Problema sul calcolo della varianza

[eddy4st]

Salve, avrei un problema sul calcolo della varianza del seguente problema:

Siano $A$, $E$ eventi incompatibili, e sia $B$ $sub$ $E$, con

$P(A) = 2/5$

$P(B) = 3/10$

$P(E) = 1/2$

Calcolare la previsione e la varianza del numero aleatorio $X = |A| - 2|B| + 3|E|$.

$\mathbb{P}(X) = 1 * 2/5 - 2 * 3/10 + 3*1/2 = 13/10$

$sigma_X^2 = \mathbb{P}(X^2) - \mathbb{P}^2(X) = \mathbb{P}((|A| - 2|B| + 3|E|)^2) - 169/100 = \mathbb{P}(|A| + 4*|B| + 9*|E| - 12|BE|) -169/100 = (2/5 + 4*3/10 + 9*1/2 - 12 * 3/10) -169/100 = 25/10 - 169/100 = 81/100 $

Questo assumendo il fatto che $P(BE) = P(B) = 3/10$

Poichè $sigma_X^2$ è per definizione la previsione degli scarti quadratici, ho effettuato anche il calcolo seguendo tale logica, ottenendo tuttavia un risultato diverso.

In presenza di una partizione, seguendo i due metodi, i risultati coincidono; se, invece, sono in presenza di eventi in cui sono imposte condizioni logiche ciò non avviene.
Mi viene, quindi, da pensare che sto sbagliando il calcolo di $\mathbb{P}(X^2)$.
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità.

[Lo_zio_Tom]

A prima vista mi pare errato il calcolo della previsione. dato che $B sub E$ quando calcoli la previsione come fai tu consideri due volte la probabilità dell'evento incluso

[eddy4st]

Da teoria so che dati n eventi $E_1,E_2....,E_n$, è possibile definire il numero aleatorio $X = x_1|E_1| + x_2|E_2|+ ... + x_n|E_n|$.
La previsione di $X$ è il numero reale $\mathbb{P}(X) = p_1x_1 + p_2x_2 + ... + p_nx_n$, posto $p_i = p(E_i), i = 1,2, ... , n$

Non mi pare quindi che le condizioni logiche influiscano sul calcolo della previsione (o almeno non ci è stato detto).

[Lo_zio_Tom]

ovviamente devi fare come ti hanno insegnato (io non sono nemmeno un prof)

Al momento non ho tempo di guardarlo con attenzione ma facevo solo notare quanto segue:

Se $B sub E$ quando calcolo $P(E)$ incorporo anche $P(B)$ se poi sommo le due la probabilità, quella di $P(B)$ la sommo due volte. Ho detto una sciocchezza? Quando avrò tempo (e voglia) ci rifletterò su...

Intanto tu rifletti su questo:
Supponiamo di lanciare due volte una moneta e definiamo i seguenti eventi

$A: "Esce due volte Testa"= {T T}$

$B: "Esce testa al primo lancio"={(TC);(T T)}$

secondo te qual è la somma logica dei due eventi? secondo me è B

[eddy4st]

Si, sono d'accordo con te.
Ovviamente se gli eventi non sono incompatibili è falso dire $P(A+B) = P(A) + P(B)$.
Nel calcolo della previsione (valore atteso o speranza matematica) le condizioni logiche, almeno secondo la definizione, non dovrebbero influire il risultato.
D'altra parte la previsione rappresenta una media dei valori del codominio pesata con le probabilità dei singoli eventi.
Mi viene da pensare che, anche commettendo un errore nella previsione, la varianza calcolata con i due metodi, seppur sbagliata, non dovrebbe dare due risultati diversi.
E' per questo che suppongo di sbagliare qualcosa nel calcolo della varianza più che nel calcolo della previsione.

[Lo_zio_Tom]

Si è vero, i risultati che trovi sono entrambi corretti.

Io avrei fatto diversamente e leggendo ciò che hai scritto non del tutto sveglio (in questo periodo abbiamo fusi molto diversi ) pensavo che l'errore fosse altrove

Secondo me il modo più strutturato di risolvere il problema, evitando poi banali errori, è prima di tutto caratterizzare il numero aleatorio in base alle informazioni della traccia (ovvero darne la distribuzione )

$X -={{:(0,1,3),(1/10,7/10,2/10):}$

E solo dopo calcolare i parametri richiesti:

Media (previsione)

$E[X]=0*1/10+1*7/10+3*2/10=13/10$

E varianza, che ovviamente può essere calcolata in entrambi i modi:

1) $V[X]=0^2*1/10+1^2*7/10+3^2*2/10-(13/10)^2=81/100$

2) $V[X]=(0-13/10)^2*1/10+(1-13/10)^2*7/10+(3-13/10)^2*2/10=81/100$

Così facendo puoi calcolare subito anche gli altri indici: moda, mediana, differenza interquartile ecc ecc

ciao

[eddy4st]

Si, ho anche avuto modo di chiedere spiegazione al docente e l'errore che commettevo era nella verifica con il secondo metodo.
Mi ha proposto una soluzione simile alla tua e, in effetti, credo che agirò secondo questo ragionamento.
Grazie della disponibilità.