Processi di Poisson
Dovrei risolvere questo esercizio sui Processi di Poisson
Le telefonate ad un centralino arrivano secondo un processo di Poisson con un tasso di 10 telefonate in un'ora. Dato che due chiamate sono arrivate nei primi 5 minuti, quanto vale la probabilità che:
(a) entrambe siano arrivate nei primi 2 minuti
(b) almeno una sia arrivata nei primi due minuti
Come faccio a risolverlo?
Spero che possiate darmi una mano, grazie 1000!
Le telefonate ad un centralino arrivano secondo un processo di Poisson con un tasso di 10 telefonate in un'ora. Dato che due chiamate sono arrivate nei primi 5 minuti, quanto vale la probabilità che:
(a) entrambe siano arrivate nei primi 2 minuti
(b) almeno una sia arrivata nei primi due minuti
Come faccio a risolverlo?
Spero che possiate darmi una mano, grazie 1000!
Risposte
Allora...
la domanda a) si può scrivere come segue:
$P[N(2)=2|N(5)=2]$ con $N(t)$ si indica il numero di arrivi fino all'istante "t".
Ora possiamo riscrivere questo risultato come:
$P[N(2)=2|N(5)=2]=(P[N(5)=2|N(2)=2]*[N(2)=2])/{P[N(5)=2]} = (2/5)^2$
Questo trisultato "dimostra" che il numero "m" di arrivi in un intervallo $(0,u)$ condizionato al fatto che nell'intervallo $(0,t) \text{con } t>u$ ci sono stati "k" (k>=m) arrivi ha una distribuzione Binomiale:
$((k),(m))(u/t)^m (1-u/t)^(k-m)$.
Per la risposta b) si ragiona in modo analogo, quindi:
$P[N(2)>=1|N(5)=5]=P[N(2)=1|N(5)=2]+P[N(2)=2|N(5)=2]=2*2/5*3/2+(2/5)^2$
la domanda a) si può scrivere come segue:
$P[N(2)=2|N(5)=2]$ con $N(t)$ si indica il numero di arrivi fino all'istante "t".
Ora possiamo riscrivere questo risultato come:
$P[N(2)=2|N(5)=2]=(P[N(5)=2|N(2)=2]*[N(2)=2])/{P[N(5)=2]} = (2/5)^2$
Questo trisultato "dimostra" che il numero "m" di arrivi in un intervallo $(0,u)$ condizionato al fatto che nell'intervallo $(0,t) \text{con } t>u$ ci sono stati "k" (k>=m) arrivi ha una distribuzione Binomiale:
$((k),(m))(u/t)^m (1-u/t)^(k-m)$.
Per la risposta b) si ragiona in modo analogo, quindi:
$P[N(2)>=1|N(5)=5]=P[N(2)=1|N(5)=2]+P[N(2)=2|N(5)=2]=2*2/5*3/2+(2/5)^2$
grazie mille sei stato chiarissimo!
Dovrei risolvere anche quest'altro esercizio
I clienti arrivano ad un negozio secondo un processo di Poisson ad un tasso di tre clienti in un'ora.
Se il negozio si prevede apra alle 10:00 ma il commesso per un ritardo dovuto al traffico arriva alle 12:00, quanto vale la probabilità che nessun cliente arrivi nel negozio in quelle due ore? Di che tipo è la distribuzione che descrive il tempo d'attesa per l'arrivo del primo cliente, dopo che il commesso è arivato?
Devo semplicemente calcolare $P[N(2)=0]$ con tasso=3?
Nella seconda domanda la distribuzione è di tipo esponenziale?
Grazie davvero!
Dovrei risolvere anche quest'altro esercizio
I clienti arrivano ad un negozio secondo un processo di Poisson ad un tasso di tre clienti in un'ora.
Se il negozio si prevede apra alle 10:00 ma il commesso per un ritardo dovuto al traffico arriva alle 12:00, quanto vale la probabilità che nessun cliente arrivi nel negozio in quelle due ore? Di che tipo è la distribuzione che descrive il tempo d'attesa per l'arrivo del primo cliente, dopo che il commesso è arivato?
Devo semplicemente calcolare $P[N(2)=0]$ con tasso=3?
Nella seconda domanda la distribuzione è di tipo esponenziale?
Grazie davvero!
Ho un altro dubbio su un altro esercizio...
Dato il processo di Posson N(t), t>=0 e con tasso = 2, calcolare
P(N(3)=4|N(1)=1) e P(N(1)=1|N(3)=4)
Nel secondo posso applicare la formula che sfrutta la binomiale che mi hai detto prima, ma nel primo!??
Scusami ma questi processi di poisson proprio non li digerisco
Dato il processo di Posson N(t), t>=0 e con tasso = 2, calcolare
P(N(3)=4|N(1)=1) e P(N(1)=1|N(3)=4)
Nel secondo posso applicare la formula che sfrutta la binomiale che mi hai detto prima, ma nel primo!??
Scusami ma questi processi di poisson proprio non li digerisco
Forse non mi sono spiegata bene, allora
in questo caso:
P(N(1)=1|N(3)=4)
posso applicare la formula di Bayes per poi concludere che la distribuzione condizionata è una binomiale di parametri n e p=s/t.
Ma in quest'altro caso:
P(N(3)=4|N(1)=1)
siccome s>t, come faccio a ricavarne la probabilità se non posso utilizzare il teorema di Bayes?
Spero che qualcuno possa aiutarmi
in questo caso:
P(N(1)=1|N(3)=4)
posso applicare la formula di Bayes per poi concludere che la distribuzione condizionata è una binomiale di parametri n e p=s/t.
Ma in quest'altro caso:
P(N(3)=4|N(1)=1)
siccome s>t, come faccio a ricavarne la probabilità se non posso utilizzare il teorema di Bayes?
Spero che qualcuno possa aiutarmi
"Chiara87":
Forse non mi sono spiegata bene, allora
in questo caso:
P(N(1)=1|N(3)=4)
posso applicare la formula di Bayes per poi concludere che la distribuzione condizionata è una binomiale di parametri n e p=s/t.
Ma in quest'altro caso:
P(N(3)=4|N(1)=1)
siccome s>t, come faccio a ricavarne la probabilità se non posso utilizzare il teorema di Bayes?
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Dunque per questo caso calcoli semplicemente $P[N(1,3)=3]=P[N(2)=3]$
"clrscr":
[quote="Chiara87"]Forse non mi sono spiegata bene, allora
in questo caso:
P(N(1)=1|N(3)=4)
posso applicare la formula di Bayes per poi concludere che la distribuzione condizionata è una binomiale di parametri n e p=s/t.
Ma in quest'altro caso:
P(N(3)=4|N(1)=1)
siccome s>t, come faccio a ricavarne la probabilità se non posso utilizzare il teorema di Bayes?
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Dunque per questo caso calcoli semplicemente $P[N(1,3)=3]=P[N(2)=3]$[/quote]
grazie!!
quindi, lasciami capire bene, in generale quando s>t devo sottrarre i parametri:
$P[N(s)=m|N(t)=n]=P[N(s-t)=(m-n)]$
?
Grazie davvero
Si proprio così....
Ciao mi chiamo Stefano ed è la prima volta che scrivo sul forum, sono attualmente alle prese con i processi di Poisson e vorrei capire, riprendendo l'inizio della discussione come siete pervenuti al risultato di:
$P[N(2)=2|N(5)=2]$$= {P[N(2)=2|N(5)=2]*P[N(2)=2]}/{P[N(5)=2]}=(2/5)^2$ ??
è corretto affermare che $P[N(2)=2|N(5)=2]=1$ ? che dovrebbe significare: visto che gli eventi nell'intervallo $[0,5]$ sono 2, la probabilità che siano 2 nell'intervallo $[0,2]$ è 1.
Detto ciò, se consideriamo che la distr. di massa di una poissoniana è $p(k)=e^-\lambda (\lambda)^k/{K!}$ che per un processo di poisson si traduce in $P[N(T)=k]=e^-{\lambdaT} (\lambdaT)^k/{K!}$ con $k$ il numero di eventi nell'intervallo $[0,T]$, nel risultato precedente dove è andato a finire il termine esponenziale ?
Vi ringrazio per l'aiuto che saprete darmi.
Ciao
S.
$P[N(2)=2|N(5)=2]$$= {P[N(2)=2|N(5)=2]*P[N(2)=2]}/{P[N(5)=2]}=(2/5)^2$ ??
è corretto affermare che $P[N(2)=2|N(5)=2]=1$ ? che dovrebbe significare: visto che gli eventi nell'intervallo $[0,5]$ sono 2, la probabilità che siano 2 nell'intervallo $[0,2]$ è 1.
Detto ciò, se consideriamo che la distr. di massa di una poissoniana è $p(k)=e^-\lambda (\lambda)^k/{K!}$ che per un processo di poisson si traduce in $P[N(T)=k]=e^-{\lambdaT} (\lambdaT)^k/{K!}$ con $k$ il numero di eventi nell'intervallo $[0,T]$, nel risultato precedente dove è andato a finire il termine esponenziale ?
Vi ringrazio per l'aiuto che saprete darmi.
Ciao
S.
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