Processi di nascita e morte
Ciao a tutti 
scusatemi se sbaglio sezione, ma credo che questa sia la più attinente.
il professore ci ha consegnato delle dispense e degli esercizi, ma non è molto presente per spiegare come si risolvono i problemi... e io non so da dove cominciare. Per questo vi scrivo il testo di un esercizio, e vi chiedo se cortesemente potreste spiegarmi passo-passo come risolverlo
I clienti arrivano ad un servizio secondo un processo poissoniano con valor medio $lambda$ = 4 clienti all'ora. Il servente cessa di funzionare al tempo t=0, e n(0)=5. Qual'è la probabilità che la coda sia più lunga di 7 clienti dopo un tempo T=30 minuti?
Quello che ho capito è che in mezz'ora $lambda$ è = 2, e che devo trovare quanti clienti con questo lambda arrivano in mezz'ora, e sommarli ai 5 iniziali.
Da dove comincio?
Grazie a tutti
scusatemi se sbaglio sezione, ma credo che questa sia la più attinente.il professore ci ha consegnato delle dispense e degli esercizi, ma non è molto presente per spiegare come si risolvono i problemi... e io non so da dove cominciare. Per questo vi scrivo il testo di un esercizio, e vi chiedo se cortesemente potreste spiegarmi passo-passo come risolverlo
I clienti arrivano ad un servizio secondo un processo poissoniano con valor medio $lambda$ = 4 clienti all'ora. Il servente cessa di funzionare al tempo t=0, e n(0)=5. Qual'è la probabilità che la coda sia più lunga di 7 clienti dopo un tempo T=30 minuti?
Quello che ho capito è che in mezz'ora $lambda$ è = 2, e che devo trovare quanti clienti con questo lambda arrivano in mezz'ora, e sommarli ai 5 iniziali.
Da dove comincio?
Grazie a tutti
Risposte
vabbé, mi sono studiato un momento i processi di Poisson...
In un processo di Poisson di parametro $\lambda$, la probabilità che il sistema sia ancora nello stato "0" (nessun evento è accaduto) è data da:
$P_0(t) = exp(-\lambda t)$
Che il sistema sia nello stato "1" (l'evento è accaduto esattamente una volta) è:
$P_1(t) = \lambda t exp(-\lambda t)$
In genere, che sia nello stato "n" (l'evento è accaduto esattamente n volte) è:
$P_n(t) = \frac{(\lambda t)^n}{n!} exp(-\lambda t)$
Ovviamente, per ogni $t$, la serie $\sum_{n = 0}^{oo} P_n(t)$ vale 1...
Data la assenza di memoria del processo di Poisson (eventi indipendenti), la domanda equivale a chiedersi quale è la prob che si verifichino più di 2 eventi in mezz'ora.
Basta calcolare la prob che si verifichino al max 2 eventi in mezz'ora ($\lambda = 4$, $t = 0.5$) e poi fare il complementare:
$P_{n \le 2}(t) = exp(-\lambda t) + \lambda t exp(-\lambda t) + \frac{(\lambda t)^2}{2} exp(-\lambda t)$
Quindi la risposta dovrebbe essere:
$P_{n > 2}(0.5) = 1 - P_{n \le 2}(0.5)$, usando $\lambda = 4$.
s.e.o. (è roba appiccicaticcia, e poi ora devo andare a far da mangiare!)
In un processo di Poisson di parametro $\lambda$, la probabilità che il sistema sia ancora nello stato "0" (nessun evento è accaduto) è data da:
$P_0(t) = exp(-\lambda t)$
Che il sistema sia nello stato "1" (l'evento è accaduto esattamente una volta) è:
$P_1(t) = \lambda t exp(-\lambda t)$
In genere, che sia nello stato "n" (l'evento è accaduto esattamente n volte) è:
$P_n(t) = \frac{(\lambda t)^n}{n!} exp(-\lambda t)$
Ovviamente, per ogni $t$, la serie $\sum_{n = 0}^{oo} P_n(t)$ vale 1...
Data la assenza di memoria del processo di Poisson (eventi indipendenti), la domanda equivale a chiedersi quale è la prob che si verifichino più di 2 eventi in mezz'ora.
Basta calcolare la prob che si verifichino al max 2 eventi in mezz'ora ($\lambda = 4$, $t = 0.5$) e poi fare il complementare:
$P_{n \le 2}(t) = exp(-\lambda t) + \lambda t exp(-\lambda t) + \frac{(\lambda t)^2}{2} exp(-\lambda t)$
Quindi la risposta dovrebbe essere:
$P_{n > 2}(0.5) = 1 - P_{n \le 2}(0.5)$, usando $\lambda = 4$.
s.e.o. (è roba appiccicaticcia, e poi ora devo andare a far da mangiare!)
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