Problema probabilità

[FraShit]

Una scarpiera contiene 8 paia di scarpe.Se si prendono a caso 4 calzature, qual è la probabilità di formare esattamente un paio di scarpe?
Qualcuno puo dirmi come affrontare questo tipo di problema ?

[bassi0902]

Per questo genere di esercizi é sempre conveniente pensare alla probabilitá come il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili.

Partiamo con le possibili estrazioni diverse di 4 calzature tra un totale di 8 paia di scarpe (quindi 16 calzature). Questo numero é definito come il coefficiente binomiale $$ \binom {16} {4} = \frac{16!}{4! (16 - 4)!} = 16 \times 15 \times 14 \times 13 = 43680 $$

Quindi abbiamo 43680 possibili estrazioni diverse.

Dobbiamo capire adesso quali di queste estrazioni sono da considerarsi "utili" alla nostra causa, ovvero quante di queste contengono esattamente un paio di scarpe (ovvero due scarpe uguali tra loro e le altre due scarpe diverse, ad esempio assegnando a ogni paio di scarpe una lettera un possibile evento favorevole sarebbe questo ).

Per capire quanti casi favorevoli abbiamo é utile ragionare "ad albero", ovvero elencando estrazione dopo estrazione il numero di possibilitá che abbiamo e moltiplicando il tutto alla fine. Se vogliamo le quaterne del tipo il numero desiderato é $16 \times 14 \times 12 \times 3$, perché alla prima estrazione (peschiamo una X) ci va bene qualsiasi scarpa (in tutto 16), alla seconda estrazione peschiamo una Y e quindi ci vanno bene 14 scarpe delle 15 rimaste (perché dev'essere Y diverso da X), alla terza estrazione peschiamo una Z e per lo stesso motivo abbiamo 12 possibilitá (delle 14 scarpe rimaste 2 non vanno bene perché sono uguali a quelle giá pescate); infine, l'ultima scarpa Q dovrá appartenere necessariamente al paio X, Y o Z, quindi abbiamo solo 3 possibilitá.

Per farla breve, la probabilitá cercata é quindi pari a

$$
\frac{16\times14\times12\times3}{43680} = 18.46\%
$$

[orsoulx]

"bassi0902":Per farla breve, la probabilitá cercata é quindi pari a

$$
\frac{16\times14\times12\times3}{43680} = 18.46\%
$$

Mi pare che la probabilità cercata sia il doppio di questa.
Ciao
B.

[axpgn]

Mi pare che questo calcolo $$ \binom {16} {4} $$ faccia $1820$ ...

[bassi0902]

Chiedo scusa ho dimenticato di moltiplicare il denominatore per il numero di permutazioni possibili di 4 elementi, ovvero $4!$

@orsolux hai ragione, il risultato esatto é il doppio di quanto é venuto a me, adesso correggo.

EDIT

Il numeratore dovrebbe essere $$16 \times 14 \times 12 \times \binom {4}{2} $$.

Per contare i casi favorevoli ho considerato le estrazioni ordinate del tipo e poi ho considerato le possibili permutazioni di ordine, che sono date dal coefficiente binomiale(4,2) perché ho due valori fissi, che sono le due scarpe appaiate, in un insieme di 4 valori, appunto le scarpe.