponde al fatto che Maria salga sull'autobus prima delle 16.25, ed un secondo evento che corrisponde al fatto che Maria salga sul bus dalle 16.25 alle 16.30 (sempre condizionando tutto al fatto che tra le 16.25 e le 16.35 passa un solo autobus). Ora il punto è che secondo me il primo evento (cioè l'evento: Maria sale sull'autobus prima delle 16.25) ha probabilità uguale a $\mathbb{P}(\mathcal{N}_{t_1} = 1)$ perché sarebbe la probabilità che prima delle 16.25 passi un autobus e se si calcola così non dovrebbe essere difficile perché so che è una poissoniana di parametro $2t_1$. Il problema è nella seconda probabilità, cioè dovrei calcolare la probabilità dell'evento: Maria sale sull'autobus dalle 16.25 alle 16.30. Quindi dovrei calcolare la probabilità $\mathbb{P}(\mathcal{N}_{t_1} = 0, \mathcal{N}_{t_2} - \mathcal{N}_{t_1} =1 | \mathcal{N}_{t_3} - \mathcal{N}_{t_1} =1) $ e questa non so come calcolarla.
Il procedimento di ragionare è giusto oppure c'è un modo più semplice per risolvere l'esercizio? E soprattutto la probabilità che ho scritto alla fine è impostata bene e calcolabile oppure devo ragionare in modo differente? Se si come ??
Grazie mille
Risposte
Sappiamo che in un processo di poisson i tempi di interarrivo sono distribuiti come un'esponenziale negativa (ci sono diversi post dove ho anche dimostrato questo fatto noto, ad esempio qui)
Quindi i tempi di attesa dell'autobus seguono un'esponenziale negativa di media $1/2$ (mezz'ora), cioè $P(X<=x)=1-e^(-2x)$
Maria può salire sull'autobus se:
- passa un autobus dalle 16 alle 16: 25 $ rarr p(A)=1-e^(-2*25/60)=0.565$
oppure se
- non passa un autobus in quel periodo e passa un autobus fra le 16:25 e le 16:30, sapendo che un autobus passa fra le 16:25 e le 16:35, quindi
$p(B)=(1-0.565)P[25/60
totale: $p(A)+p(B)=0.565+0.235=80%$
Quindi i tempi di attesa dell'autobus seguono un'esponenziale negativa di media $1/2$ (mezz'ora), cioè $P(X<=x)=1-e^(-2x)$
Maria può salire sull'autobus se:
- passa un autobus dalle 16 alle 16: 25 $ rarr p(A)=1-e^(-2*25/60)=0.565$
oppure se
- non passa un autobus in quel periodo e passa un autobus fra le 16:25 e le 16:30, sapendo che un autobus passa fra le 16:25 e le 16:35, quindi
$p(B)=(1-0.565)P[25/60
totale: $p(A)+p(B)=0.565+0.235=80%$
Grazie mille, non avevo capito bisognasse ragionare in termini di tempi di intercorrenza tra un arrivo ed un altro.
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