Problema sulle urne
Si consideri un'urna contenente 10 palline di cui 7 rosse e si estraggano 4 palline. Qual è la probabilità $p_1$ che 3 delle palline estratte siano rosse, se le estrazioni sono con restituzione?
Ho pensato ad una Binomiale. Innanzitutto mi sono calcolato $p=7/10$ , per poi scrivere $p_1=P(X=3)=( (7), (3) ) (7/10)^3 (3/10)^4$ .
Qual è la probabilità $p_2$ che 3 delle palline estratte siano rosse, se le estrazioni sono senza restituzione?
Dovrebbe essere il caso di una Ipergeometrica: $P(X=k)= [( (h), (k) ) ( (n-h), (r-k) ) ] /[( (n), (r) ) ] $ con $h=7$ palline rosse, $n-h=3$ palline di altri colori, $k=3$ che devono essere le palline rosse e $r=4$ che sono le palline estratte.
Qual è la probabilità $p_3$ che la terza pallina estratta sia rossa, se le estrazioni sono senza restituzione?
Per questa richiesta ho il dubbio.
Ho pensato che sia una Ipergeometrica (perché mi trovo nel caso della non restituzione delle palline), ma scritta in questo modo:
$E$ = "pallina rossa alla terza estrazione"
$P(E)= P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)$ dove quelle probabilità sono tutte Ipergeometriche.
L'esercizio è giusto?
Grazie.
Ho pensato ad una Binomiale. Innanzitutto mi sono calcolato $p=7/10$ , per poi scrivere $p_1=P(X=3)=( (7), (3) ) (7/10)^3 (3/10)^4$ .
Qual è la probabilità $p_2$ che 3 delle palline estratte siano rosse, se le estrazioni sono senza restituzione?
Dovrebbe essere il caso di una Ipergeometrica: $P(X=k)= [( (h), (k) ) ( (n-h), (r-k) ) ] /[( (n), (r) ) ] $ con $h=7$ palline rosse, $n-h=3$ palline di altri colori, $k=3$ che devono essere le palline rosse e $r=4$ che sono le palline estratte.
Qual è la probabilità $p_3$ che la terza pallina estratta sia rossa, se le estrazioni sono senza restituzione?
Per questa richiesta ho il dubbio.
Ho pensato che sia una Ipergeometrica (perché mi trovo nel caso della non restituzione delle palline), ma scritta in questo modo:
$E$ = "pallina rossa alla terza estrazione"
$P(E)= P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)$ dove quelle probabilità sono tutte Ipergeometriche.
L'esercizio è giusto?
Grazie.
Risposte
"arnett":
Il primo punto è sbagliato: i tentativi sono 4 e non 7, quindi hai $p_1=P(X=3)=( (4), (3) ) (7/10)^3 (3/10)$ .
Il secondo è giusto
Per il terzo ti conviene sommare direttamente le probabilità delle sequenze favorevoli, che sono nnr, nrr, rrr, rnr.
Che errore banale sul primo
Per il terzo: anche come ho fatto io va bene oppure non ha senso?
"arnett":
Quella che calcoli è la probabilità di non estrarne di rosse meno la probabilità di estrarne solo una rossa meno la probabilità di estrarne esattamente due rosse. Cosa che non corrisponde a 'la terza pallina è rossa', quindi non va bene. (Poi stai sottraendo eventi disgiunti, secondo me quella probabilità così come la hai scritta tu potrebbe venire addirittura negativa per certe scelte dei parametri)
Perfetto, grazie mille per la spiegazione.
Per il terzo punto non occorreva fare nessun calcolo.
Se su 10 palline 7 sono rosse, la probabilità che la terza lo sia è chiaramente $7/10$
Se su 10 palline 7 sono rosse, la probabilità che la terza lo sia è chiaramente $7/10$
Si ma sempre $7/10$ viene, è evidente, al primo, al secondo, al terzo, nulla cambia
Es :
rossa alla prima estrazione: $7/10$
Rossa alla seconda estrazione: $7/10 6/9+ 3/10 7/9=63/90=7/10$
ecc ecc
Es :
rossa alla prima estrazione: $7/10$
Rossa alla seconda estrazione: $7/10 6/9+ 3/10 7/9=63/90=7/10$
ecc ecc
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