Problema valore atteso
ciao a tutti,
non riesco a impostare un problema del Ross e per questo vi chiedo un aiuto
Supponiamo che due squadre giochino una serie di partite che si concludono quando la prima squadra ha ottenuto l'i-esima vittoria. Supponiamo che la squadra A vinca ogni partita indipendentemente dalle altre, con probabilità pari a p.
Si determini il numero atteso di partite che vengono giocate quando:
(a) i=2;
(b) i=3.
Se con N indico il numero delle partite giocate quali sono i valori che può assumere?
Sembrerebbe che sia un numero naturale qualsiasi e che al punto a dobbiamo supporre che ci sia un numero di vittorie della squadra A pari a 2, l'ultima delle quali sia all'ultima partita.
Qualcuno mi sa aiutare a capire?
Anna
non riesco a impostare un problema del Ross e per questo vi chiedo un aiuto
Supponiamo che due squadre giochino una serie di partite che si concludono quando la prima squadra ha ottenuto l'i-esima vittoria. Supponiamo che la squadra A vinca ogni partita indipendentemente dalle altre, con probabilità pari a p.
Si determini il numero atteso di partite che vengono giocate quando:
(a) i=2;
(b) i=3.
Se con N indico il numero delle partite giocate quali sono i valori che può assumere?
Sembrerebbe che sia un numero naturale qualsiasi e che al punto a dobbiamo supporre che ci sia un numero di vittorie della squadra A pari a 2, l'ultima delle quali sia all'ultima partita.
Qualcuno mi sa aiutare a capire?
Anna
Risposte
non ci sarebbe un modo di risolverlo sapendo solo la distribuzione binomiale
io ho supposto che essendo i=2 ci devono essere due vittorie di A, di cui la seconda è all'ultima partita.
$ p(x=2)=p^2;
p(x=3)=p^2*(1-p);
p(x=4)=p^2*(1-p)^2 $
$ E(x)=2*p^2+3*p^2*(1-p)+4*p^2*(1-p)^2+...+n*p^2*(1-p)^(n-2) $
io ho supposto che essendo i=2 ci devono essere due vittorie di A, di cui la seconda è all'ultima partita.
$ p(x=2)=p^2;
p(x=3)=p^2*(1-p);
p(x=4)=p^2*(1-p)^2 $
$ E(x)=2*p^2+3*p^2*(1-p)+4*p^2*(1-p)^2+...+n*p^2*(1-p)^(n-2) $
Sì ed è anche molto semplice.
Se in una binomiale il numero medio $ k $ di successi in $ n $ prove è $ k=np $ è evidente che il numero medio di prove $ n $ per avere $ k $ successi è proprio $ n=k/p $
Essendo così semplice magari ho preso un abbaglio....domani lo riguardo
buona notte
Se in una binomiale il numero medio $ k $ di successi in $ n $ prove è $ k=np $ è evidente che il numero medio di prove $ n $ per avere $ k $ successi è proprio $ n=k/p $
Essendo così semplice magari ho preso un abbaglio....domani lo riguardo
buona notte
Sembra che debba venire un'espressione con la variabile p perchè poi chiede di provare che in entrambi i casi(i=2 e i=3) la probabilità è massima quando p=1/2
e buona notte
e buona notte
Infatti, come ho osservato viene
$2/p $ e $3/p $ proprio per il motivo che ti ho detto
se non ne sei convinta puoi anche calcolarla. Nel primo caso avrai
2,3,4,....
Con le rispettive probabilità. ...sommi tutto e calcoli la media...secondo me viene come ti ho detto. ....non mi sembra difficile da dimostrare, soprattutto per una persona che studia matematica.
Basta considerare che per avere k successi in n prove occorre avere $(k-1) $ successi in $(n-1) $ prove e un successo all'ennesima prova....
$2/p $ e $3/p $ proprio per il motivo che ti ho detto
se non ne sei convinta puoi anche calcolarla. Nel primo caso avrai
2,3,4,....
Con le rispettive probabilità. ...sommi tutto e calcoli la media...secondo me viene come ti ho detto. ....non mi sembra difficile da dimostrare, soprattutto per una persona che studia matematica.
Basta considerare che per avere k successi in n prove occorre avere $(k-1) $ successi in $(n-1) $ prove e un successo all'ennesima prova....
mi spiegheresti il perchè di questa soluzione che porta dritto a dimostrare che quando p=1/2 la probabilità è massima?
$E(N) = 2[p2 + (1 − p)2] + 3[2p(1 − p)]$ per i=2
e
$E[N] = 3[p3 + (1 − p)3] + 4[3p2(1 − p)p] + 3[p(1 − p)2(1 − p)]
+ 5[6p2(1 − p)2] $ per i=3
$E(N) = 2[p2 + (1 − p)2] + 3[2p(1 − p)]$ per i=2
e
$E[N] = 3[p3 + (1 − p)3] + 4[3p2(1 − p)p] + 3[p(1 − p)2(1 − p)]
+ 5[6p2(1 − p)2] $ per i=3
Boh!
Il problema si può anche 'leggere' in maniera diversa. Quel "...la prima squadra..." potrebbe voler dire che la sfida termina quando una delle due squadre arriva ad $ i $ vittorie. Per $ i=2 $ sarebbe quello che in linguaggio sportivo è "al meglio delle 3 partite". Per $ i=3 $ "al meglio delle 5 partite".
Ciao
Il problema si può anche 'leggere' in maniera diversa. Quel "...la prima squadra..." potrebbe voler dire che la sfida termina quando una delle due squadre arriva ad $ i $ vittorie. Per $ i=2 $ sarebbe quello che in linguaggio sportivo è "al meglio delle 3 partite". Per $ i=3 $ "al meglio delle 5 partite".
Ciao
"orsoulx":
Boh!
Il problema si può anche 'leggere' in maniera diversa. Quel "...la prima squadra..." potrebbe voler dire che la sfida termina quando una delle due squadre arriva ad $ i $ vittorie. Per $ i=2 $ sarebbe quello che in linguaggio sportivo è "al meglio delle 3 partite". Per $ i=3 $ "al meglio delle 5 partite".
Ciao
purtoppo nella mia ottusità io ho interpretato il testo diversamente: il gioco finisce quando la prima squadra, cioè la squadra uno, ottiene 2 vittorie (ed in effetti mi chiedevo:"ma che senso ha la domanda?")
E, per $i=2$, la risposta era, ovviamente, questa:
$E(n)=sum_(n=2)^(+oo)n(n-1)p(1-p)^(n-2) p=...=2/p$
messa così hai perfettamente ragione....grazie orsoulx, come sempre!
@incredibili33: sicura che il testo originale fosse esattamente quello da te scritto? non è che per caso era in inglese e ne hai fatto una traduzione?
@tommik,
il dubbio mi è venuto leggendo l'ultimo intervento di incredibili33: quelle espressioni parrebbero derivare dall'interpretazione che ho proposto. Con l'altra il massimo del valore atteso non esiste, visto che tende all'infinito per p che tende a zero.
Come dici è probabilmente un problema di traduzione, dell'utente o del traduttore del libro.
Ciao
il dubbio mi è venuto leggendo l'ultimo intervento di incredibili33: quelle espressioni parrebbero derivare dall'interpretazione che ho proposto. Con l'altra il massimo del valore atteso non esiste, visto che tende all'infinito per p che tende a zero.
Come dici è probabilmente un problema di traduzione, dell'utente o del traduttore del libro.
Ciao
tutto il libro è stato tradotto da due prof. di Padova e mi sono limitata a trascrivere la traccia
Quella in inglese è:
"Suppose that two teams play a series of games that
ends when one of them has won i games. Suppose
that each game played is, independently, won by
team A with probability p. Find the expected number
of games that are played when (a) i = 2 and (b)
i = 3. Also, show in both cases that this number is
maximized when p = 1/2 ". quando parla di probabilità genericamente in italiano , questa è il numero atteso di partite $E[x]$
@Tommik A me sembra che nella sommatoria compaia solo $n$ e non $n-1$
$ E[x]=sum_(n = 2\) n*p^2*(1-p)^(n-2)=2/p$ se $ i =2 $
$ E[x]=sum_(n = 3\) n*p^3*(1-p)^(n-3)=2/p$ se $ i =3 $
e non capisco come numero atteso di partite dovrebbe essere massimo quando $p=1/2$ (al massimo il numero di partite diventa 4)
le espressioni
(a) $E(N) = 2*[p^2+(1 − p)^2]+3*[2*p*(1 − p)] $
(b) $E[N] = 3*[p^3+(1 − p)^3]+4*[3*p^2*(1 − p)*p + 3*p*(1 − p)^2*(1 − p)]+ 5*[6*p^2(1 − p)^2]$
le ho prese da un manuale trovato su internet con le risoluzioni
sembra che nel caso i=2 consideri solo due partite nel primo termine con due vincite di A e due perdite di A, il secondo termine non lo capisco, per i=3 sono nel buio assoluto
e derivandole rispetto a p la derivata si annulla effettivamente in $p=1/2$ come spiega il manuale
Quella in inglese è:
"Suppose that two teams play a series of games that
ends when one of them has won i games. Suppose
that each game played is, independently, won by
team A with probability p. Find the expected number
of games that are played when (a) i = 2 and (b)
i = 3. Also, show in both cases that this number is
maximized when p = 1/2 ". quando parla di probabilità genericamente in italiano , questa è il numero atteso di partite $E[x]$
@Tommik A me sembra che nella sommatoria compaia solo $n$ e non $n-1$
$ E[x]=sum_(n = 2\) n*p^2*(1-p)^(n-2)=2/p$ se $ i =2 $
$ E[x]=sum_(n = 3\) n*p^3*(1-p)^(n-3)=2/p$ se $ i =3 $
e non capisco come numero atteso di partite dovrebbe essere massimo quando $p=1/2$ (al massimo il numero di partite diventa 4)
le espressioni
(a) $E(N) = 2*[p^2+(1 − p)^2]+3*[2*p*(1 − p)] $
(b) $E[N] = 3*[p^3+(1 − p)^3]+4*[3*p^2*(1 − p)*p + 3*p*(1 − p)^2*(1 − p)]+ 5*[6*p^2(1 − p)^2]$
le ho prese da un manuale trovato su internet con le risoluzioni
sembra che nel caso i=2 consideri solo due partite nel primo termine con due vincite di A e due perdite di A, il secondo termine non lo capisco, per i=3 sono nel buio assoluto
e derivandole rispetto a p la derivata si annulla effettivamente in $p=1/2$ come spiega il manuale
"incredibili33":
Supponiamo che due squadre giochino una serie di partite che si concludono quando la prima squadra ha ottenuto l'i-esima vittoria.
"incredibili33":
Suppose that two teams play a series of games that ends when one of them has won i games.
Complimenti al traduttore.....
"incredibili33":
@Tommik A me sembra che nella sommatoria compaia solo $n$ e non $n-1$
@incredibili: ti sembra male.....perché se su $(n-1)$ partite ne deve aver vinta una (siamo nel caso di $i=2$), la partita vinta può situarsi in qualunque posizione della successione.....e quindi devi moltiplicare anche per $(n-1)$
$((n-1),(1))p(1-p)^(n-2)=(n-1)p(1-p)^(n-2)$
poi, affinché il gioco termini, deve vincere l'ennesima partita e quindi la media viene
$sum_(n=2)^(+oo)n(n-1)p(1-p)^(n-2) p=sum_(n=2)^(+oo)n(n-1)p^2(1-p)^(n-2) =2/p$
ma è un conto inutilmente complicato perché, come ti ho detto fin dall'inizio, si calcola partendo dalla media di una binomiale
$2=np$ e quindi $n=2/p$
PS: ti invito a prestare maggiore attenzione quando posti le tracce degli esercizi, onde non far perdere tempo a cercare soluzioni inutili
ciao
Non è mica colpa mia se è scritto in veneto
il problema del max non l'ho proprio capito...help!
il problema del max non l'ho proprio capito...help!
"incredibili33":
Non è mica colpa mia se è scritto in veneto
nemmeno è colpa nostra se posti una cosa e in realtà ne vuoi risolta un'altra...prestare maggiore attenzione vuol dire controllare anche il testo originario.....secondo me
la traccia è quella del libro
se non ci credi controllala sul tuo libro
se non ci credi controllala sul tuo libro
"incredibili33":
la traccia è quella del libro
se non ci credi controllala sul tuo libro
1) la traccia in inglese infatti è corretta. Quella che è sbagliata è la traduzione in italiano.
2) a me non interessa un fico secco del tuo esercizio
3) dopo un commento del genere mi guarderò bene dal rispondere nuovamente
buon proseguimento
non era un commento aggressivo Tommik
ma studiando su un libro scritto in italiano ed essendo tradotto da dei professori di tutto rispetto
mi sembra ovvio che non cerco sulla versione inglese
sai benissimo che puoi non rispondermi e questo dal primo post
ma studiando su un libro scritto in italiano ed essendo tradotto da dei professori di tutto rispetto
mi sembra ovvio che non cerco sulla versione inglese
sai benissimo che puoi non rispondermi e questo dal primo post
Beh! Anche i Professori di tutto rispetto possono sbagliare e, sempre nell'ottica del malpensante, non è detto che la traduzione degli esercizi sia stata particolarmente curata.
Solo in questo esercizio ci sono su quattro righe ben due perle: oltre a quella ampiamente discussa, anche il tradurre, nella domanda finale, 'massimo della probabilità' invece di 'massimo del valore atteso per il numero di partite giocate' è da incorniciare.
Che tale massimo si verifichi, in ogni caso, quando $ p= 1/2 $ è elementare questione di buon senso: se uno dei contendenti è molto più forte dell'altro il gioco, probabilmente, termina più rapidamente rispetto a quando sono della medesima forza.
E, se le formule ricavate col sudore della fronte dicono il contrario cercherei l'errore nelle medesime.
Ciao
Solo in questo esercizio ci sono su quattro righe ben due perle: oltre a quella ampiamente discussa, anche il tradurre, nella domanda finale, 'massimo della probabilità' invece di 'massimo del valore atteso per il numero di partite giocate' è da incorniciare.
Che tale massimo si verifichi, in ogni caso, quando $ p= 1/2 $ è elementare questione di buon senso: se uno dei contendenti è molto più forte dell'altro il gioco, probabilmente, termina più rapidamente rispetto a quando sono della medesima forza.
E, se le formule ricavate col sudore della fronte dicono il contrario cercherei l'errore nelle medesime.
Ciao
sono d'accordo , la prossima volta starò più attenta
ciao
ciao
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