Problemi simili con lo stesso ragionamento di fondo (min,max)

[jarrod]

Un componente elettronico è formato da due elementi uguali in parallelo (cioè non funziona se ambedue han cessato di funzionare); ciascuno dei due a sua volta è formato da due elementi in serie (cioè non funziona se almeno uno dei due non funziona). Questi due elementi in serie hanno tempo di vita esponenziale di parametri rispettivamente λ1 = 2/10, λ2 = 1/10 e si assume l’indipendenza. Sia U il tempo di vita globale. Trova la funzione di ripartizione di U.

U = tempo di vita globale
$T_1$ distribuito con una esponenziale $( \lambda_1 = 2/10)$
$T_2$ distribuito con una esponenziale $(\lambda_2 = 1/10)$
$S_1$ distribuito con una esponenziale $(\lambda_1 = 2/10)$
$S_2$ distribuito con una esponenziale $(\lambda_2 = 1/10)$

$T = min (T_1, T_2)$ $S = min (S_1, S_2)$
$ U = max (T, S)$
$F_T(t) = 1 - e^(-3/10t)$
$F_S(t) = 1 - e^(-3/10t)$

$F_U(t) = F_T(t) * F_S(t) = (1 - e^(-3/10)t)^2$

In questo primo caso non capisco che cosa significa $min$ e $max$, ma soprattutto non capisco quando devo utilizzarli.

2 caso) Un componente elettronico è formato da due elementi in serie (cioè non funziona se almeno uno dei due non funziona), il primo dei quali ha un tempo di vita distribuito esponenzialmente con parametro 1/12. Il secondo elemento
è a sua volta formato da due elementi in parallelo (cioè non funziona se ambedue non funzionano), aventi tempo di vita esponenziale rispettivamente con parametro 3/12 e 3/12. Si suppone l’indipendenza. Sia U il tempo di vita globale. Trova la funzione di ripartizione di U

$T_1$ distribuito con una esponenziale $( \lambda_1 = 1/12)$
$S_1$ distribuito con una esponenziale $(\lambda_1 = 3/12)$
$S_2$ distribuito con una esponenziale $(\lambda_2 = 3/12)$

Anche in questo caso premetto che non capisco il motivo per cui utilizza $min$ e $max$ e il loro vero significato.
$F_S(t) = F_(S_1)(t) * F_(S_2)(t) = (1 - e^(-3/12t))^2$ anche se qua non riesco a capire come vengono ottenuti $F_(S_1)(t)$ e $F_(S_2)(t)$.
$U = min ( T_1, S)$
Quindi $F_U(t) = P[min (T_1, S) <= t]$. Faccio l'evento complementare e ottengo:
$P[ min (T_1, S) > t]= P[T_1 > t ^^ S >t]$
$P[T_1 > t] * P[S >t]$
$e^(-1/12t) * 1 - (1 - e^(-3/12t))$ anche se non capisco perchè viene messo davanti $1-$ a $F_s(t)$. è come se fosse stato messo un evento complementare, ma non capisco il senso. Dopo svolto i calcoli ottengo $2 * e^(-4/12t) - e^(-7/12t)$
Quindi ottengo $F_U(t) = 1 - 2 * e^(-4/12t) - e^(-7/12t)$

[Lo_zio_Tom]

Per capirle il procedimento basta osservare quanto segue:

Se due componenti $X$ e $Y$ con durata aleatoria sono collegati in parallelo, come hai notato, generano un sistema funzionante finché almeno uno dei due funziona; in altre parole, il sistema complessivo ha una durata aleatoria pari alla massima durata dei due componenti: $Z=max(X,Y)$

analogamente, se due componenti $X$ e $Y$ di durata aleatoria sono collegati in serie, come hai notato, generano un sistema funzionante solo finché funzionano entrambi; di conseguenza la durata del sistema è pari alla durata minima dei due componenti: $U=min(X,Y)$

Ora non ti resta che cercare la funzione di ripartizione del massimo e del minimo utilizzando la definizione di CDF e la proprietà di indipendenza. L'espressione di tali funzioni ti dovrebbero già essere note; ad ogni modo eccone la dimostrazione in pochi e semplici passaggi:


$Z=max(X,Y)$

$F_(Z)(z)=P(max(X,Y)<=z)=P(X<=z;Y<=z)=P(X<=z)P(Y<=z)=F_X(z) F_(Y)(z)$


analogamente

$U=min (X,Y)$

$F_(U)(u)=1-P(U>u)=1-P(min(X,Y)>u)=1-P(X>u;Y>u)=1-P(X>u)P(Y>u)=1-[1-F_(X)(u)][1-F_(Y)(u)]=1-S_(X)(u) S_(Y)(u)$

ora nel tuo caso, dato che le variabili sono esponenziali, sai anche che:

1) la funzione di densità è: $f(x)=lambdae^(-lambdax)$

2) la Funzione di Ripartizione (CDF) è: $F_(X)=P(X<=x)=int_(0)^x f(t)dt=1-e^(-lambdax) $

3) la funzione di sopravvivenza è: $S_X=P (X>x)=e^(-lambdax) $


Per risolvere i tuoi esercizi, prima di tutto disegni lo schema del sistema e poi applichi le proprietà che ti ho appena descritto:

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Così facendo vedrai che non avrai difficoltà

ciao

[jarrod]

Sei stato chiarissimo come sempre.. però dovrei chiederti due ultimi dubbi:
1) nel primo problema di conseguenza per calcolare $F_S(t)$ faccio: $F_S(t) = (1 - e^(-2/10t)) * (1 - e^(-1/10t))$ e quindi ottengo $1 - e^(-3/10t)$?
In teoria potrei evitare i calcoli dal momento che sono gli stessi dati di $F_T(t)$ e quindi risulta uguale?
2) nel secondo problema, non capisco perchè quando cerco $F_U(t) = e^(-1/12t) * [1 - (1- e^(-3/12t))^2]$, quindi $F_U(t) = e^(-1/12t) * [1 - (F_S(t))]$
l'espressione l'ho capita, ma non capisco perchè compare quell $1-$ davanti $F_S(t)$
Ho pensato che magari si trattasse del $min$, però svolgendo i calcoli, dopo devo fare $F_U(t) = 1 - ($ risultato ottenuto in precedenza$)$.

[Lo_zio_Tom]

Non mi pare tu abbia capito.

"jarrod": faccio: $F_S(t) = (1 - e^(-2/10t)) * (1 - e^(-1/10t))$ e quindi ottengo $1 - e^(-3/10t)$

L'espressione che hai impostato non è affatto la distribuzione del minimo e se la sviluppi non trovi di sicuro il risultato che hai scritto.
Tu hai fatto $F_(S_1)\cdotF_(S_2)=F_(max)$ mentre i componenti sono collegati in serie (si vede bene dallo schema che ti ho disegnato) e quindi $S$ smette di funzionare non appena il primo dei due componenti si rompe.


Forse prima di affrontare questi esercizi sarebbe bene che studiassi meglio la teoria, anche perché questo argomento è molto importante e non tutti gli esercizi saranno così semplici...

Ecco comunque tutti i calcoli analitici con spiegazione....

1) Se guardi lo schema del sistema hai che

$U=Max(T,S)=Max[min(T_1 ; T_2);min(S_1 ; S_2)]$

dove evidentemente (dai dati) hai che

$F_(T_1)=1-e^(-t/10)$

$S_(T_1)=e^(-t/10)$

$F_(T_2)=1-e^(-2/10 t)$

$S_(T_2)=e^(-2/10 t)$

e quindi utilizzando la formula per la FdR del minimo ottieni:

$F_(T)(t)=1-S_(T_1)S_(T_2)=1-e^(-t/10)e^(-2/10 t)=1-e^(-3/10 t)$

Ora puoi calcolare la FdR del massimo, moltiplicando le due FdR:

$F_(U)(u)=F_T(u) F_(S)(u)=[F_T(u)]^2=[1-e^(-3/10 u)]^2$ dato che T e S hanno la stessa distribuzione


2) Se guardi lo schema del secondo circuito vedi che

$U=min[T,S]=min[T,Max(S_1 ; S_2)]$

dove evidentemente:

$F_(T)(t)=1-e^(-t/12)$

$S_(T)(t)=e^(-t/12)$

$F_S(t)=(1-e^(-3/12 t))^2$

ovvero $S_S(t)=1-(1-e^(-3/12 t))^2$

e quindi utilizzando la dimostrazione che ti ho proposto per il calcolo della FdR del minimo ottieni subito

$F_U(u)=1-S_T(u)S_S (u)=1-e^(u/12)[1-(1-e^(-3/12 u))^2]=1-2e^(-4/12 u)+e^(-7/12 u)$

Che il mio risultato sia giusto lo puoi verificare facilmente controllando le proprietà caratterizzanti della FdR:

1) $F_(U)(0)=0$

2)$F_(U)(+oo)=1$

3) $d/(du) F_U >=0 AA u$

L'espressione che hai scritto tu non è corretta, così come non è corretta la soluzione che hai postato all'inizio del topic

"jarrod":
Quindi ottengo $F_U(t) = 1 - 2 * e^(-4/12t) - e^(-7/12t)$

Infatti, come puoi notare, hai una FdR negativa in $t=0$ mentre dovrebbe essere zero (la FdR non può mai essere negativa, essendo una somma di probabilità)

Quindi i casi sono due: o hai copiato male dal libro oppure c'è un refuso sul testo.

Spero che ora sia chiaro

ciao

[jarrod]

colpa mia, grazie mille per i chiarimenti!