Problema su vettore aleatorio uniformemente distribuito
Salve a tutti,
Il problema è il seguente:
Sia $Z=(X,Y)$ il vettore aleatorio uniformemente distribuito su $A={(x,y):2|X|+|Y|<=1}$. Le due v.a. sono correlate? Sono indipendenti?
Allora arrivo al punto;
A è un rombo, ho calcolato la densità congiunta $p(x,y)=1$ se $(x,y)\inA$ e $0$ altrimenti.
Poi ho calcolato le densità marginali $p_1(x)$ e $p_2(y)$.
Ho calcolato $E(X)=0$ e $E(Y)=0$.
Con un disegno si capisce che $p(x,y)\nep_1(x)p_2(y)$ su di un insieme di misura non nulla che sarebbero gli "spazietti" che rimangano sopra quando mettiamo il rombo $A$ nel rettangolo che lo contiene dove sono definite non nulle le densità marginali. Da qui possiamo concludere che $X$ ed $Y$ non sono indipendenti.
Ora per la correlazione si deve calcolare $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ il mio dubbio è: quando vado a calcolare
$E(XY)=\int_\mathbb{R^2}xyp(x,y)dxdy$ lo devo calcolare su A o solo sul bordo? Io l ho calcolato su A e mi viene un valore diverso da zero.... è corretto?
Vi ringrazio
Il problema è il seguente:
Sia $Z=(X,Y)$ il vettore aleatorio uniformemente distribuito su $A={(x,y):2|X|+|Y|<=1}$. Le due v.a. sono correlate? Sono indipendenti?
Allora arrivo al punto;
A è un rombo, ho calcolato la densità congiunta $p(x,y)=1$ se $(x,y)\inA$ e $0$ altrimenti.
Poi ho calcolato le densità marginali $p_1(x)$ e $p_2(y)$.
Ho calcolato $E(X)=0$ e $E(Y)=0$.
Con un disegno si capisce che $p(x,y)\nep_1(x)p_2(y)$ su di un insieme di misura non nulla che sarebbero gli "spazietti" che rimangano sopra quando mettiamo il rombo $A$ nel rettangolo che lo contiene dove sono definite non nulle le densità marginali. Da qui possiamo concludere che $X$ ed $Y$ non sono indipendenti.
Ora per la correlazione si deve calcolare $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ il mio dubbio è: quando vado a calcolare
$E(XY)=\int_\mathbb{R^2}xyp(x,y)dxdy$ lo devo calcolare su A o solo sul bordo? Io l ho calcolato su A e mi viene un valore diverso da zero.... è corretto?
Vi ringrazio
Risposte
Io ho rifatto il tuo esercizio e mi viene tutto uguale tranne la covarianza che mi viene 0.
Perdonami, ma quando integri per trovare $E(XY)$ dove integri? Sul bordo o su tutto l'insieme?
Tutto risolto! Sbagliavo ad integrare...Buona giornata a tutti!
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