Problema sulla probabilità condizionata
ciao a tutti,
ho un dubbio su un esempio del cap.3 del Ross.
Susanna è indecisa se frequentare il corso di francese o quello di chimica e stima che la sua probabilità di prendere più di 27 è pari a $1/2$ nel caso del corso di francese e $2/3$ nel caso del corso di chimica. Se Susanna basa la decisione sull'esito del lancio di una moneta non truccata, qual è la probabilità che prenda più di 27 in chimica?
$P(CA)=P(C)*P(A|C)$
con A=evento "Susanna prende più di 27 all'esame"
C=evento "Susanna sceglie il corso di chimica"
CA=evento "Susanna sceglie chimica e prende più di 27"
$P(C)=1/2$ perchè S. utilizza una moneta equilibrata
$P(A|C)=2/3$ perchè lo fornisce la traccia
$P(CA)$=la nostra incognita
$P(CA)=1/2*2/3=1/3$
Nello svolgimento del problema si legge che A è l'evento "Susanna prende più di 27 all'esame, qualunque esso sia". Secondo voi è corretto aggiungere quel "qualunque esso sia" se abbiamo a disposizione solo dei P(A|C) (o P(P|F) se prendiamo il francese e non più la chimica)?
Il dato sul francese è un dato in più o sono io che prendo una svista?
Anna
ho un dubbio su un esempio del cap.3 del Ross.
Susanna è indecisa se frequentare il corso di francese o quello di chimica e stima che la sua probabilità di prendere più di 27 è pari a $1/2$ nel caso del corso di francese e $2/3$ nel caso del corso di chimica. Se Susanna basa la decisione sull'esito del lancio di una moneta non truccata, qual è la probabilità che prenda più di 27 in chimica?
$P(CA)=P(C)*P(A|C)$
con A=evento "Susanna prende più di 27 all'esame"
C=evento "Susanna sceglie il corso di chimica"
CA=evento "Susanna sceglie chimica e prende più di 27"
$P(C)=1/2$ perchè S. utilizza una moneta equilibrata
$P(A|C)=2/3$ perchè lo fornisce la traccia
$P(CA)$=la nostra incognita
$P(CA)=1/2*2/3=1/3$
Nello svolgimento del problema si legge che A è l'evento "Susanna prende più di 27 all'esame, qualunque esso sia". Secondo voi è corretto aggiungere quel "qualunque esso sia" se abbiamo a disposizione solo dei P(A|C) (o P(P|F) se prendiamo il francese e non più la chimica)?
Il dato sul francese è un dato in più o sono io che prendo una svista?
Anna
Risposte
"incredibili33":
Secondo voi è corretto aggiungere quel "qualunque esso sia"
certo che è giusto! Ovviamente "qualunque esso sia" si intende francese o chimica, non certo analisi 1
Si evince dalla traccia
"incredibili33":
Susanna è indecisa se frequentare il corso di francese o quello di chimica ...
che nello spazio di probabilità $(Omega,F, P)$ l'unione dei due eventi "Francese" e "Chimica" rappresenta $Omega$.
La variabile $P(A)$ assumerà due valori, condizionatamente al verificarsi dell'evento "lancio della moneta", ad esempio
$P(A|T e s t a)=1/2$
$P(A|C r o c e )=2/3$
il dato $P(A|T e s t a)$ è un dato della variabile casuale che non ti serve per rispondere al quel determinato quesito ma è un dato necessario se vuoi avere tutto lo spazio di probabiltà per rispondere ad altri quesiti, ad esempio
"Susanna tutta panna ha preso meno di 28. Qual è la probabilità che abbia scelto Francese?"
Oppure:
"Qual è la probabilità che Susanna abbia preso più di 27?"
ecc ecc
Purtroppo ho qualche difficoltà a seguirti perchè mi confondo tra gli eventi. Susanna sceglie Francese o Chimica, poi c'è l'evento del lancio della moneta e poi quello che Susanna prende più di di 27 o meno di 27...
Quindi l'insieme campionario è formato da due parti: F(evento"S. sceglie Francese) e C(evento"S. sceglie Chimica).
Francese lo faccio corrispondere a Testa, Chimica a Croce.
Se voglio sapere P(B) con B=evento "S. prende meno di 27" io farei $1-P(A)$ ma non saprei come andare avanti perchè non ho le idee chiare.
Quindi l'insieme campionario è formato da due parti: F(evento"S. sceglie Francese) e C(evento"S. sceglie Chimica).
Francese lo faccio corrispondere a Testa, Chimica a Croce.
Se voglio sapere P(B) con B=evento "S. prende meno di 27" io farei $1-P(A)$ ma non saprei come andare avanti perchè non ho le idee chiare.
ok ora vedrò di chiarirti le idee...
dunque la variabile bidimensionale Voto \ Esame scelto può essere rappresentata così:
dove per calcolare le probabilità ho usato TUTTI i dati forniti dalla traccia
Ovviamente la probabilità che Susanna scelga francese o chimica è sempre $1/2$, essendo la scelta dettata dal risultato del lancio di una moneta equilibrata...e tale variabile si legge nella prima e nell'ultima colonna
$X-={{: ( Fr , Ch ),( 1/2 , 1/2 ) :}$
analogamente la variabile voto, si legge nella prima e nell'ultima riga
$Y-={{: ( <28 , >27 ),( 5/12 , 7/12) :}$
Tali probabilità sono calcolabili facilmente con il teorema delle probabilità totali.
le probabilità all'interno della tabella sono le probabilità della variabile aleatoria bivariata....
a questo punto qualunque quesito ti venga posto è di immediata risoluzione
Es: Susanna ha preso meno di 28. Qual è la probabiltà che abbia scelto francese? $rarr (3/12)/(5/12)=3/5$
ecc ecc
dunque la variabile bidimensionale Voto \ Esame scelto può essere rappresentata così:
dove per calcolare le probabilità ho usato TUTTI i dati forniti dalla traccia
Ovviamente la probabilità che Susanna scelga francese o chimica è sempre $1/2$, essendo la scelta dettata dal risultato del lancio di una moneta equilibrata...e tale variabile si legge nella prima e nell'ultima colonna
$X-={{: ( Fr , Ch ),( 1/2 , 1/2 ) :}$
analogamente la variabile voto, si legge nella prima e nell'ultima riga
$Y-={{: ( <28 , >27 ),( 5/12 , 7/12) :}$
Tali probabilità sono calcolabili facilmente con il teorema delle probabilità totali.
le probabilità all'interno della tabella sono le probabilità della variabile aleatoria bivariata....
a questo punto qualunque quesito ti venga posto è di immediata risoluzione
Es: Susanna ha preso meno di 28. Qual è la probabiltà che abbia scelto francese? $rarr (3/12)/(5/12)=3/5$
ecc ecc
ora credo di aver capito, tornano sia i conti che le idee
grazie di cuore!!!
grazie di cuore!!!
I'm happy.
prova allora a fare un esercizio riassuntivo sulla probabilità condizionata:
Un test anti HIV è caratterizzato nel modo seguente: la probabilità di avere un Falso Positivo (ovvero la probabilità che il test risulti positivo se l'individuo è sano) è pari al 6%. La probabilità di avere un Falso Negativo (ovvero la probabilità che il test risulti negativo se l'individuo è malato) è del 4%.
Sapendo che l'incidenza degli individui malati nel totale della popolazione è del 2 per mille, calcolare la probabilità che un individuo sia davvero malato nelle ipotesi che abbia effettuato uno oppure due test e tutti siano risultati positivi.
Alla luce dei risultati cosa possiamo dire circa la politica di effettuare test di massa su tutta la popolazione per la patologia in oggetto? E se invece lo stesso test di massa fosse effettuato sulla popolazione carceraria in un penitenziario nella città di Yaoundé (Camerun) dove il tasso di ospiti malati è del 48% cosa cambierebbe?
buon lavoro
prova allora a fare un esercizio riassuntivo sulla probabilità condizionata:
Un test anti HIV è caratterizzato nel modo seguente: la probabilità di avere un Falso Positivo (ovvero la probabilità che il test risulti positivo se l'individuo è sano) è pari al 6%. La probabilità di avere un Falso Negativo (ovvero la probabilità che il test risulti negativo se l'individuo è malato) è del 4%.
Sapendo che l'incidenza degli individui malati nel totale della popolazione è del 2 per mille, calcolare la probabilità che un individuo sia davvero malato nelle ipotesi che abbia effettuato uno oppure due test e tutti siano risultati positivi.
Alla luce dei risultati cosa possiamo dire circa la politica di effettuare test di massa su tutta la popolazione per la patologia in oggetto? E se invece lo stesso test di massa fosse effettuato sulla popolazione carceraria in un penitenziario nella città di Yaoundé (Camerun) dove il tasso di ospiti malati è del 48% cosa cambierebbe?
buon lavoro
M=evento "l'individuo è malato"
S=evento "l'individuo è sano"
N=evento "il test è negativo"
P=evento "il test è positivo"
p(FN)=p(N|M)=0,04=probabilità del falso negativo
p(FP)=p(P|S)=0,06=probabilità del falso positivo
p(NM)=p(N|M)*p(M)=0,00008 probabilità che l'individuo sia malato e il test risulti negativo
p(PS)=p(P|S)*p(S)=0,05988 probabilità che l'individuo sia sano e il test risulti positivo
p(Mnn P)=0,99992 probabilità che l'individuo sia malato e il test risulti positivo
S=evento "l'individuo è sano"
N=evento "il test è negativo"
P=evento "il test è positivo"
p(FN)=p(N|M)=0,04=probabilità del falso negativo
p(FP)=p(P|S)=0,06=probabilità del falso positivo
p(NM)=p(N|M)*p(M)=0,00008 probabilità che l'individuo sia malato e il test risulti negativo
p(PS)=p(P|S)*p(S)=0,05988 probabilità che l'individuo sia sano e il test risulti positivo
| P | N | |
|---|---|---|
| 0,99992 | 0,00008 | S |
| 0,94012 |
p(Mnn P)=0,99992 probabilità che l'individuo sia malato e il test risulti positivo
penso sia meglio che tu riprenda il capitolo che stai studiando......
L'esercizio te l'ho scritto apposta in base al titolo del topic che hai messo: la richiesta è una probabilità condizionata, non una probabilità congiunta....si chiede la probabilità che un individuo sia malato DATO che il test è positivo $P(M|P)$ sia nel caso che l'individuo abbia fatto un solo test che nel caso in cui abbia fatto due test consecutivi ed entrambi con risultato positivo. In altri termini..fai il test, esce che sei positivo...ma sei positivo davvero oppure no?
Dalla tua tabellina non si capisce nulla...oltretutto la somma delle probabilità fa due....ed anche la probabilità dei test positivi è maggiore di uno....
gli unici dati giusti sono quelli cerchiati in rosso
Inoltre non è necessario impostare la tabellina che ti ho mostrato...io l'ho fatto solo per chiarirti le idee sul problema...il tutto si può risolvere applicando le formule sulla probabiità condizionata (oppure applicando il teorema di Bayes) che dovresti aver fatto, dato che hai postato un topic proprio sulla probabilità condizionata (una copia dello Sheldon Ross ce l'ho anche io e, sebbene non sia fra i miei libri preferiti, è tutto ben spiegato al capitolo 3)
L'esercizio te l'ho scritto apposta in base al titolo del topic che hai messo: la richiesta è una probabilità condizionata, non una probabilità congiunta....si chiede la probabilità che un individuo sia malato DATO che il test è positivo $P(M|P)$ sia nel caso che l'individuo abbia fatto un solo test che nel caso in cui abbia fatto due test consecutivi ed entrambi con risultato positivo. In altri termini..fai il test, esce che sei positivo...ma sei positivo davvero oppure no?
Dalla tua tabellina non si capisce nulla...oltretutto la somma delle probabilità fa due....ed anche la probabilità dei test positivi è maggiore di uno....
gli unici dati giusti sono quelli cerchiati in rosso
Inoltre non è necessario impostare la tabellina che ti ho mostrato...io l'ho fatto solo per chiarirti le idee sul problema...il tutto si può risolvere applicando le formule sulla probabiità condizionata (oppure applicando il teorema di Bayes) che dovresti aver fatto, dato che hai postato un topic proprio sulla probabilità condizionata (una copia dello Sheldon Ross ce l'ho anche io e, sebbene non sia fra i miei libri preferiti, è tutto ben spiegato al capitolo 3)
ahiiaaa ho paura che sia oltre le mie conoscenze....sto ancora facendo i primi esempi del cap 3
Ora che la vedo la formula di Bayes ha senso ai miei occhi e so che dovrei trattare in modo diverso la questione degli n test ma non so ancora come
Ora che la vedo la formula di Bayes ha senso ai miei occhi e so che dovrei trattare in modo diverso la questione degli n test ma non so ancora come
"incredibili33":
ahiiaaa ho paura che sia oltre le mie conoscenze....
dal modo in cui hai approcciato il problema e dagli errori commessi si capisce che non hai ancora le idee chiare su come trattare gli eventi condizionati.
In statistica, essere capaci di effettuare operazioni su:
Eventi condizionati
Probabilità condizionate
Distribuzioni condizionate
Valori attesi condizionati
Varianze condizionate
è di fondamentale importanza...e ciò è dimostrato anche dal fatto che di solito al trattamento dei dati condizionati sono dedicati interi capitoli nei testi di Statistica....
cordiali saluti
intanto ti ringrazio dell'aiuto
spero di riuscire in breve tempo a risolvere questo tipo di problemi
spero di riuscire in breve tempo a risolvere questo tipo di problemi
M=evento che l'individuo sia malato
P=evento che l'individuo risulti positivo al test
\(\displaystyle P(M)=0,002 \)
\(\displaystyle P(M^c)=0,998 \)
$ P(M|P)=(P(MP))/(P(P))=(P(P|M)*P(M))/(P(P|M)*P(M)+P(P|M^c)*P(M^c) $
$ 1=P(Omega |M)=P(Puu P^C)=P(P^C|M)+P(P|M) $
$ rArr P(P|M)=1-P(P^C|M) $
$ P(M|P)=0,031 $
Sia $E_i$ l'evento che al test i-esimo l'individuo sia risultato positivo.
Ogni test è indipendente dagli altri. $E_1E2_...E_n$=evento che l'individuo sia risultato positivo a tutti gli n test.
$p(E_1...E_n)=p(E_1)*p(E_2)*...p(E_n)=(p(E_i))^n$ essendo tali test tutti uguali.
$(p(E_i))^n=(P(M|P))^n=(0,031)^n$
può andare?
P=evento che l'individuo risulti positivo al test
\(\displaystyle P(M)=0,002 \)
\(\displaystyle P(M^c)=0,998 \)
$ P(M|P)=(P(MP))/(P(P))=(P(P|M)*P(M))/(P(P|M)*P(M)+P(P|M^c)*P(M^c) $
$ 1=P(Omega |M)=P(Puu P^C)=P(P^C|M)+P(P|M) $
$ rArr P(P|M)=1-P(P^C|M) $
$ P(M|P)=0,031 $
Sia $E_i$ l'evento che al test i-esimo l'individuo sia risultato positivo.
Ogni test è indipendente dagli altri. $E_1E2_...E_n$=evento che l'individuo sia risultato positivo a tutti gli n test.
$p(E_1...E_n)=p(E_1)*p(E_2)*...p(E_n)=(p(E_i))^n$ essendo tali test tutti uguali.
$(p(E_i))^n=(P(M|P))^n=(0,031)^n$
può andare?
$P(M|T^+)=0.031$ ok
l'altro ovviamente no...tenderà ad uno man mano che aumenti il numero di test
per n test la probabilità è la seguente
$(0.002\cdot0.96^n)/(0.002\cdot0.96^n+0.998\cdot0.06^n)$
quindi diventa
$n=1 rarr 3%$
$n=2 rarr 34%$
$n=3 rarr 89%$
$n=4 rarr 99%$
diverso è il caso in cui la percentuale di malati è molto alta....allora il valore predittivo positivo del test sarà molto affidabile...quindi per rispondere alla domanda:"no, non è affatto utile fare un test di massa per la patologia in oggetto" dato che l'incidenza di malati è molto bassa nella popolazione...si arriverebbe al paradosso di avere solo un 3% di veri malati tra i positivi al test....ed anche dopo averlo ripetuto, solo poco più di $1/3$ dei positivi sarà veramente malato.
l'altro ovviamente no...tenderà ad uno man mano che aumenti il numero di test
per n test la probabilità è la seguente
$(0.002\cdot0.96^n)/(0.002\cdot0.96^n+0.998\cdot0.06^n)$
quindi diventa
$n=1 rarr 3%$
$n=2 rarr 34%$
$n=3 rarr 89%$
$n=4 rarr 99%$
diverso è il caso in cui la percentuale di malati è molto alta....allora il valore predittivo positivo del test sarà molto affidabile...quindi per rispondere alla domanda:"no, non è affatto utile fare un test di massa per la patologia in oggetto" dato che l'incidenza di malati è molto bassa nella popolazione...si arriverebbe al paradosso di avere solo un 3% di veri malati tra i positivi al test....ed anche dopo averlo ripetuto, solo poco più di $1/3$ dei positivi sarà veramente malato.
per trovare la risposta all'ultima parte bastava ragionare sulla probabilità che l'individuo fosse malato condizionata all'evento che tutte le prove fosse state positive.
ok capito
ma da dove l'hai preso questo esercizio?
ok capito
ma da dove l'hai preso questo esercizio?
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