Problema "semplice" di probabilità
buon pomeriggio, posto qui perchè non so più in che modo approcciarmi per risolvere il problema. Il testo dell'esercizio è il seguente:
una scarpiera contiene 8 paia di scarpe. Se si prendono a caso 4 calzature, qual'è la probabilità (a) di non formare nessun paio di scarpe uguali; (b) di formane esattamente uno?
io ho approcciato nel modo seguente:
lo spazio degli eventi è formato da tute le combinazioni senza ripetizione che si possono ottenere pescando 4 scarpe a caso da un gruppo di 16 (8 paia per 2) ovvero:
$ ( ( 16 ),( 8 ) ) $
il problema mi sorge quando devo calcolare i casi possibili dell'evento " nessun paio di scarpe uguali " o analogamente all'altro.
Il risultato dell'esercizio dovrebbe essere:
a) 8/13 b) 24/65
premetto che è la prima volta che affronto un corso di probabilità.
una scarpiera contiene 8 paia di scarpe. Se si prendono a caso 4 calzature, qual'è la probabilità (a) di non formare nessun paio di scarpe uguali; (b) di formane esattamente uno?
io ho approcciato nel modo seguente:
lo spazio degli eventi è formato da tute le combinazioni senza ripetizione che si possono ottenere pescando 4 scarpe a caso da un gruppo di 16 (8 paia per 2) ovvero:
$ ( ( 16 ),( 8 ) ) $
il problema mi sorge quando devo calcolare i casi possibili dell'evento " nessun paio di scarpe uguali " o analogamente all'altro.
Il risultato dell'esercizio dovrebbe essere:
a) 8/13 b) 24/65
premetto che è la prima volta che affronto un corso di probabilità.
Risposte
"Clod":
buon pomeriggio, posto qui perchè non so più in che modo approcciarmi per risolvere il problema. Il testo dell'esercizio è il seguente:
una scarpiera contiene 8 paia di scarpe. Se si prendono a caso 4 calzature, qual'è la probabilità (a) di non formare nessun paio di scarpe uguali; (b) di formane esattamente uno?
io ho approcciato nel modo seguente:
lo spazio degli eventi è formato da tute le combinazioni senza ripetizione che si possono ottenere pescando 4 scarpe a caso da un gruppo di 16 (8 paia per 2) ovvero:
$ ( ( 16 ),( 8 ) ) $
Quindi
NON $( ( 16 ),( 8 ) )$
MA $( ( 16 ),( 4) )$
si scusa ho sbagliato a digitare intendevo il binomiale di 16 con 4 
comunque non risolve il problema...
comunque non risolve il problema...
Per risolvere il primo quesito secondo me basta considerare che essendoci 8 paia di scarpe i casi in cui siano estratte 4 scarpe spaiate sono le combinazioni senza ripetizione di 8 elementi in gruppi di 4
P(4 spaiate)=$(( ( 8 ),(4) ))/(( ( 16 ),( 4 ) )) $
in parole povere a denominatore abbiamo tutti i casi possibili di estarre in blocco 4 scarpe da 8 paia, a numeratore tutti i modi in cui 4 scarpe diverse si possono combinare dalle stesse 8 paia, che sono appunto i casi favorevoli nel primo quesito.
Per risolvere il secondo, sempre secondo me, occorre mettere a numeratore
$8*( ( 7 ),( 2 ) )$
perchè per ogni paio che si forma si possono aggiungere tutte le combinazioni di 2 scarpe spaiate prese dalle 7 paia rimanenti.
Il denominatore ovviamente non cambia.
P(4 spaiate)=$(( ( 8 ),(4) ))/(( ( 16 ),( 4 ) )) $
in parole povere a denominatore abbiamo tutti i casi possibili di estarre in blocco 4 scarpe da 8 paia, a numeratore tutti i modi in cui 4 scarpe diverse si possono combinare dalle stesse 8 paia, che sono appunto i casi favorevoli nel primo quesito.
Per risolvere il secondo, sempre secondo me, occorre mettere a numeratore
$8*( ( 7 ),( 2 ) )$
perchè per ogni paio che si forma si possono aggiungere tutte le combinazioni di 2 scarpe spaiate prese dalle 7 paia rimanenti.
Il denominatore ovviamente non cambia.
è un po' l'idea che ho avuto io, anzi è la medisima.
i risultati che si ottengono però non rispecchiano le soluzioni... che siano sbagliate ?
i risultati che si ottengono però non rispecchiano le soluzioni... che siano sbagliate ?
0.61538462 0.36923077 0.01538462
Dovrebbero essere questi i risultati rispettivamente di 0 paia, 1 esatto, 2 paia.
Prova a ragionare su:
per il primo,
tu hai 8 paia di scarpe. Di questi paia quanti ne puoi sciegliere quattro? Ed una volta scelti i quattro tipi come puoi scegliere, tra ciascun paio, la scarpa.
Capito questo gli altri sono immediati.
Dovrebbero essere questi i risultati rispettivamente di 0 paia, 1 esatto, 2 paia.
Prova a ragionare su:
per il primo,
tu hai 8 paia di scarpe. Di questi paia quanti ne puoi sciegliere quattro? Ed una volta scelti i quattro tipi come puoi scegliere, tra ciascun paio, la scarpa.
Capito questo gli altri sono immediati.
si i risultati sono corretti ( stando a quelli che ho nelle soluzioni ) ma potresti essere un po' più chiaro ?
io di fatto ho 8 paia..e stando al testo del problema non dovrei sceglierne due ? mi spiego: chiede di prendere 4 calzature a caso ovvero 2 paia di scarpe.... perchè tu dici 4 ?
grazie
io di fatto ho 8 paia..e stando al testo del problema non dovrei sceglierne due ? mi spiego: chiede di prendere 4 calzature a caso ovvero 2 paia di scarpe.... perchè tu dici 4 ?
grazie
Allora te hai 16 scarpe che sono 8*2.
Per averle tutte diverse devi scegliere tra le 8 coppie le 4 da cui prenderai le scarpe ($((8),(4))$) e poi per ciascuna coppia che hai scelto devi prendere la singola scarpa ovvero $((2),(1))^4$, dove il coefficiente binomiale ti dice che ogni coppia ha due scarpe e tu ne scegli una, ed il 4 perchè lo devi applicare a tutti e 4 le paia di scarpe.
Prova a ragiobnare allo stesso modo per trovare le altre due probabilità.
Ti faccio infini notare che la somma delle probabilità che ti ho scritto prima da 1 perchè si verifica sicuramente uno ed uno soltanto degli eventi (è una partizione).
Per averle tutte diverse devi scegliere tra le 8 coppie le 4 da cui prenderai le scarpe ($((8),(4))$) e poi per ciascuna coppia che hai scelto devi prendere la singola scarpa ovvero $((2),(1))^4$, dove il coefficiente binomiale ti dice che ogni coppia ha due scarpe e tu ne scegli una, ed il 4 perchè lo devi applicare a tutti e 4 le paia di scarpe.
Prova a ragiobnare allo stesso modo per trovare le altre due probabilità.
Ti faccio infini notare che la somma delle probabilità che ti ho scritto prima da 1 perchè si verifica sicuramente uno ed uno soltanto degli eventi (è una partizione).
ho capito il ragionamento di fondo... provando a riapplicarlo pero' non riesco ad ottenere il risultato sperato... ti posto come ho provato a risolvere:
ho 8 paia di scarpe tra questi 8 paia ne prendo 4, quindi: $ ( ( 8 ),( 4 ) ) $ .
fatto questo mi trovo con 4 paia di scarpe dei quali un paio lo prendo al volo ( sono sicuro che le due scarpe del paio sono uguali ) e quindi resto con 3 paia tra cui scegliere le 3 che devono essere diverse, e procendendo come prima scelgo: $ ( ( 2 ),(1) ) $ ripetuto questa volta per 3 volte quindi con esponente 3, ottengo però un risultato di:
0.307692307
ho 8 paia di scarpe tra questi 8 paia ne prendo 4, quindi: $ ( ( 8 ),( 4 ) ) $ .
fatto questo mi trovo con 4 paia di scarpe dei quali un paio lo prendo al volo ( sono sicuro che le due scarpe del paio sono uguali ) e quindi resto con 3 paia tra cui scegliere le 3 che devono essere diverse, e procendendo come prima scelgo: $ ( ( 2 ),(1) ) $ ripetuto questa volta per 3 volte quindi con esponente 3, ottengo però un risultato di:
0.307692307
In questo caso non puoi scegliere subito le 4 paia perchè si comporteranno in mankiera diversa, ovvero un paio ti serve per fare la coppia e le altre due (perchè ti rimangono due scarpe) per fare le spaiate.
Quindi: come scegli delle 8 paia il paio per fare la coppia $((8),(1))$ per come scegli da questo paio le due scarpe $((2),(2))$, e poi come scegli delle 7 paia rimanenti le due per fare le spaiate $((7),(2))$ per come scegli le le scarpe da queste due coppie $((2),(1))^2$.
Quindi: come scegli delle 8 paia il paio per fare la coppia $((8),(1))$ per come scegli da questo paio le due scarpe $((2),(2))$, e poi come scegli delle 7 paia rimanenti le due per fare le spaiate $((7),(2))$ per come scegli le le scarpe da queste due coppie $((2),(1))^2$.
limpidissimo ho capito!
ti ringrazio
ho capito!ti ringrazio
Figurati; allenati con il calcoo combinatorio che può risultare utile.
Fai qualche esercizio del tipo di quelli con le carte, ce ne sono a bizzeffe.
Fai qualche esercizio del tipo di quelli con le carte, ce ne sono a bizzeffe.
"DajeForte":
Allora te hai 16 scarpe che sono 8*2.
Per averle tutte diverse devi scegliere tra le 8 coppie le 4 da cui prenderai le scarpe ($((8),(4))$) e poi per ciascuna coppia che hai scelto devi prendere la singola scarpa ovvero $((2),(1))^4$, dove il coefficiente binomiale ti dice che ogni coppia ha due scarpe e tu ne scegli una, ed il 4 perchè lo devi applicare a tutti e 4 le paia di scarpe.
Prova a ragiobnare allo stesso modo per trovare le altre due probabilità.
Ti faccio infini notare che la somma delle probabilità che ti ho scritto prima da 1 perchè si verifica sicuramente uno ed uno soltanto degli eventi (è una partizione).
Partendo dall'ultimo risultato (2 paia estratte) che è il più semplice (28/1820) basta riuscire a calcolare il secondo (un paio solo estratto) per ottenere il primo (tutte spaiate).
Il mio calcolo era sbagliato perchè se ho un paio già formato, in quanti altri modi posso estrarre le altre due scarpe che non siano appaiate? Mi rimangono 14 scarpe (7 paia) quindi $((14),(2))-7$ (tolgo 7 perche escludo i casi che si formi un nuovo paio) (non $8*((7),(2))$ come avevo scritto). Poi facendo $(8*(((14),(2))-7))/(((16),(4)))$ dovrei avere lo stesso risultato da te indicato (0,36923077).
Potresti anche ragionare cosi':
Le disposizioni totali sono 16*15*14*13
La prima scarpa può essere una qualsiasi delle 16
La seconda una delle 14 rimaste (eliminando la gemella della prima)
La terza 12
La quarta 10
P(tutte scoppiate) $(16*14*12*10)/(16*15*14*13)$
Le disposizioni totali sono 16*15*14*13
La prima scarpa può essere una qualsiasi delle 16
La seconda una delle 14 rimaste (eliminando la gemella della prima)
La terza 12
La quarta 10
P(tutte scoppiate) $(16*14*12*10)/(16*15*14*13)$
"Umby":
Potresti anche ragionare cosi':
Le disposizioni totali sono 16*15*14*13
La prima scarpa può essere una qualsiasi delle 16
La seconda una delle 14 rimaste (eliminando la gemella della prima)
La terza 12
La quarta 10
P(tutte scoppiate) $(16*14*12*10)/(16*15*14*13)$
vero!! questo è forse il metodo più semplice!
"Umby":
Potresti anche ragionare cosi':
Le disposizioni totali sono 16*15*14*13
La prima scarpa può essere una qualsiasi delle 16
La seconda una delle 14 rimaste (eliminando la gemella della prima)
La terza 12
La quarta 10
P(tutte scoppiate) $(16*14*12*10)/(16*15*14*13)$
Regale!
il caso a) l'ho risolto come (16 * 14 * 12 * 10) / (16 * 15 * 14 * 13)
nel caso b invece ho alcuni dubbi
la soluzione 3 * (8 3 ) (2 2) (2 1)^2 non mi è chiara. qualcuno mi potrebbe per cortesia spiegare perchè
3 * (8 3) . grazie
nel caso b invece ho alcuni dubbi
la soluzione 3 * (8 3 ) (2 2) (2 1)^2 non mi è chiara. qualcuno mi potrebbe per cortesia spiegare perchè
3 * (8 3) . grazie
Ciao ragazzi, ho un problema con le stesso esercizio. Non ho ben capito i ragionamenti che avete fatto, ma soprattutto non capisco perchè i miei sono sbagliati e vorrei partire da questo altrimenti non capirò mai perchè sbaglio 
5 paia di scarpe, estraggo 4 scarpe
a) nessun paio completo
P(a) = $ 10/10*8/9*6/8*4/7 = 8/21 $ , corretto
dove ogni fattore l'ho interpretato come 'probabilità che quello che sto estraendo ora vada bene', infatti il primo ha probabilità massima di andare bene, il secondo va bene solo se non è accoppiato col primo quindi essendo rimaste 9 scarpe, di cui 1 è l'accoppiato, fa 8/9 e così via fino alla 4° estrazione
Ma ragionando allo stesso modo ho avuto difficoltà sul secondo punto
b) estraggo esattamente un paio e altre due scarpe spaiate
P(b) = $ 10/10*1/9*8/8*6/7 = 2/21 $ , errato, il risultato corretto è 4/7, cioè 6 volte quello che è venuto a me
Non capisco perchè è sbagliato, dato che ho ragionamento allo stesso modo del punto a. Infatti la prima scarpa ha p 1 di andare bene, la seconda deve essere il suo accoppiato quindi 1 delle 9 restanti, la terza è indifferente quale sia delle 8 restanti quindi p=1, la quarta è importante solo che non sia l'accoppiata della terza, quindi delle 7 restanti ne vanno bene 6
Dovendo seguire un approccio diciamo più combinatorio, sel senso calcolandolo come casi favorevoli/casi totali anche qui ho parecchie difficoltà. Certamente a denominatore va $( (10), (4) ) $ , mentre ho difficoltà nella numerazione dei casi favorevoli. Ho seguito questo ragionamento che provo a spiegarvi. Devo creare un oggetto grande 3 fatto così ( coppia, altra scarpa 1, altra scarpa 2) con il vincolo che altra scarpa 2 non sia accoppiata con altra scarpa 1. Per il principio di moltiplicazione il numero di modi in cui questo oggetto si può formare è dato dal prodotto del numero di modi in cui si può formare ogni suo componente. Ho $ ( (5), (1) ) $ modi di scegliere la coppia, perchè ci sono 5 paia e ne devo scegliere un paio. Poi devo scegliere altra scarpa 1 e questo, avendo levato 2 scarpe (che hanno formato la coppia) lo posso scegliere in 8 modi diversi, che sono le scarpe rimanenti. Per scegliere altra scarpa 2 ho 6 scelte possibili, perchè delle 7 scarpe rimanenti, devo escludere quella che è accoppiata con altra scarpa 1. in formule
P(b) = favorevoli/casi totali = $(( (5), (1) )*8*6)/( (10), (4) ) = 8/7 $, scorretto, tra l'altro >1, è il doppio della soluzione corretta, come se avessi numerato il doppio dei casi che sono effettivamente favorevoli. Perchè?
Ho provato in un altro modo ancora a numerare i casi favorevoli, pure questo scorretto. Devo formare un oggetto grande 4 (scarpa 1, scarpa 2, scarpa 3, scarpa 4) sempre applicando il principio di moltiplicazione, ho 10 modi per scegliere la prima scarpa, 1 modo per scegliere la seconda perchè deve essere la sua accoppiata, 8 modi per scegliere la terza, 6 modi per scegliere la quarta perchè delle 7 rimanenti una si accoppia con scarpa 3) . Cosa c'è di sbagliato in tutto questo? sto impazzendo
Se mi aiutate più che altro a capire dove sbaglio nei ragionamenti..non riesco a venirne a capo. Grazie a tutti
5 paia di scarpe, estraggo 4 scarpe
a) nessun paio completo
P(a) = $ 10/10*8/9*6/8*4/7 = 8/21 $ , corretto
dove ogni fattore l'ho interpretato come 'probabilità che quello che sto estraendo ora vada bene', infatti il primo ha probabilità massima di andare bene, il secondo va bene solo se non è accoppiato col primo quindi essendo rimaste 9 scarpe, di cui 1 è l'accoppiato, fa 8/9 e così via fino alla 4° estrazione
Ma ragionando allo stesso modo ho avuto difficoltà sul secondo punto
b) estraggo esattamente un paio e altre due scarpe spaiate
P(b) = $ 10/10*1/9*8/8*6/7 = 2/21 $ , errato, il risultato corretto è 4/7, cioè 6 volte quello che è venuto a me
Non capisco perchè è sbagliato, dato che ho ragionamento allo stesso modo del punto a. Infatti la prima scarpa ha p 1 di andare bene, la seconda deve essere il suo accoppiato quindi 1 delle 9 restanti, la terza è indifferente quale sia delle 8 restanti quindi p=1, la quarta è importante solo che non sia l'accoppiata della terza, quindi delle 7 restanti ne vanno bene 6
Dovendo seguire un approccio diciamo più combinatorio, sel senso calcolandolo come casi favorevoli/casi totali anche qui ho parecchie difficoltà. Certamente a denominatore va $( (10), (4) ) $ , mentre ho difficoltà nella numerazione dei casi favorevoli. Ho seguito questo ragionamento che provo a spiegarvi. Devo creare un oggetto grande 3 fatto così ( coppia, altra scarpa 1, altra scarpa 2) con il vincolo che altra scarpa 2 non sia accoppiata con altra scarpa 1. Per il principio di moltiplicazione il numero di modi in cui questo oggetto si può formare è dato dal prodotto del numero di modi in cui si può formare ogni suo componente. Ho $ ( (5), (1) ) $ modi di scegliere la coppia, perchè ci sono 5 paia e ne devo scegliere un paio. Poi devo scegliere altra scarpa 1 e questo, avendo levato 2 scarpe (che hanno formato la coppia) lo posso scegliere in 8 modi diversi, che sono le scarpe rimanenti. Per scegliere altra scarpa 2 ho 6 scelte possibili, perchè delle 7 scarpe rimanenti, devo escludere quella che è accoppiata con altra scarpa 1. in formule
P(b) = favorevoli/casi totali = $(( (5), (1) )*8*6)/( (10), (4) ) = 8/7 $, scorretto, tra l'altro >1, è il doppio della soluzione corretta, come se avessi numerato il doppio dei casi che sono effettivamente favorevoli. Perchè?
Ho provato in un altro modo ancora a numerare i casi favorevoli, pure questo scorretto. Devo formare un oggetto grande 4 (scarpa 1, scarpa 2, scarpa 3, scarpa 4) sempre applicando il principio di moltiplicazione, ho 10 modi per scegliere la prima scarpa, 1 modo per scegliere la seconda perchè deve essere la sua accoppiata, 8 modi per scegliere la terza, 6 modi per scegliere la quarta perchè delle 7 rimanenti una si accoppia con scarpa 3) . Cosa c'è di sbagliato in tutto questo? sto impazzendo
Se mi aiutate più che altro a capire dove sbaglio nei ragionamenti..non riesco a venirne a capo. Grazie a tutti
Il tuo errore consiste nel fatto che consideri il tuo paio di scarpe come prima e seconda scarpa.
Ma le possibilità favorevoli sono: prima-seconda; prima-terza; prima-quarta; seconda-terza; seconda-quarta; terza quarta.
Cioè 6.
Oppure più semplicemente: $10/10*1/9*8/8*6/7*(4!)/(2!*2!)=4/7$
Ma le possibilità favorevoli sono: prima-seconda; prima-terza; prima-quarta; seconda-terza; seconda-quarta; terza quarta.
Cioè 6.
Oppure più semplicemente: $10/10*1/9*8/8*6/7*(4!)/(2!*2!)=4/7$
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