Problemi con densità
Salve sono tornato a darvi fastidio : V
Ho dei dubbi al riguardo di 2 esercizi, non riesco a capire dove sbaglio.
esercizio 1:
Ho 2 v.a indipendenti X Y entrambe con densità del tipo : f(u) = $ 1/u $ se u>1 ; 0 altrimenti.
L'esercizio chiede di calcolare Z = $sqrt(XY)$.
Io procedo in questo modo :
Essendo X e Y indipendenti la loro densità congiunta è data da $F_{XY} (x,y) = 1/(x^2 y^2) $ se x>1 , y>1 ; 0 altrimenti.
Procedo calcolando la funzione di ripartizione di Z quindi :
P(Z
Ho quindi $ y>1 $, $x>1$ , $ y< z^2/x $
inoltre ,visto che $ y>1 $ , devo avere che $z^2/x > 1 $ quindi $ x < z^2 $
Procedo quindi integrando la densità congiunta nel seguente modo :
$ int_(1)^(z^2)int_(1)^(z^2 /2) 1/(x^2 y^2) dydx $ = $ int_(1)^(z^2)1/(x^2)dx int_(1)^(z^2 /2) 1/y^2 dy $ = $ int_(1)^(z^2)1/(x^2)(-x/z^2 + 1)dx $ =
= $ int_(1)^(z^2)-1/(x^2)(x/z^2) + 1/(x^2)dx $ = $ int_(1)^(z^2)-1/(x^2)(x/z^2)dx + int_(1)^(z^2) 1/(x^2)dx $ = $ - 1/z^2 log(z^2) + -1/Z^2+1 $
derivando ottengo : $ 2log(x^2)/x^3 $
La soluzione dell'esercizio invece procede in questa maniera:
(presa direttamente dal pdf del compito,spero si veda l'immagine)
non capisco cosa sta facendo, inoltre a me sembra che la densità che trovi sia quella di XY non di $ sqrt(XY) $.
ercizio 2 :
In questo esercizio mi viene data una densità $ f(x) = 1/k $ se $ 1-k
Procedo ponendo $ int_(1-k)^(1+k) 1/k dx=1 $ e ricavando k, ma ottengo 2 = 1. Devo concludere che tale funzione non può essere una densità o sto sbagliando qualcosa?
Ho dei dubbi al riguardo di 2 esercizi, non riesco a capire dove sbaglio.
esercizio 1:
Ho 2 v.a indipendenti X Y entrambe con densità del tipo : f(u) = $ 1/u $ se u>1 ; 0 altrimenti.
L'esercizio chiede di calcolare Z = $sqrt(XY)$.
Io procedo in questo modo :
Essendo X e Y indipendenti la loro densità congiunta è data da $F_{XY} (x,y) = 1/(x^2 y^2) $ se x>1 , y>1 ; 0 altrimenti.
Procedo calcolando la funzione di ripartizione di Z quindi :
P(Z
Ho quindi $ y>1 $, $x>1$ , $ y< z^2/x $
inoltre ,visto che $ y>1 $ , devo avere che $z^2/x > 1 $ quindi $ x < z^2 $
Procedo quindi integrando la densità congiunta nel seguente modo :
$ int_(1)^(z^2)int_(1)^(z^2 /2) 1/(x^2 y^2) dydx $ = $ int_(1)^(z^2)1/(x^2)dx int_(1)^(z^2 /2) 1/y^2 dy $ = $ int_(1)^(z^2)1/(x^2)(-x/z^2 + 1)dx $ =
= $ int_(1)^(z^2)-1/(x^2)(x/z^2) + 1/(x^2)dx $ = $ int_(1)^(z^2)-1/(x^2)(x/z^2)dx + int_(1)^(z^2) 1/(x^2)dx $ = $ - 1/z^2 log(z^2) + -1/Z^2+1 $
derivando ottengo : $ 2log(x^2)/x^3 $
La soluzione dell'esercizio invece procede in questa maniera:
(presa direttamente dal pdf del compito,spero si veda l'immagine)
non capisco cosa sta facendo, inoltre a me sembra che la densità che trovi sia quella di XY non di $ sqrt(XY) $.
ercizio 2 :
In questo esercizio mi viene data una densità $ f(x) = 1/k $ se $ 1-k
Procedo ponendo $ int_(1-k)^(1+k) 1/k dx=1 $ e ricavando k, ma ottengo 2 = 1. Devo concludere che tale funzione non può essere una densità o sto sbagliando qualcosa?
Risposte
Sul secondo esercizio concordo con te!
Sul primo ci penserò a mente fresca lunedì (forse?).
Sul primo ci penserò a mente fresca lunedì (forse?).
Mi faresti un favore : V
Per quanto riguarda il secondo esercizio il dubbio veniva dal fatto che secondo la soluzione $ k = (e - 1)/(e+1) $ . Probabilmente è la soluzione di un'altro esercizio copiata nel posto sbagliato, bho.
Per quanto riguarda il secondo esercizio il dubbio veniva dal fatto che secondo la soluzione $ k = (e - 1)/(e+1) $ . Probabilmente è la soluzione di un'altro esercizio copiata nel posto sbagliato, bho.
"TriceratopoSublime":
Per quanto riguarda il secondo esercizio il dubbio veniva dal fatto che secondo la soluzione $ k = (e - 1)/(e+1) $ . Probabilmente è la soluzione di un'altro esercizio copiata nel posto sbagliato, bho.
Penso che invece c'è un errore nella traccia. Prova con: \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \)
Ok mi è appena venuto in mente che posso calcolarmi la densità di XY e guardare se torna uguale a quella della soluzione e in effetti mi torna uguale.Quindi Sono quasi sicuro che la densità della soluzione sia quella di XY e non di $ sqrt(XY) $ .Anche se non capisco appieno cosa stia facendo nella soluzione.
Se comunque mi date conferma ve ne sarei grato : P
Adesso mi torna
Se comunque mi date conferma ve ne sarei grato : P
"cenzo":
Penso che invece c'è un errore nella traccia. Prova con: \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \)
Adesso mi torna
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