Problema su Bayes e probabilità totale
Buonasera, il testo dell'esercizio è il seguente:
un servizio di monitoraggio ambientale è costituito da tre apparecchiature che hanno un tasso di funzionamento del 97% (ovvero probabilità di riconoscere un determinato inquinante quando questo è presente) e un tasso di falso allarme del 9% (ovvero probabilità di emettere un allarme anche in assenza di inquinante).
Supponendo che l'allarme scatti quando anche una sola delle tre apparecchiature lo segnali, bloccando così il traffico, e che i giorni di inquinamento siano pari al 10%, calcolare per quanti giorni verrà fermato il traffico in un anno, la probabilità che il sistema dia allarme quando c'è inquinamento e la probabilità che il sistema dia allarme quando non c'è inquinamento. Infine calcolare la probabilità di corretta diagnosi.
Ho indicato con:
$A$, l'evento "suona l'apparecchiatura $1$"
$B$, l'evento "suona l'apparecchiatura $2$"
$C$, l'evento "suona l'apparecchiatura $3$"
con $I$ l'evento "c'è inquinamento" e con $\bar{I}$ l'evento complementare "non c'è inquinamento":
$P(I)=0,1$
$P(\bar{I})=0,9$
Dal testo so che:
$P(A| I)=P(B | I)=P(C |I)=0,97 \Rightarrow P(\bar{A}| I)=P(\bar{B} | I)=P(\bar{C} |I)=0,03 $
$P(A| \bar{I})=P(B | \bar{I})=P(C | \bar{I})=0,09 \Rightarrow P(\bar{A}| bar{I})=P(\bar{B} | bar{I})=P(\bar{C} |bar{I})=0,91$
Poi con il teorema di Bayes ho calcolato la probabilità che la generica apparecchiatura suoni, come:
$P(A)=P(A| I)*P(I)+ P(A| \bar{I})*P(\bar{I}))=0.097+0.081=0,178$
e non riscrivo i calcoli perché sono identici per $B$ e $C$.
A questo punto ho chiamato $S$ l'evento "il sistema da l'allarme" e ho pensato che i casi possibili che si possono verificare sono $2^3=8$ (si va dall'evento "non suona nessuno dei tre" all'evento "suonano tutti e tre", passando per "ne suona uno su tre" oppure "ne suonano due su tre" ecc... per un totale di 8 eventi possibili fra loro disgiunti). La probabilità che cerco la chiamo $P(S)$ e tale probabilità la calcolo con l'evento complementare:
1$-$ probabilità che nessuno dei tre suoni
perché l'allarme scatta in 7 casi su 8 e non scatta solo nel caso appena citato quindi è più facile fare appunto
1$-$ probabilità che nessuno dei tre suoni piuttosto che la somma dei 7 casi in cui uno/due o tutte e tre suonino.
Quindi:
$P(S)= 1-P(\bar{A})*P(\bar{B})*P(\bar{C})=1-(1-0,178)^3=0,4446$
assumendo che ciascun apparecchiatura suoni (o non suoni) indipendentemente dalle altre.
Bon, faccio vedere il risultato ad un mia collega che mi dice che non si trova così $P(S)$ ma si trova con il teorema della probabilità totale per cui:
$P(S)=P(S| I)*P(I)+ P(S| \bar{I})*P(\bar{I})$
dove:
$P(S| I)=P(A \cup B \cup C|I)= 1 -P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}|I) = $
$= 1-P(\bar{A}|I)\cdot P(\bar{B}|\I)\cdot P(\bar{C}|\I)=1-0,03^3=0,999973$
e dove
$P(S| \bar{I})=P(A \cup B \cup C|\bar{I})= 1 -P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}|\bar{I}) = $
$= 1-P(\bar{A}|\bar{I})\cdot P(\bar{B}|\bar{I})\cdot P(\bar{C}|\bar{I})=1-0.91^3=0,246429$
E infine dunque:
$P(S)=P(S| I)*P(I)+ P(S| \bar{I})*P(\bar{I})=0,999973*0,1+0,246429*0,9=0,3218$
Risultato chiaramente diverso dal mio.
Mi aiutate a capire dove sbaglio? Dov'è che il mio ragionamento fa acqua? Sono sconfortata
Grazie grazie grazie a tutti anticipatamente
un servizio di monitoraggio ambientale è costituito da tre apparecchiature che hanno un tasso di funzionamento del 97% (ovvero probabilità di riconoscere un determinato inquinante quando questo è presente) e un tasso di falso allarme del 9% (ovvero probabilità di emettere un allarme anche in assenza di inquinante).
Supponendo che l'allarme scatti quando anche una sola delle tre apparecchiature lo segnali, bloccando così il traffico, e che i giorni di inquinamento siano pari al 10%, calcolare per quanti giorni verrà fermato il traffico in un anno, la probabilità che il sistema dia allarme quando c'è inquinamento e la probabilità che il sistema dia allarme quando non c'è inquinamento. Infine calcolare la probabilità di corretta diagnosi.
Ho indicato con:
$A$, l'evento "suona l'apparecchiatura $1$"
$B$, l'evento "suona l'apparecchiatura $2$"
$C$, l'evento "suona l'apparecchiatura $3$"
con $I$ l'evento "c'è inquinamento" e con $\bar{I}$ l'evento complementare "non c'è inquinamento":
$P(I)=0,1$
$P(\bar{I})=0,9$
Dal testo so che:
$P(A| I)=P(B | I)=P(C |I)=0,97 \Rightarrow P(\bar{A}| I)=P(\bar{B} | I)=P(\bar{C} |I)=0,03 $
$P(A| \bar{I})=P(B | \bar{I})=P(C | \bar{I})=0,09 \Rightarrow P(\bar{A}| bar{I})=P(\bar{B} | bar{I})=P(\bar{C} |bar{I})=0,91$
Poi con il teorema di Bayes ho calcolato la probabilità che la generica apparecchiatura suoni, come:
$P(A)=P(A| I)*P(I)+ P(A| \bar{I})*P(\bar{I}))=0.097+0.081=0,178$
e non riscrivo i calcoli perché sono identici per $B$ e $C$.
A questo punto ho chiamato $S$ l'evento "il sistema da l'allarme" e ho pensato che i casi possibili che si possono verificare sono $2^3=8$ (si va dall'evento "non suona nessuno dei tre" all'evento "suonano tutti e tre", passando per "ne suona uno su tre" oppure "ne suonano due su tre" ecc... per un totale di 8 eventi possibili fra loro disgiunti). La probabilità che cerco la chiamo $P(S)$ e tale probabilità la calcolo con l'evento complementare:
1$-$ probabilità che nessuno dei tre suoni
perché l'allarme scatta in 7 casi su 8 e non scatta solo nel caso appena citato quindi è più facile fare appunto
1$-$ probabilità che nessuno dei tre suoni piuttosto che la somma dei 7 casi in cui uno/due o tutte e tre suonino.
Quindi:
$P(S)= 1-P(\bar{A})*P(\bar{B})*P(\bar{C})=1-(1-0,178)^3=0,4446$
assumendo che ciascun apparecchiatura suoni (o non suoni) indipendentemente dalle altre.
Bon, faccio vedere il risultato ad un mia collega che mi dice che non si trova così $P(S)$ ma si trova con il teorema della probabilità totale per cui:
$P(S)=P(S| I)*P(I)+ P(S| \bar{I})*P(\bar{I})$
dove:
$P(S| I)=P(A \cup B \cup C|I)= 1 -P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}|I) = $
$= 1-P(\bar{A}|I)\cdot P(\bar{B}|\I)\cdot P(\bar{C}|\I)=1-0,03^3=0,999973$
e dove
$P(S| \bar{I})=P(A \cup B \cup C|\bar{I})= 1 -P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}|\bar{I}) = $
$= 1-P(\bar{A}|\bar{I})\cdot P(\bar{B}|\bar{I})\cdot P(\bar{C}|\bar{I})=1-0.91^3=0,246429$
E infine dunque:
$P(S)=P(S| I)*P(I)+ P(S| \bar{I})*P(\bar{I})=0,999973*0,1+0,246429*0,9=0,3218$
Risultato chiaramente diverso dal mio.
Mi aiutate a capire dove sbaglio? Dov'è che il mio ragionamento fa acqua? Sono sconfortata
Grazie grazie grazie a tutti anticipatamente
Risposte
io mi sono persa qui, quando affermi:
<
no è per caso che ti sei azzardato a considerare gli 8 casi come equiprobabili?
se non è così, scusami, proverò a riprendere la lettura da lì.
ciao.
EDIT: ho ripreso la lettura, anche se non ho controllato i calcoli.
l'errore non è nel considerare i casi equiprobabili, ma indipendenti.
il suono dipende dall'allarme inquinamento, e dunque non possono essere indipendenti i suoni dei 3 "campanelli".
<
no è per caso che ti sei azzardato a considerare gli 8 casi come equiprobabili?
se non è così, scusami, proverò a riprendere la lettura da lì.
ciao.
EDIT: ho ripreso la lettura, anche se non ho controllato i calcoli.
l'errore non è nel considerare i casi equiprobabili, ma indipendenti.
il suono dipende dall'allarme inquinamento, e dunque non possono essere indipendenti i suoni dei 3 "campanelli".
Spiego meglio la faccenda dei "7 casi su 8":
nell'esercizio c'è scritto che basta che uno solo dei 3 apparecchi rilevi inquinamento (o perché c'è effettivamente inquinamento o perché c'è un falso allarme) affinché il sistema dia l'allarme e si blocchi il traffico. Si comporta quindi come un sistema di tre elementi in parallelo, dove basta che uno solo "scatti" affinché il traffico vada in blocco.
Quali sono queste $2^3=8$ circostanze che possono presentarsi? Queste:
$ A \cap B \cap C $ con prob $0,178^3$
$ A \cap B \cap \bar{C} $ con prob $0,178^2*(1-0,178)$
$ A \cap \bar{B} \cap C $ con prob $0,178^2*(1-0,178)$
$ A \cap \bar{B} \cap \bar{C} $ con prob $0,178*(1-0,178)^2$
$ \bar{A} \cap B \cap C $ con prob $0,178^2*(1-0,178)$
$ \bar{A} \cap B \cap \bar{C} $ con prob $0,178*(1-0,178)^2$
$ \bar{A} \cap \bar{B} \cap C $ con prob $0,178*(1-0,178)^2$
$ \bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}$ con prob $(1-0,178)^3$
Quindi sono nell'ultimo caso l'allarme non scatta perché nessuno dei 3 suona. La probabilità che il singolo suoni $(0,178)$ è quella che ho calcolato precedentemente: $P(A)=P(A|I)⋅P(I)+P(A∣I¯)⋅P(I¯))=0.097+0.081=0,178$
Per calcolare la probabilità che esso suoni dovrei quindi sommare i primi 7 casi oppure usare la regola dell'evento complementare e fare 1 MENO la prob dell'ottavo.
Ora è più chiaro?
nell'esercizio c'è scritto che basta che uno solo dei 3 apparecchi rilevi inquinamento (o perché c'è effettivamente inquinamento o perché c'è un falso allarme) affinché il sistema dia l'allarme e si blocchi il traffico. Si comporta quindi come un sistema di tre elementi in parallelo, dove basta che uno solo "scatti" affinché il traffico vada in blocco.
Quali sono queste $2^3=8$ circostanze che possono presentarsi? Queste:
$ A \cap B \cap C $ con prob $0,178^3$
$ A \cap B \cap \bar{C} $ con prob $0,178^2*(1-0,178)$
$ A \cap \bar{B} \cap C $ con prob $0,178^2*(1-0,178)$
$ A \cap \bar{B} \cap \bar{C} $ con prob $0,178*(1-0,178)^2$
$ \bar{A} \cap B \cap C $ con prob $0,178^2*(1-0,178)$
$ \bar{A} \cap B \cap \bar{C} $ con prob $0,178*(1-0,178)^2$
$ \bar{A} \cap \bar{B} \cap C $ con prob $0,178*(1-0,178)^2$
$ \bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}$ con prob $(1-0,178)^3$
Quindi sono nell'ultimo caso l'allarme non scatta perché nessuno dei 3 suona. La probabilità che il singolo suoni $(0,178)$ è quella che ho calcolato precedentemente: $P(A)=P(A|I)⋅P(I)+P(A∣I¯)⋅P(I¯))=0.097+0.081=0,178$
Per calcolare la probabilità che esso suoni dovrei quindi sommare i primi 7 casi oppure usare la regola dell'evento complementare e fare 1 MENO la prob dell'ottavo.
Ora è più chiaro?
avevo aggiunto un'osservazione: mi sono accorta che non avevi considerato i casi equiprobabili...
però hai moltiplicato le probabilità per trovare la probabilità dell'intersezione: questa è una proprietà che vale solo per eventi indipendenti, e questi non mi pare lo siano. ok?
però hai moltiplicato le probabilità per trovare la probabilità dell'intersezione: questa è una proprietà che vale solo per eventi indipendenti, e questi non mi pare lo siano. ok?
Sisi ho visto dopo l'edit Grazie
Ma il fatto che suonino l'uno indipendentemente dall'altro non è sufficiente per dire che
$Prob(capAi)=PiProb(Ai)$ ?
GrazieMa il fatto che suonino l'uno indipendentemente dall'altro non è sufficiente per dire che
$Prob(capAi)=PiProb(Ai)$ ?
Cioé, il suono dipende dall'inquinamento ma il suono dell'uno non dipende dal suono degli altri!
Confusa
Grazie per la pazienza
Confusa
Grazie per la pazienza
ti stavo per rispondere così, quando, aprendo l'editor del messaggio, ho visto l'ultima tua risposta:
prego!
... sdrammatizziamo e facciamoci due risate!
ciao!
prego!
... sdrammatizziamo e facciamoci due risate!
ciao!
Nel senso che A suona indipendentemente dal fatto che B e C suonino.
Cioé magari quel giorno l'inquinamento c'è e A suona (con prob 0,178) ma B e C, no.
Insomma, alla fine, dove sto sbagliando? Se gli eventi sono indipendenti il mio ragionamento è sensato o cmq c'è una falla?
Fermo restando che mi sa che la falla c'è sicuramente perché il risultato è diverso da quello della mia collega
Cioé magari quel giorno l'inquinamento c'è e A suona (con prob 0,178) ma B e C, no.
Insomma, alla fine, dove sto sbagliando? Se gli eventi sono indipendenti il mio ragionamento è sensato o cmq c'è una falla?
Fermo restando che mi sa che la falla c'è sicuramente perché il risultato è diverso da quello della mia collega
la risposta l'hai data tu qui:
non c'è garanzia che i suoni siano indipendenti, ed anzi, visto che dipendono tutti dall'inquinamento, c'è il sospetto che non lo siano. i calcoli, poi, dimostrano che effettivamente non sono indipendenti.
cioè, se prendi come definizione di eventi indipendenti quella che dice $A " e " B " sono indipendenti se " P(AnnB)=P(A)*P(B)$, allora puoi utilizzare questa formula solo se sai a priori che gli eventi sono indipendenti, oppure anche, a posteriori, per verificare se gli eventi sono indipendenti.
nel tuo caso tutto lascia supporre che gli eventi non sono indipendenti, ma non è detto esplicitamente né questo né il suo contrario; dunque non sei autorizzata ad usare la formula come valida, ma hai verificato attraverso essa che gli eventi non sono indipendenti.
scusami, ma non avevo capito l'ultimo messaggio!
ciao
"metafix":
Cioé, il suono dipende dall'inquinamento ma il suono dell'uno non dipende dal suono degli altri!
Confusa
Grazie per la pazienza
non c'è garanzia che i suoni siano indipendenti, ed anzi, visto che dipendono tutti dall'inquinamento, c'è il sospetto che non lo siano. i calcoli, poi, dimostrano che effettivamente non sono indipendenti.
cioè, se prendi come definizione di eventi indipendenti quella che dice $A " e " B " sono indipendenti se " P(AnnB)=P(A)*P(B)$, allora puoi utilizzare questa formula solo se sai a priori che gli eventi sono indipendenti, oppure anche, a posteriori, per verificare se gli eventi sono indipendenti.
nel tuo caso tutto lascia supporre che gli eventi non sono indipendenti, ma non è detto esplicitamente né questo né il suo contrario; dunque non sei autorizzata ad usare la formula come valida, ma hai verificato attraverso essa che gli eventi non sono indipendenti.
scusami, ma non avevo capito l'ultimo messaggio!
ciao
Grazie, chiaro, nessuno mi autorizza a dire che siano indipendenti fra loro e quindi a moltiplicare le loro probabilità per trovare la probabilità dell'intersezione!
ok! prego!
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