Problemi di probabilità
[1]A fine Maggio la signora K vorrebbe trascorrere un week-end lungo (venerdi, sabato e domenica) al mare
in Sardegna, ma decide di partire solo se la probabilita di trovare bel tempo tutti e tre i giorni è almeno del
50%. Dall’azienda di turismo e soggiorno sarda viene a sapere che in quel periodo dell’anno la probabilita`
di trovare una bella giornata è 0.7; inoltre questa probabilità sale a 0.8 e 0.85, rispettivamente, se anche il
giorno o i due giorni precedenti sono stati soleggiati. Cosa deciderà la signora K?
Io risponderei che la signora parte perchè in tutti i casi la percentuale è più alta del suo limite cioè del 50%. giusto?
[2]Una moneta non truccata viene lanciata 6 volte e gli esperimenti (lanci) sono fra loro indipendenti. Calcolare
la probabilita degli eventi
1. esce 6 volte testa;
2. esce 5 volte testa ed una croce,in ordine qualsiasi;
3. al sesto lancio esce croce dopo aver osservato testa nei 5 lanci precedenti.
per la 1 dico 1/2 delle possibilità
per la 2 dico.....bo
in Sardegna, ma decide di partire solo se la probabilita di trovare bel tempo tutti e tre i giorni è almeno del
50%. Dall’azienda di turismo e soggiorno sarda viene a sapere che in quel periodo dell’anno la probabilita`
di trovare una bella giornata è 0.7; inoltre questa probabilità sale a 0.8 e 0.85, rispettivamente, se anche il
giorno o i due giorni precedenti sono stati soleggiati. Cosa deciderà la signora K?
Io risponderei che la signora parte perchè in tutti i casi la percentuale è più alta del suo limite cioè del 50%. giusto?
[2]Una moneta non truccata viene lanciata 6 volte e gli esperimenti (lanci) sono fra loro indipendenti. Calcolare
la probabilita degli eventi
1. esce 6 volte testa;
2. esce 5 volte testa ed una croce,in ordine qualsiasi;
3. al sesto lancio esce croce dopo aver osservato testa nei 5 lanci precedenti.
per la 1 dico 1/2 delle possibilità
per la 2 dico.....bo
Risposte
per il secondo problema, punto 1, come fai a dire 1/2?
non e' che possono uscire solo 6 teste o 6 croci, no?
la probabilita' e' (1/2)^6 = 1/64
non e' che possono uscire solo 6 teste o 6 croci, no?
la probabilita' e' (1/2)^6 = 1/64
ma perchè su 1 lancio non ho 1/2 di possibilità che esce testa?
si giusto, mi trovo col tuo secondo rigo. Ma perchè fai "alla 6"?
si giusto, mi trovo col tuo secondo rigo. Ma perchè fai "alla 6"?
per la seconda, l'ho fatta di corsa, se non ho fatto errori dovrebbe essere 1/6 e per la terza (1/2)^6
si ma perchè?
"Bandit":
ma perchè su 1 lancio non ho 1/2 di possibilità che esce testa?
si giusto, mi trovo col tuo secondo rigo. Ma perchè fai "alla 6"?
su 1 lancio? su un lancio certo che hai 1/2, ma la domanda chiede "su 6 lanci", no?
"Giusepperoma":
[quote="Bandit"]ma perchè su 1 lancio non ho 1/2 di possibilità che esce testa?
si giusto, mi trovo col tuo secondo rigo. Ma perchè fai "alla 6"?
su 1 lancio? su un lancio certo che hai 1/2, ma la domanda chiede "su 6 lanci", no?[/quote]
certo, quindi non si fa per 6? non sono indipendenti i lanci?
cmq mi trovo col tuo secondo rigo: non e' che possono uscire solo 6 teste o 6 croci, però perchè?
no, non si fa per 6!!!!
puoi risolvere il problema con lo schema ad albero, lo conosci?
probabilita' che esca testa al primo lancio 1/2
probabilita che esca anche al secondo moltiplica ancora per 1/2
probabilita che esca anche al terzo ...ancora per 1/2 e cosi' via
puoi risolvere il problema con lo schema ad albero, lo conosci?
probabilita' che esca testa al primo lancio 1/2
probabilita che esca anche al secondo moltiplica ancora per 1/2
probabilita che esca anche al terzo ...ancora per 1/2 e cosi' via
"Giusepperoma":
no, non si fa per 6!!!!
puoi risolvere il problema con lo schema ad albero, lo conosci?
probabilita' che esca testa al primo lancio 1/2
probabilita che esca anche al secondo moltiplica ancora per 1/2
probabilita che esca anche al terzo ...ancora per 1/2 e cosi' via
bella questa !!!! no non la sapevo
si fa la moltiplicazione proprio perchè gli eventi sono indipendenti, giusto?
e per le altre? come hai fatto?
Ciao,
non mi intendo di statistica pero' secondo me la risposta al primo quesito e' che la signora decidera' di partire se il mercoledi' e il giovedi' della settimana di partenza sono belle giornate.
0,8 * 0,85 * 0,85 = 57,8%
mentre se il mercoledi' e' cattivo tempo scendiamo sotto il 50%
0,7 * 0,8 * 0,85 = 47,6%
mentre per il secondo:
6 lanci ci danno 2^6 = 64 combinazioni
1. esce 6 volte testa; $1 / 64 = 1,56%$
2. esce 5 volte testa ed una croce,in ordine qualsiasi;$6 / 64 = 9,37%$
3. al sesto lancio esce croce dopo aver osservato testa nei 5 lanci precedenti. $1 / 64 = 1,56%$
Spero di averti suggerito bene.
A presto,
Eugenio
non mi intendo di statistica pero' secondo me la risposta al primo quesito e' che la signora decidera' di partire se il mercoledi' e il giovedi' della settimana di partenza sono belle giornate.
0,8 * 0,85 * 0,85 = 57,8%
mentre se il mercoledi' e' cattivo tempo scendiamo sotto il 50%
0,7 * 0,8 * 0,85 = 47,6%
mentre per il secondo:
6 lanci ci danno 2^6 = 64 combinazioni
1. esce 6 volte testa; $1 / 64 = 1,56%$
2. esce 5 volte testa ed una croce,in ordine qualsiasi;$6 / 64 = 9,37%$
3. al sesto lancio esce croce dopo aver osservato testa nei 5 lanci precedenti. $1 / 64 = 1,56%$
Spero di averti suggerito bene.
A presto,
Eugenio
opps...quante risposte mentre ti scrivevo.
Grazie Eugenio
scusa ma il problema non mi sembra che abbia detto che la percentuale diminuisce. stiamo sempre sopra allo 0.7. mi sbaglio?
il primo forse, grazie a Giusepperoma, l'ho capito. però gli altri perchè?
"eugenio.amitrano":
Ciao,
non mi intendo di statistica pero' secondo me la risposta al primo quesito e' che la signora decidera' di partire se il mercoledi' e il giovedi' della settimana di partenza sono belle giornate.
0,8 * 0,85 * 0,85 = 57,8%
mentre se il mercoledi' e' cattivo tempo scendiamo sotto il 50%
0,7 * 0,8 * 0,85 = 47,6%
scusa ma il problema non mi sembra che abbia detto che la percentuale diminuisce. stiamo sempre sopra allo 0.7. mi sbaglio?
"eugenio.amitrano":
mentre per il secondo:
6 lanci ci danno 2^6 = 64 combinazioni
1. esce 6 volte testa; $1 / 64 = 1,56%$
2. esce 5 volte testa ed una croce,in ordine qualsiasi;$6 / 64 = 9,37%$
3. al sesto lancio esce croce dopo aver osservato testa nei 5 lanci precedenti. $1 / 64 = 1,56%$
Spero di averti suggerito bene.
A presto,
Eugenio
il primo forse, grazie a Giusepperoma, l'ho capito. però gli altri perchè?
Segui il mio ragionamento che forse e' sbagliato:
Se ho probabilita' 0,7 che un giorno e' bel tempo, qual'e' la probabilita' che 2 giorni consecutivi e' bel tempo ?
p = 0,7 * 0,7 = 0,49 cioe' 49% giusto ?
E tre giorni ?
p = 0,7 * 0,7 * 0,7 = 0,343 ovvero 34,3 % ok ?
quindi siamo al di sotto del 50%.
Pero' pensandoci bene, forse la signora non partira' mai perche' la probabilita' con mercoledi' e giovedi di bel tempo,
sara' 0,85 per venerdi' - 0,7 per sabato e 0,7 per domenica, quindi la probabilita' che il week end e' bel tempo sara' 41,65%.
Per il secondo esercizio
Le possibili combinazioni possibili sono:
Indico con 1 testa e con 0 croce
000000
000001
000010
...
111111
in tutto 64. 2^6 = 64.
La possibilita' che siano tutte testa e' 1 / 64 giusto ?
la possibilita che siano le prime 5 testa e l'ultima croce e' sempre 1 / 64 concordi ?
mentre se 5 testa e 1 croce in ordine qualsiasi sono 6 / 64 perche':
111110
111101
111011
110111
101111
011111
ok ?
Scrivi se hai bisogno di chiarimenti oppure se vuoi segnalarmi qualche errore.
Eugenio
Se ho probabilita' 0,7 che un giorno e' bel tempo, qual'e' la probabilita' che 2 giorni consecutivi e' bel tempo ?
p = 0,7 * 0,7 = 0,49 cioe' 49% giusto ?
E tre giorni ?
p = 0,7 * 0,7 * 0,7 = 0,343 ovvero 34,3 % ok ?
quindi siamo al di sotto del 50%.
Pero' pensandoci bene, forse la signora non partira' mai perche' la probabilita' con mercoledi' e giovedi di bel tempo,
sara' 0,85 per venerdi' - 0,7 per sabato e 0,7 per domenica, quindi la probabilita' che il week end e' bel tempo sara' 41,65%.
Per il secondo esercizio
Le possibili combinazioni possibili sono:
Indico con 1 testa e con 0 croce
000000
000001
000010
...
111111
in tutto 64. 2^6 = 64.
La possibilita' che siano tutte testa e' 1 / 64 giusto ?
la possibilita che siano le prime 5 testa e l'ultima croce e' sempre 1 / 64 concordi ?
mentre se 5 testa e 1 croce in ordine qualsiasi sono 6 / 64 perche':
111110
111101
111011
110111
101111
011111
ok ?
Scrivi se hai bisogno di chiarimenti oppure se vuoi segnalarmi qualche errore.
Eugenio
il primo problema, sono incerto sul metodo di risolvimento.
Per il secondo mi è rimasto il punto 2: non mi è chiaro.
tnx
Per il secondo mi è rimasto il punto 2: non mi è chiaro.
tnx
Per il secondo punto:
1) Ti trovi che le combinazioni possibili sono 64 ?
000000
000001
000010
000011
000100
...
...
111111
2) Ti trovi che le combinazioni in cui 5 sono testa e 1 croce sono 6 ?
111110
111101
111011
110111
101111
011111
Quindi la probabilita' e' 6 combinazioni valide su 64 totali: 6/64 = 0,09375 ovvero 9,375 %.
Quali sono le tue perplessita' ?
(Anche sul primo esercizio)
Eugenio
1) Ti trovi che le combinazioni possibili sono 64 ?
000000
000001
000010
000011
000100
...
...
111111
2) Ti trovi che le combinazioni in cui 5 sono testa e 1 croce sono 6 ?
111110
111101
111011
110111
101111
011111
Quindi la probabilita' e' 6 combinazioni valide su 64 totali: 6/64 = 0,09375 ovvero 9,375 %.
Quali sono le tue perplessita' ?
(Anche sul primo esercizio)
Eugenio
Sul primo punto, il ragionamento di Eugenio è buono.
Semplicemente bisogna un attimo espanderlo, facendo ricorso al teorema delle probabilità totali.
Per il secondo esercizio, si tratta di una variabile binomiale.
Cioè: probabilità di ottenere k successi $p^k$ per probabilità di ottenere n-k insuccessi $(1-p)^(n-k)$ per numero di combinazioni di n elementi presi a gruppi di k, perchè l'ordine non interessa $((n),(k))$.
Che nell'esempio:
$P(x=5)=((6),(5))0,5^5*0,5^1=0,09375$
Che poi è la stessa cosa che ha detto
Semplicemente bisogna un attimo espanderlo, facendo ricorso al teorema delle probabilità totali.
Per il secondo esercizio, si tratta di una variabile binomiale.
Cioè: probabilità di ottenere k successi $p^k$ per probabilità di ottenere n-k insuccessi $(1-p)^(n-k)$ per numero di combinazioni di n elementi presi a gruppi di k, perchè l'ordine non interessa $((n),(k))$.
Che nell'esempio:
$P(x=5)=((6),(5))0,5^5*0,5^1=0,09375$
Che poi è la stessa cosa che ha detto
"eugenio.amitrano":
esce 5 volte testa ed una croce,in ordine qualsiasi;$6 / 64 = 9,37%$
Ok tnx a lot: allora il secondo esercizio è concluso
il problema rimane qui: perchè fai il prodotto di 0,7? è lo stesso ragionamento ad albero di giusepperoma? se si l'ho capito.
il problema rimane qui: perchè fai il prodotto di 0,7? è lo stesso ragionamento ad albero di giusepperoma? se si l'ho capito.
"eugenio.amitrano":
Se ho probabilita' 0,7 che un giorno e' bel tempo, qual'e' la probabilita' che 2 giorni consecutivi e' bel tempo ?
p = 0,7 * 0,7 = 0,49 cioe' 49% giusto ?
E tre giorni ?
p = 0,7 * 0,7 * 0,7 = 0,343 ovvero 34,3 % ok ?
quindi siamo al di sotto del 50%.
Pero' pensandoci bene, forse la signora non partira' mai perche' la probabilita' con mercoledi' e giovedi di bel tempo,
sara' 0,85 per venerdi' - 0,7 per sabato e 0,7 per domenica, quindi la probabilita' che il week end e' bel tempo sara' 41,65%.
"cheguevilla":
Cioè: probabilità di ottenere k successi $p^k$ per probabilità di ottenere n-k insuccessi $(1-p)^(n-k)$ per numero di combinazioni di n elementi presi a gruppi di k, perchè l'ordine non interessa $((n),(k))$.
Che nell'esempio:
$P(x=5)=((6),(5))0,5^5*0,5^1=0,09375$
ok, mi trovo come ha fatto eugenio, però non con questo metodo, che mi sembra molto + generale (e quindi migliore) e mi piacerebbe capirlo.
Non ti stufare, lo so che sono tosto
, ma per fare questo $P(x=5)=((6),(5))0,5^5*0,5^1 $mi dici come hai ragionato? per favore non darmi questa risposta che è molto vaga:
"cheguevilla":
Cioè: probabilità di ottenere k successi $p^k$ per probabilità di ottenere n-k insuccessi $(1-p)^(n-k)$ per numero di combinazioni di n elementi presi a gruppi di k, perchè l'ordine non interessa $((n),(k))$.
x=5 per esempio da dove viene?è il 5 volte testa che voglio calcolare?
e questo $((6),(5))0,5^5*0,5^1$?
x=5 per esempio da dove viene?è il 5 volte testa che voglio calcolare?
Si.
Questa formula è la variabile aleatoria binomiale.
Proverò a dartene una definizione:
Prendiamo un esperimento bernoulliano (cioè ammette solo due risultati: successo e insuccesso).
Per questo esperimento, il successo ha probabilità di verificarsi pari a $p$, mentre l'insuccesso ha probabilità pari a $q=1-p$.
Ripetendo $n$ volte lo stesso esperimento bernoulliano, la V.A. Binomiale è la funzione che da la probabilità di verificarsi di x successi. In formula è:
$P(X=x)=((n),(x))p^xq^(n-x)$
Questo perchè, ripetendo $n$ volte un esperimento bernoulliano, se vogliamo ottenere $x$ successi, dovremo calcolare la probabilità di ottenere:
$x$ successi: $p^x$
$n-x$ insuccessi: $q^(n-x)$
Il tutto moltiplicato per il numero delle possibili combinazioni di $n$ oggetti presi a gruppi di $x$, perchè non ha importanza l'ordine con cui si susseguono successi e insuccessi.
Non ti preoccupare, se non sono stato chiaro riprovo a spiegare tutto.
Ho ancora un dubbio su un esercizio:
In un lancio di un dado ben equilibrato, calcolare la probabilità che esca 6 sapendo che (dato che è uscito un numero pari.
se considero A l'evento 6, e B l'evento pari
perchè la probabilità di (AB)=probabilità di (A)=1/6?
In un lancio di un dado ben equilibrato, calcolare la probabilità che esca 6 sapendo che (dato che è uscito un numero pari.
se considero A l'evento 6, e B l'evento pari
perchè la probabilità di (AB)=probabilità di (A)=1/6?
La prob cercata è (1/6) / (1/2) = 1/3
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