Problemi col distinguere probabilità condizionata e intersezione di eventi
Salve,
nello svolgere esercizi di probabilità mi sono sempre trovato ad affrontare quella che per me è una "bestia nera", infatti, sebbene abbia studiato la teoria, e abbia compreso qual è la differenza, poi negli esercizi non riesco proprio mai a distinguerle.
L'idea è che la probabilità condizionata è la probabilità dello svolgersi di un evento A, dato che si è svolto un evento B, per esempio, lancio un dado e voglio sapere la probabilità che sia uscito 6, successivamente scopro che è uscito un numero pari (Evento B), allora posso inserire l'informazione nel calcolo della probabilità.
Lo svolgersi dell'evento B modifica lo spazio campionario, infatti adesso non gli eventi possibili non saranno più {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ma saranno {2, 4, 6}. Si usa così l'impostazione classica, dato che ciascun lato ha uguale probabilità di uscire. Si sfrutta allora la formula $(N_a)/N$: [$N_a$ = casi favorevoli, $N$ = casi possibili]. Il caso favorevole è uno solo (6), i casi possibili sono 3, allora la probabilità è $1/3$.
In sostanza, i casi favorevoli sono gli eventi elementari appartenenti ad $(A$ $nn$ $B)$, mentre quelli possibili sono quelli appartenenti ad $(A$ $nn$ $B)$ $uu$ $B$, cioè quelli appartenenti a B stesso, da cui la formula
$P(A | B)$ = $P(A$ $nn$ $B)$ $/(P(B))$
La probabilità dell'intersezione è invece la probabilità che si verifichi un evento elementare che appartenga sia ad un dato evento A che ad un altro dato evento B.
Il problema è che negli esercizi spesso il mio libro di testo, il Newbold, interpreta la congiunzione "e" come probabilità condizionata. Il libro stesso però prima propone di ricondursi alla logica delle proposizioni, e quindi al linguaggio insiemistico. Nel linguaggio insiemistico la congiunzione "e" è tradotta con l'intersezione.
Voi come fate a distinguere?
Grazie!
nello svolgere esercizi di probabilità mi sono sempre trovato ad affrontare quella che per me è una "bestia nera", infatti, sebbene abbia studiato la teoria, e abbia compreso qual è la differenza, poi negli esercizi non riesco proprio mai a distinguerle.
L'idea è che la probabilità condizionata è la probabilità dello svolgersi di un evento A, dato che si è svolto un evento B, per esempio, lancio un dado e voglio sapere la probabilità che sia uscito 6, successivamente scopro che è uscito un numero pari (Evento B), allora posso inserire l'informazione nel calcolo della probabilità.
Lo svolgersi dell'evento B modifica lo spazio campionario, infatti adesso non gli eventi possibili non saranno più {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ma saranno {2, 4, 6}. Si usa così l'impostazione classica, dato che ciascun lato ha uguale probabilità di uscire. Si sfrutta allora la formula $(N_a)/N$: [$N_a$ = casi favorevoli, $N$ = casi possibili]. Il caso favorevole è uno solo (6), i casi possibili sono 3, allora la probabilità è $1/3$.
In sostanza, i casi favorevoli sono gli eventi elementari appartenenti ad $(A$ $nn$ $B)$, mentre quelli possibili sono quelli appartenenti ad $(A$ $nn$ $B)$ $uu$ $B$, cioè quelli appartenenti a B stesso, da cui la formula
$P(A | B)$ = $P(A$ $nn$ $B)$ $/(P(B))$
La probabilità dell'intersezione è invece la probabilità che si verifichi un evento elementare che appartenga sia ad un dato evento A che ad un altro dato evento B.
Il problema è che negli esercizi spesso il mio libro di testo, il Newbold, interpreta la congiunzione "e" come probabilità condizionata. Il libro stesso però prima propone di ricondursi alla logica delle proposizioni, e quindi al linguaggio insiemistico. Nel linguaggio insiemistico la congiunzione "e" è tradotta con l'intersezione.
Voi come fate a distinguere?
Grazie!
Risposte
"iTz_Ovah":
per esempio, lancio un dado e voglio sapere la probabilità che sia uscito 6, successivamente scopro che è uscito un numero pari (Evento B), allora posso inserire l'informazione nel calcolo della probabilità.
Calcolando la probabilità condizionata in sostanza si sta normlizzando rispetto a uno spazio degli venti ridotto rispetto a quello di partenza.
P.S. $A,B sub Omega$
pe run generico sottoinsieme di $Omega$ si ha
$P(A)=(|A|)/(|Omega|)$
mentre condizionanando $A$ rispetto a un altro evento $B$ si ottiene
$P(A|B)=(P(A nn B))/(|B|)$
dove
$|B|<=|Omega|$
"iTz_Ovah":
Il problema è che negli esercizi spesso il mio libro di testo, il Newbold, interpreta la congiunzione "e" come probabilità condizionata. Il libro stesso però prima propone di ricondursi alla logica delle proposizioni, e quindi al linguaggio insiemistico.
Dipende dalla caratteristiche degli insiemi. In generale vale
$P(A nn B)=P(A|B)cdot P(B)=P(B|A)cdotP(A)$
Ma, nel caso in cui $A,B$ siano indipendeti: ovvero $P(A|B)=P(A) qquad, P(B|A)=P(B)$ si ottiene
$P(A nn B)=P(A)cdotP(B)$
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