Problema vettori aleatori

[flodrian]

Buonasera a tutti volevo proporvi questo esercizio:

Si considerino due vettori aleatori gaussiani X = [x1, x2, x3]^T ∼ N (mX, ΣX) e Y = [y1, y2, y3]^T ∼ N (mY , ΣY).
Si consideri il vettore aleatorio
Z = X + Y
1. Supponendo che X e Y siano indipendenti, si dimostri che Z è un vettore
gaussiano e se ne determinino i parametri statistici.
2. Se si può scrivere la densità di probabilità del vettore X, si dica se è possibile
scrivere quella del vettore Z.



allora per il punto 1 ho pensato di ricondurmi ad un esercizio svolto tempo fa del tipo:
Siano X ed Y due variabili aleatorie indipendenti, tali che X ∼ N (0, 1) ed Y ∼ N (0, 4)
E per trovare Z = X + Y ho fatto :


il vettore (X, Y)^T è Gaussiano con vettore delle medie \mu $ ( ( 0 ),( 0 ) ) $ e covarianza C = $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 4 ) ) $
Z essendo combinazione lineare delle sue componenti è una v. a. gaussiana
E(Z) = E(X) + E(Y ) = 0 + 0 = 0 Var(Z) = Var(X) + Var(Y ) = 1 + 4 = 5
Quindi Z ∼ N(0,5).

Quello che vi chiedo è se posso ragionare in questo modo anche con i 2 vettori Gaussiani oppure devo cambiare approccio?

[fu^2]

Direi di si.
Il punto, che nell'esercizio svolto hai sorvolato, riguarda il dimostrare che il vettore (X,Y)^T è Gaussiano.

[flodrian]

"fu^2":Direi di si.
Il punto, che nell'esercizio svolto hai sorvolato, riguarda il dimostrare che il vettore (X,Y)^T è Gaussiano.

quindi devo dimostrare che $ (X,Y)^T $ sia Gaussiano?
però non saprei come fare

[fu^2]

Usa la definizione : un vettore $(X_1,...X_n)$ è gaussiano se e solo se ogni combinazione del vettore, i.e., $\sum_{i=1}^n \lambda_i X_i$ per ogni $\lambda_i$ reali, è una v.a. gaussiana.