Problemi del "costo"della riuscita di un obiettivo

[mariodic]

Dato un esperimento (osservazione) ripetibile quanto si vuole, un esempio potrebbe essere il solito lancio ripetibile di una moneta tendente ad ottenere precisamente una delle due figure della moneta stessa T o C, sia dunque p (con il suo complemento q=1-p) la probabilità di successo del singolo risultato del lancio; si supponga che p si mantenga costante indipendentemente dal numero i dei lanci miranti al centraggio dell'obiettivo di successo (consistente nell'ottenimento del primo risultato buono voluto dall'osservatore), si chiede di determinare quanto segue, posto che sia n il numero dei lanci (o delle prove) disponibili all'osservatore per raggiungere il suo scopo:

1) probabilita $p(n)$ di ottenere il primo successo disponendo di npossibili prove (leggasi anche n risorse)

2) numero di tentativi medio $M(p,n)$ e $Mm(p,n)$, date n possibili prove, acché si consegua effettivamente il risultato positivo voluto (i due valori medi rispettivamente per tener conto della media $M(p,n)$ = eventualità del fallimento di tutte le n prove a disposizione e di $Mm(p,n)$ dove non si tiene conto dell'eventualità del fallimento delle n possibilità)

3) devianze quadratiche $\sigma^2(M(p,n))$, $\sigma^2(Mm(p,n))$, $\sigma^2(M)$ intorno alle medie $M(p,n)$ e $Mm(p,n)$ nonché ad un valore qualchessia $M$ del numero di estrazioni (o prove) per conseguire il risultato atteso

[ninì2]

"mariodic":Dato un esperimento (osservazione) ripetibile quanto si vuole, un esempio potrebbe essere il solito lancio ripetibile di una moneta tendente ad ottenere precisamente una delle due figure della moneta stessa T o C, sia dunque p (con il suo complemento q=1-p) la probabilità di successo del singolo risultato del lancio; si supponga che p si mantenga costante indipendentemente dal numero i dei lanci miranti al centraggio dell'obiettivo di successo (consistente nell'ottenimento del primo risultato buono voluto dall'osservatore), si chiede di determinare quanto segue, posto che sia n il numero dei lanci (o delle prove) disponibili all'osservatore per raggiungere il suo scopo:

1) probabilita $p(n)$ di ottenere il primo successo disponendo di npossibili prove (leggasi anche n risorse)

2) numero di tentativi medio $M(p,n)$ e $Mm(p,n)$, date n possibili prove, acché si consegua effettivamente il risultato positivo voluto (i due valori medi rispettivamente per tener conto della media $M(p,n)$ = eventualità del fallimento di tutte le n prove a disposizione e di $Mm(p,n)$ dove non si tiene conto dell'eventualità del fallimento delle n possibilità)

3) devianze quadratiche $\sigma^2(M(p,n))$, $\sigma^2(Mm(p,n))$, $\sigma^2(M)$ intorno alle medie $M(p,n)$ e $Mm(p,n)$ nonché ad un valore qualchessia $M$ del numero di estrazioni (o prove) per conseguire il risultato atteso

La risposta alla prima domanda è chiaramente $p(n)=1-(1-p)^n.
Per la seconda, salvo errori di calcolo, dovrebbe essere $M(n)=(1-(1-p)^n)/p$ ottenuta sommando i prodotti $p*i*q^(i-1)$ con i= da 1 a n ed aggiungendo $n*q^n$ (per q=1-p)

[itpareid]

"mariodic":

1) probabilita $p(n)$ di ottenere il primo successo disponendo di npossibili prove (leggasi anche n risorse)

se $n$ è l'istante del primo successo vuol dire che nelle precedenti $n-1$ prove ho avuto insuccessi, quindi secondo me (se ho inteso bene il testo) la probabilità di avere il primo successo al lancio $n$-esimo è $(1-p)^(n-1)*p$

[ninì2]

"itpareid":[quote="mariodic"]

1) probabilita $p(n)$ di ottenere il primo successo disponendo di npossibili prove (leggasi anche n risorse)

se $n$ è l'istante del primo successo vuol dire che nelle precedenti $n-1$ prove ho avuto insuccessi, quindi secondo me (se ho inteso bene il testo) la probabilità di avere il primo successo al lancio $n$-esimo è $(1-p)^(n-1)*p$[/quote]Quello che indichi non mi sembra corretto, è solo la probabilità dell ennesima estrazione, la soluzione da me indicata e' $p(n)=1-(1-p)^n)$, la dimostrazione è semplicissima: intanto chiariamo la domanda "qual'è la probabilità che, disponendo di n possibili ripetizioni dell'esperimento si verifichi almeno un successo?", ora, se dissipassimo tuttte le n risorse senza successo, tale eventualità negativa avrebbe la probabilità $q(n)=(1-p)^n$, il complemento ad 1 di questo valore, cioè $1-(1-p)^n$ è conseguentemente la probabilità $p(n)$ che si verifichi almeno una lettura positiva della serie di n esperimenti. Del resto allo stesso valore si perviene eseguento la somma delle singole probabilità elementari positive, cioè la sommatoria di i uguale da 1 ad n di $(1-p)^(i-1)*p$, si tratta della somma di una serie geometrica di ragione 1-p.

[Rggb1]

"ninì":la soluzione da me indicata e' $p(n)=1-(1-p)^n)$, la dimostrazione è semplicissima: intanto chiariamo la domanda "qual'è la probabilità che, disponendo di n possibili ripetizioni dell'esperimento si verifichi almeno un successo?", ora, se ...

se ci accorgiamo che - banalmente - è calcolata con la binomiale dalla v.a. $X$ "numero di successi in $n$ prove", si ha
$p(n)=P(X>0)=1-P(X=0)=1-((n),(0))p^0*q^n=1-(1-p)^n$
appunto.

Però forse si intende di trovare la probabilità di ottenere il successo alla prova $n$-esima, come dice itpareid; boh, non è chiaro. La mia interpretazione coincide con quella di ninì, vediamo se l'autore ci viene in aiuto.

[mariodic]

"Rggb":se ci accorgiamo che - banalmente - è calcolata con la binomiale dalla v.a. $X$ "numero di successi in $n$ prove", si ha
$p(n)=P(X>0)=1-P(X=0)=1-((n),(0))p^0*q^n=1-(1-p)^n$
appunto.

Però forse si intende di trovare la probabilità di ottenere il successo alla prova $n$-esima, come dice itpareid; boh, non è chiaro. La mia interpretazione coincide con quella di ninì, vediamo se l'autore ci viene in aiuto.

Benissimo per la dimostrazione di Ninì. Confermo che la interpretazione corretta non riguarda la probabilità dell'esito $n^(mo)$ ma quella che si verifichi almeno un successo per qualsiasi "i" deglio "n" lanci disponibili.
Rimangono aperti: il problema del calcolo del numero medio $i^(mo)=M(p,n)$ per $(1

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