Problema sul lancio di due dadi
Ho un bel problema da porvi.
Parto da un esempio: se lancio 20 volte una coppia di dadi da 6, otterrò una
distribuzione dei risultati.
Il 7, che è il numero più probabile su ogni singolo lancio, non è detto che risulti
quello che ottiene più uscite.
Se, d'altra parte, faccio 20000 lanci siamo sicuri (lo so, il 100% non c'è..) che sarà quello
che "vince".
Qual è, allora, il minimo numero di lanci che devo effettuare affinché ci sia una probabilità $\geq 0,5$
che il 7 sia vincitore?
Parto da un esempio: se lancio 20 volte una coppia di dadi da 6, otterrò una
distribuzione dei risultati.
Il 7, che è il numero più probabile su ogni singolo lancio, non è detto che risulti
quello che ottiene più uscite.
Se, d'altra parte, faccio 20000 lanci siamo sicuri (lo so, il 100% non c'è..) che sarà quello
che "vince".
Qual è, allora, il minimo numero di lanci che devo effettuare affinché ci sia una probabilità $\geq 0,5$
che il 7 sia vincitore?
Risposte
io ho provato a risolvere la disequazione di cui parla elgiovo, anche se mi pare risponda ad un altro problema:... sorpresa! mi aspettavo n grande ed ho usato l'approssimazione di Stirling per il calcolo dei fattoriali, ottenendo un valore molto vicino ad 1... avrò sbagliato qualcosa...? ma che cosa?
dicevo che risponde ad un altro problema, perché stavo per chiedere un chiarimento sul testo:
si "vince" se il 7 esce più volte rispetto a ciascuno degli altri numeri (cosa che mi pare di interpretare, anche se avrebbe un'espressione quanto meno contorta...) oppure se il 7 esce almeno la metà delle volte (come sembra dall'interpretazione di elgiovo)?
ciao.
dicevo che risponde ad un altro problema, perché stavo per chiedere un chiarimento sul testo:
si "vince" se il 7 esce più volte rispetto a ciascuno degli altri numeri (cosa che mi pare di interpretare, anche se avrebbe un'espressione quanto meno contorta...) oppure se il 7 esce almeno la metà delle volte (come sembra dall'interpretazione di elgiovo)?
ciao.
La disequazione è sparita proprio perchè mi ero accorto di non aver chiaro il concetto di "vittoria" del 7.
Per la legge dei grandi numeri si può dire che dopo un numero $n$ molto grande di lanci, in $n*p$ di questi si sarà ottenuto "7" ($p$ è la probabilità di "7" ad ogni lancio).
Per la legge dei grandi numeri si può dire che dopo un numero $n$ molto grande di lanci, in $n*p$ di questi si sarà ottenuto "7" ($p$ è la probabilità di "7" ad ogni lancio).
"elgiovo":
La disequazione è sparita proprio perchè mi ero accorto di non aver chiaro il concetto di "vittoria" del 7.
Per la legge dei grandi numeri si può dire che dopo un numero $n$ molto grande di lanci, in $n*p$ di questi si sarà ottenuto "7" ($p$ è la probabilità di "7" ad ogni lancio).
Ok, ma questo è ovvio!
Hai capito la mia domanda?
Dalle prove che ho fatto pare che questo numero di lanci sia, circa, 74-75.
"franced":
Hai capito la mia domanda?
Evidentemente no. Finchè non avrai chiarito il concetto di "vittoria del 7" non ci sarà possibile risponderti in modo adeguato.
"elgiovo":
[quote="franced"]
Hai capito la mia domanda?
Evidentemente no. Finchè non avrai chiarito il concetto di "vittoria del 7" non ci sarà possibile risponderti in modo adeguato.[/quote]
Facciamo un esempio: 20 lanci.
il 7 è uscito 4 volte
l'8 è uscito 5 volte
il 6 è uscito 3 volte
il 7 ha perso.
altro esempio (sempre 20 lanci):
il 7 è uscito 6 volte
l'8 è uscito 4 volte
il 5 è uscito 5 volte
il 7 ha vinto.
Dunque il 7 vince se esce più volte di tutti gli altri, presi singolarmente. Il problema non è banale. Per ora mi limito a calcolare il minimo $n$ tale per cui il 7 sia uscito più volte di tutti gli altri, nel loro insieme. Chiamo $X$ la v.a. "numero di 7 usciti dopo n lanci". Questa v.a. discreta si distribuisce in tal modo al lancio $n$ ($X[n]$ sarebbe più propriamente un processo stocastico): $0$ ha probabilità $(1-p)^n$, $1$ ha probabilità $p(1-p)^(n-1)$ e così via, fino a $n$ che ha probabilità $p^n$. In termini di densità di probabilità, $f_X(x)=sum_(k=0)^n p^k (1-p)^(n-k) delta(n-k)$. Si ha dunque $P{X>n-X}=P{X>n/2}=sum_(k=|~(n+1)/2~|)^n p^k(1-p)^(n-k)$, e la disequazione da risolvere in $n$ è $1/2<=sum_(k=|~(n+1)/2~|)^n p^k(1-p)^(n-k)$.
"elgiovo":
Dunque il 7 vince se esce più volte di tutti gli altri, presi singolarmente. Il problema non è banale.
Sì, hai capito bene.
una formula mostruosa e poco utile potrebbe essere la seguente:
$(1/11)^n*(1/36)^n*\sum_{[Sigma a_i =n], [(a_7>a_i , i!=7)]}\([n], [(a_2 , ... , a_12)])*(2^(a_3+a_11)*3^(a_4+a_10)*4^(a_5+a_9)*5^(a_6+a_8)*6^(a_7))>1/2$
ho provato ad applicare il teorema del limite centrale:
la media teorica di un lancio è 7; la varianza teorica se non sbaglio è 5,83.
su n lanci m=7; var=5.83/n.
con un livello di significatività del 5%, si ha: $P(-1.96 <= (x-7)/(sqrt(5.83/n)) <= 1.96)="circa "0.95$
considerando $x in [6.5, 7.5]$ e svolgendo i calcoli si ha $(1.96 sigma)/(sqrt(n))=0.5 " -> " n=4*1.96^2*5.83=89.6$
dunque con queste "restrizioni" la risposta alla domanda è :
a partire da 90 lanci il 7 vince "quasi certamente".... con probabilità di almeno 0.5 io non l'ho utilizzata, ma penso che sia veramente bassa per aspettarsi un risultato di n>70...
dicevo che se si voleva una vittoria secondo l'altro significato (maggioranza assoluta), non mi sono messa a fare i conti ma dovrebbe venire un numero più alto, mentre con la classica formula binomiale mi pare che venga un numero basso...
sono curiosa di sapere come sei riuscito ad ottenere n= circa 74... ciao.
$(1/11)^n*(1/36)^n*\sum_{[Sigma a_i =n], [(a_7>a_i , i!=7)]}\([n], [(a_2 , ... , a_12)])*(2^(a_3+a_11)*3^(a_4+a_10)*4^(a_5+a_9)*5^(a_6+a_8)*6^(a_7))>1/2$
ho provato ad applicare il teorema del limite centrale:
la media teorica di un lancio è 7; la varianza teorica se non sbaglio è 5,83.
su n lanci m=7; var=5.83/n.
con un livello di significatività del 5%, si ha: $P(-1.96 <= (x-7)/(sqrt(5.83/n)) <= 1.96)="circa "0.95$
considerando $x in [6.5, 7.5]$ e svolgendo i calcoli si ha $(1.96 sigma)/(sqrt(n))=0.5 " -> " n=4*1.96^2*5.83=89.6$
dunque con queste "restrizioni" la risposta alla domanda è :
a partire da 90 lanci il 7 vince "quasi certamente".... con probabilità di almeno 0.5 io non l'ho utilizzata, ma penso che sia veramente bassa per aspettarsi un risultato di n>70...
dicevo che se si voleva una vittoria secondo l'altro significato (maggioranza assoluta), non mi sono messa a fare i conti ma dovrebbe venire un numero più alto, mentre con la classica formula binomiale mi pare che venga un numero basso...
sono curiosa di sapere come sei riuscito ad ottenere n= circa 74... ciao.
rifacendo il conto con gli stessi dati di partenza precedenti e sempre con la distribuzione normale, ma mettendo 0.5 al posto di 0.95, ho ottenuto n=11. ciao.
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