Problemi variabili aleatorie e valore atteso
Non riesco a risolvere un paio di problemi.
Problema 1 (sembra di elettrotecnica ma non lo è
)
Quando una corrente I scorre attraverso una resistenza R, la potenza dissipata è data da $ W = I^2 * R $ . Supponiamo che I e R siano variabili aleatorie indipendenti con densità
$ f(x) = 6x * (1-x) $ , $ 0 <= x <= 1 $ (per I)
$ f(x) = 2x $ , $ 0 <= x <= 1 $ (per R)
Determina la densità di probabilità di W.
Soluzione:
Ricavo le funzioni di ripartizione, le moltiplico secondo la formula di W e poi integro su $ (-∞ , w] $ per ottenere la funzione di densità di W. E' il procedimento corretto?
Problema 2
Due giocatori disputano una serie di partite che termina solo quando uno dei due arriva a vincerne i. Supponiamo che ogni partita venga vinta (indipendentemente dalle altre) dal primo giocatore con probabilità p e dal secondo con probabilità $ 1 - p $. Trova il numero medio di partite disputate se $ i = 2 $.
Soluzione:
Pongo X, variabile aleatoria che indica il numero di partite giocate. X potrà essere compreso tra 0 e 3, allora:
$ P(X=0) = 0 $
$ P(X=1) = p + (1-p) $
$ P(X=2) = p^2 + p * (1-p) + (1-p)^2 $
$ P(X=3) = p^2 + (1-p)^2 $
La funzione di probabilità di massa così costruita è evidentemente sbagliata perchè $ ∑p(x) != 1 $.
Anche se pongo A, variabile aleatoria che indica le partite vinte dal giocatore con probabilità di vittoria $ p $, e B, numero di partite vinte dal giocatore con probabilità di vittoria $ (1-p) $, ottengo una probabilità di massa errata.
La soluzione finale secondo il testo sarebbe $ E[X] = 2 + 2p - 2p^2 $.
Grazie in aticipo per la disponibilità.
Tri
Problema 1 (sembra di elettrotecnica ma non lo è
)Quando una corrente I scorre attraverso una resistenza R, la potenza dissipata è data da $ W = I^2 * R $ . Supponiamo che I e R siano variabili aleatorie indipendenti con densità
$ f(x) = 6x * (1-x) $ , $ 0 <= x <= 1 $ (per I)
$ f(x) = 2x $ , $ 0 <= x <= 1 $ (per R)
Determina la densità di probabilità di W.
Soluzione:
Ricavo le funzioni di ripartizione, le moltiplico secondo la formula di W e poi integro su $ (-∞ , w] $ per ottenere la funzione di densità di W. E' il procedimento corretto?
Problema 2
Due giocatori disputano una serie di partite che termina solo quando uno dei due arriva a vincerne i. Supponiamo che ogni partita venga vinta (indipendentemente dalle altre) dal primo giocatore con probabilità p e dal secondo con probabilità $ 1 - p $. Trova il numero medio di partite disputate se $ i = 2 $.
Soluzione:
Pongo X, variabile aleatoria che indica il numero di partite giocate. X potrà essere compreso tra 0 e 3, allora:
$ P(X=0) = 0 $
$ P(X=1) = p + (1-p) $
$ P(X=2) = p^2 + p * (1-p) + (1-p)^2 $
$ P(X=3) = p^2 + (1-p)^2 $
La funzione di probabilità di massa così costruita è evidentemente sbagliata perchè $ ∑p(x) != 1 $.
Anche se pongo A, variabile aleatoria che indica le partite vinte dal giocatore con probabilità di vittoria $ p $, e B, numero di partite vinte dal giocatore con probabilità di vittoria $ (1-p) $, ottengo una probabilità di massa errata.
La soluzione finale secondo il testo sarebbe $ E[X] = 2 + 2p - 2p^2 $.
Grazie in aticipo per la disponibilità.
Tri
Risposte
Per completezza, soluzione trovata:
X è una variabile aleatoria che considera il numero di partite necessario per terminare la serie di partite dato $ i=2 $.
La funzione di probabilità di massa dunque è:
$ P(X=2) = p^2 + (1-p)^2 $
$ P(X=3) = 2p^2*(1-p) + 2p*(1-p)^2 $
$ E[X] = 2 + 2p -2p^2 $ (calcoli omessi)
X è una variabile aleatoria che considera il numero di partite necessario per terminare la serie di partite dato $ i=2 $.
La funzione di probabilità di massa dunque è:
$ P(X=2) = p^2 + (1-p)^2 $
$ P(X=3) = 2p^2*(1-p) + 2p*(1-p)^2 $
$ E[X] = 2 + 2p -2p^2 $ (calcoli omessi)
Per il primo:
dovresti trovare $F_w(alpha)=P[W
$f_w(alpha)=(del F_w(alpha))/(del alpha)$
dovresti trovare $F_w(alpha)=P[W
$f_w(alpha)=(del F_w(alpha))/(del alpha)$
Spiego meglio il procedimento per il primo 
Tanto per chiarezza chiamo I=y mentre R=x.
Cominciamo con il calcolare $F_w(alpha)=P[W
Ora, conoscendo la densità congiunta di x e y cioè $f_(x,y)(X,Y)=f_x(X)*f_y(Y)$ (per l'ipotesi di indipendenza) otterremo:
$F_w(alpha)= { (0 \text{ con } alpha<=0), (alpha + int_(1-alpha)^1 int_0^(sqrt(alpha/x)) f_x(x)*f_y(y) dy dx \text{ con } 0=1) :}$
Tanto per chiarezza chiamo I=y mentre R=x.
Cominciamo con il calcolare $F_w(alpha)=P[W
Ora, conoscendo la densità congiunta di x e y cioè $f_(x,y)(X,Y)=f_x(X)*f_y(Y)$ (per l'ipotesi di indipendenza) otterremo:
$F_w(alpha)= { (0 \text{ con } alpha<=0), (alpha + int_(1-alpha)^1 int_0^(sqrt(alpha/x)) f_x(x)*f_y(y) dy dx \text{ con } 0
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