Problema nel cambio degli estremi di integrazione nel passaggio alla marginale
Buona sera a tutti!
Sto cercando di risolvere un problema ma sono bloccato da un dubbio riguardante gli intervalli di definizione e quindi gli estremi di integrazione che mi servono per ricavare una funzione di densità marginale dalla congiunta.
Date due variabili $ X,Y $ le quali hanno funzione di densità congiunta $ f(x,y)=c/(x^2y^2), x>= 1, y>=\,cin R $:
I) Trovare C
II) Trovare la PDF di $ U=XY $ e $ V=X/Y $
III) Trovare le distribuzioni marginali di U e V
IIII) Verificare se U e V sono indipendenti
Dunque il primo punto l'ho risolto con il doppio integrale e ho trovato che C=1.
Ho poi risolto il sistema con U e V e ho trovato la funzione di probabilità congiunta, la quale mi risulta essere uguale a $ 1/(2VU^2 $ .
Ora per calcolarmi le marginali dovrei integrare la congiunta in du per ottenere $ f(v) $ e in dv per ottenere $ f(u) $ .
Il mio problema sorge proprio qui. Mentre se mi devo ricavare le marginali di x e y non ho problemi con gli estremi di integrazione, dato che mi vengono forniti dall'esercizio, per calcolarmi le marginali di U e V come ottengo gli estremi di integrazione??? Presumo che non siano gli stessi di X e Y ma non riesco a capire come posso fare per ricavarmeli!!
Dal sistema $ { ( U=XV ),( V=X/Y ):} $ ho ricavato che $ { ( Y= sqrt(U/V) ),( X=Vsqrt(U/V) ):} $. Da qui in avanti però come li determino questi estremi?!?
Grazie infinite!!
Sto cercando di risolvere un problema ma sono bloccato da un dubbio riguardante gli intervalli di definizione e quindi gli estremi di integrazione che mi servono per ricavare una funzione di densità marginale dalla congiunta.
Date due variabili $ X,Y $ le quali hanno funzione di densità congiunta $ f(x,y)=c/(x^2y^2), x>= 1, y>=\,cin R $:
I) Trovare C
II) Trovare la PDF di $ U=XY $ e $ V=X/Y $
III) Trovare le distribuzioni marginali di U e V
IIII) Verificare se U e V sono indipendenti
Dunque il primo punto l'ho risolto con il doppio integrale e ho trovato che C=1.
Ho poi risolto il sistema con U e V e ho trovato la funzione di probabilità congiunta, la quale mi risulta essere uguale a $ 1/(2VU^2 $ .
Ora per calcolarmi le marginali dovrei integrare la congiunta in du per ottenere $ f(v) $ e in dv per ottenere $ f(u) $ .
Il mio problema sorge proprio qui. Mentre se mi devo ricavare le marginali di x e y non ho problemi con gli estremi di integrazione, dato che mi vengono forniti dall'esercizio, per calcolarmi le marginali di U e V come ottengo gli estremi di integrazione??? Presumo che non siano gli stessi di X e Y ma non riesco a capire come posso fare per ricavarmeli!!
Dal sistema $ { ( U=XV ),( V=X/Y ):} $ ho ricavato che $ { ( Y= sqrt(U/V) ),( X=Vsqrt(U/V) ):} $. Da qui in avanti però come li determino questi estremi?!?
Grazie infinite!!
Risposte
l'esercizio è molto bello, abbastanza articolato e ci sono vari modi per risolverlo.
Ti faccio vedere come ne uscirei io per il calcolo della marginale $U$....gli estremi di integrazione sono un po' un casino perché si interconnettono...io farei così, utilizzando la definizione di CDF:
$F_(U)(u)=P{U<=u}=P{XY<=u}=P{Y<=u/X}=intint_(y<=u/X)f(x,y)dxdy$
$F_(U)(u)=int_(1)^(u)int_(1)^(u/x)1/(x^2y^2)dxdy=int_(1)^(u)1/x^2(-1/y)]_(1)^(u/x)dx=...=1-1/u-(logu)/u$
dove $u in [1;+oo)$
Gli estremi di integrazione si ricavano facilmente dal seguente grafico:
considerando che $x,y>=1$. Anche $y>=1$ vero?? perché nel testo non l'hai scritto...l'ho ricavata io considerando che hai calcolato $c=1$
Controlliamo le proprietà della CDF:
$F(-oo)=F(1)=0$
$F(+oo)=1$
$d/(du)F=f_(U)(u)=...=(logu)/u^2$ è $>=0 AAu$
ci siamo....direi che è tutto a posto
puoi proseguire su questa falsariga
Ti faccio vedere come ne uscirei io per il calcolo della marginale $U$....gli estremi di integrazione sono un po' un casino perché si interconnettono...io farei così, utilizzando la definizione di CDF:
$F_(U)(u)=P{U<=u}=P{XY<=u}=P{Y<=u/X}=intint_(y<=u/X)f(x,y)dxdy$
$F_(U)(u)=int_(1)^(u)int_(1)^(u/x)1/(x^2y^2)dxdy=int_(1)^(u)1/x^2(-1/y)]_(1)^(u/x)dx=...=1-1/u-(logu)/u$
dove $u in [1;+oo)$
Gli estremi di integrazione si ricavano facilmente dal seguente grafico:
considerando che $x,y>=1$. Anche $y>=1$ vero?? perché nel testo non l'hai scritto...l'ho ricavata io considerando che hai calcolato $c=1$
Controlliamo le proprietà della CDF:
$F(-oo)=F(1)=0$
$F(+oo)=1$
$d/(du)F=f_(U)(u)=...=(logu)/u^2$ è $>=0 AAu$
ci siamo....direi che è tutto a posto
puoi proseguire su questa falsariga
"tommik":
Controlliamo le proprietà della CDF:
$F(-oo)=F(1)=0$
$F(+oo)=1$
$d/(du)F=f_(U)(u)=...=(logu)/u^2$ è $>=0 AAu$
ci siamo....direi che è tutto a posto
puoi proseguire su questa falsariga
Perfetto grazie mille
Per caso sai dirmi/spiegarmi qual'è il procedimento che devo seguire in generale per ricavarmi gli estremi di integrazione per calcolarmi le marginali?
"FedericoF93":
[quote="tommik"]Controlliamo le proprietà della CDF:
$F(-oo)=F(1)=0$
$F(+oo)=1$
$d/(du)F=f_(U)(u)=...=(logu)/u^2$ è $>=0 AAu$
ci siamo....direi che è tutto a posto
puoi proseguire su questa falsariga
Perfetto grazie mille
Per caso sai dirmi/spiegarmi qual'è il procedimento che devo seguire in generale per ricavarmi gli estremi di integrazione per calcolarmi le marginali?[/quote]
Se volessi calcolarmi direttamente $ fu(u)=int_()^() f(u,v) dv $ senza passare per la CDF, in questo caso viene $ fu(u)=1/(2U^2) * int_()^() 1/V du $ ma gli estremi di integrazione in questo caso, guardando alla tua soluzione, dovrebbero essere u e 1 affinché l'integrale converga. Perché però?
Stessa cosa per V giusto? Se calcolo $ fv(v)=int_()^() f(u,v) du $ ottengo $ 1/(2V)*int_()^() (-1/U) du $ ma come mi ricavo i due estremi?
Bell'esercizio, scusate l'intrusione ma ho un dubbio forse troppo sciocco:
Perché il parametro $c$ dev'essere necessariamente uguale ad $1$? ho provato a fare l'integrale e quel parametro mi si semplifica sempre, quindi ero giunto alla conclusione che dovesse essere solamente $c > 0$.
Dove sbaglio? Io vedo la densitá congiunta come il prodotto di due marginali di variabili indipendenti $X$ e $Y$ con densitá rispettivamente $\frac{1}{x^2}\mathbb{I}(1, +\infty)$ e $\frac{c}{y^2}\mathbb{I}(c,+\infty)$.
Perché il parametro $c$ dev'essere necessariamente uguale ad $1$? ho provato a fare l'integrale e quel parametro mi si semplifica sempre, quindi ero giunto alla conclusione che dovesse essere solamente $c > 0$.
Dove sbaglio? Io vedo la densitá congiunta come il prodotto di due marginali di variabili indipendenti $X$ e $Y$ con densitá rispettivamente $\frac{1}{x^2}\mathbb{I}(1, +\infty)$ e $\frac{c}{y^2}\mathbb{I}(c,+\infty)$.
"bassi0902":
Bell'esercizio, scusate l'intrusione ma ho un dubbio forse troppo sciocco:
Perché il parametro $c$ dev'essere necessariamente uguale ad $1$? ho provato a fare l'integrale e quel parametro mi si semplifica sempre, quindi ero giunto alla conclusione che dovesse essere solamente $c > 0$.
Dove sbaglio? Io vedo la densitá congiunta come il prodotto di due marginali di variabili indipendenti $X$ e $Y$ con densitá rispettivamente $\frac{1}{x^2}\mathbb{I}(1, +\infty)$ e $\frac{c}{y^2}\mathbb{I}(c,+\infty)$.
c non ho provato a calcolarlo...l'ho preso per buono dal calcolo che ha fatto Federico93. Anche perché nel testo non è detto dove varia $y$....quindi ho immaginato che fosse $y>=1$.....solo Federico lo può sapere...gliel'ho anche chiesto ma non mi ha risposto.
Ho provato ora con l'integrale...ma si semplifica sempre se poni $y>c$...se $y>1 rarr c=1$
"tommik":
[quote="bassi0902"]Bell'esercizio, scusate l'intrusione ma ho un dubbio forse troppo sciocco:
Perché il parametro $c$ dev'essere necessariamente uguale ad $1$ ho provato a fare l'integrale e quel parametro mi si semplifica sempre, quindi ero giunto alla conclusione che dovesse essere solamente $c > 0$.
Dove sbaglio? Io vedo la densitá congiunta come il prodotto di due marginali di variabili indipendenti $X$ e $Y$ con densitá rispettivamente $\frac{1}{x^2}\mathbb{I}(1, +\infty)$ e $\frac{c}{y^2}\mathbb{I}(c,+\infty)$.
c non ho provato a calcolarlo...l'ho preso per buono dal calcolo che ha fatto Federico93. Anche perché nel testo non è detto dove varia $y$....quindi ho immaginato che fosse $y>=1$.....solo Federico lo può sapere...gliel'ho anche chiesto ma non mi ha risposto.
Ho provato ora con l'integrale...ma si semplifica sempre se poni $y>c$...se $y>1 rarr c=1$[/quote]
Scusate avete ragione, $y>=1$ è corretto!
L'integrale quindi viene $ int int_(1)^(oo ) c/(x^2y^2)dx dy =1 $ che è uguale a $ Cint_(1)^(oo) 1/y^2 dy int_(1)^(oo) 1/x^2 dx $ da cui ho trovato che C=1
Se ho sbagliato correggetemi!!!
Resta aperto però il mio dubbio sugli estremi di integrazione di f(u) e f(v), qualcuno può gentilmente spiegarmeli?
"FedericoF93":
Se volessi calcolarmi direttamente $ fu(u)=int_()^() f(u,v) dv $ senza passare per la CDF, in questo caso viene $ fu(u)=1/(2U^2) * int_()^() 1/V du $ ma gli estremi di integrazione in questo caso, guardando alla tua soluzione, dovrebbero essere u e 1 affinché l'integrale converga. Perché però?
Stessa cosa per V giusto? Se calcolo $ fv(v)=int_()^() f(u,v) du $ ottengo $ 1/(2V)*int_()^() (-1/U) du $ ma come mi ricavo i due estremi?
se volessi calcolarti la densità di $U$ senza passare per la CDF si può fare....non certo con le formule strampalate che hai scritto qui.....
in una stai integrando in $du$ ma la $u$ è fuori dal segno di integrale...mentre per calcolare la $f(u)$ dovresti integrare in $v$
nella seconda poi non so davvero cosa tu abbia fatto.....
"tommik":
[quote="FedericoF93"]
Se volessi calcolarmi direttamente $ fu(u)=int_()^() f(u,v) dv $ senza passare per la CDF, in questo caso viene $ fu(u)=1/(2U^2) * int_()^() 1/V du $ ma gli estremi di integrazione in questo caso, guardando alla tua soluzione, dovrebbero essere u e 1 affinché l'integrale converga. Perché però?
Stessa cosa per V giusto? Se calcolo $ fv(v)=int_()^() f(u,v) du $ ottengo $ 1/(2V)*int_()^() (-1/U) du $ ma come mi ricavo i due estremi?
se volessi calcolarti la densità di $U$ senza passare per la CDF si può fare....non certo con le formule strampalate che hai scritto qui.....
in una stai integrando in $du$ ma la $u$ è fuori dal segno di integrale...mentre per calcolare la $f(u)$ dovresti integrare in $v$
nella seconda poi non so davvero cosa tu abbia fatto.....
[/quote]Hai perfettamente ragione, ho sbagliato a scrivere le formule. Nella prima c'è un mio errore e sono d'accordissimo mentre nella seconda sinceramente ho viaggiato d invenzione lo ammetto
Potresti farmi vedere come si può fare e soprattutto come ricavarmi gli estremi in questo caso perché proprio non riesco a capirlo???
per calcolare gli estremi occorre ragionare....
dal grafico che ti ho messo ieri dovrebbe essere chiaro che $1=1$. Infatti se $x>u rarr y<1$...basta guardare il grafico...la stessa cosa vale per $y$. Se $y>u rarr x<1$. Spero sia chiaro!
prendiamo quindi il nostro sistema iniziale e lo implementiamo con le nuove informazioni:
${{: ( U=XY ),( V=X/Y ),( 1
prendiamo la formula che ti sei calcolato della $f_(U,V)(u,u)=1/(2vu^2)$ e integriamo tutto in $v$ ottenendo:
$f_(u)(u)=1/(2u^2)int_(1/u)^(u)1/vdv=1/(2u^2)logv]_(1/u)^(u)=1/(2u^2)[logu-logu^(-1)]=1/(2u^2)[logu+logu]=(2logu)/(2u^2)=(logu)/u^2$
Come puoi vedere i due metodi per il calcolo di $f_(U)(u)$ portano allo stesso risultato
dal grafico che ti ho messo ieri dovrebbe essere chiaro che $1
prendiamo quindi il nostro sistema iniziale e lo implementiamo con le nuove informazioni:
${{: ( U=XY ),( V=X/Y ),( 1
prendiamo la formula che ti sei calcolato della $f_(U,V)(u,u)=1/(2vu^2)$ e integriamo tutto in $v$ ottenendo:
$f_(u)(u)=1/(2u^2)int_(1/u)^(u)1/vdv=1/(2u^2)logv]_(1/u)^(u)=1/(2u^2)[logu-logu^(-1)]=1/(2u^2)[logu+logu]=(2logu)/(2u^2)=(logu)/u^2$
Come puoi vedere i due metodi per il calcolo di $f_(U)(u)$ portano allo stesso risultato
"tommik":
come puoi vedere i due metodi per il calcolo di $f_(U)(u)$ portano allo stesso risultato
Ok perfetto fin qui ci sono!
Ora ho replicato il procedimento per v e ho ottenuto che $ fv(v) =1/(2v)int_(1/v)^(v) u^-2 du = 1/v^2 $
da cui deduco che mentre X e Y sono indipendenti, U e V non lo sono giusto??
Grazie mille per la pazienza, prometto che questa è la mia ultima domanda
Dunque per quanto riguarda la marginale $V=X/Y$ le cose sono un po' più complicate....
Ripartiamo sempre dalla definizione di CDF:
$F_(V)=P{VX/v}=intint_(y>x/v)1/(x^2y^2)dxdy$
e vediamo cosa succede al dominio di integrazione:
Se $v<=1$
$F_(V)=int_(1)^(+oo)int_(x/v)^(oo)1/(x^2y^2)dxdy=...=v/2$
Se invece $v>1$
$F_(V)=int_(1)^(v)int_(1)^(oo)1/(x^2y^2)dxdy+int_(v)^(oo)int_(x/v)^(oo)1/(x^2y^2)dxdy=...=1-1/v+1/(2v)$
Quindi in definitiva la tua CDF di $V$ sarà:
$F_(V)(v)-={{: ( 0 , ;v<0 ),( v/2 , ;0<=v<1 ),( 1-1/(2v) , ;v>=1 ) :}$
che la funzione di ripartizione è corretta lo si vede subito in quanto tutte le proprietà sono rispettate
in definitiva ecco le due PDF marginali di $U=XY$ e $V=X/Y$
$f_(U)(u)-={{: ( logu/u^2 , ;u>=1 ),( 0 , a l t r o v e ) :}$
$f_(V)(v)-={{: ( 1/2 , ;0=1 ),( 0 , ; al t r o v e ) :}$
ed il loro grafico:
prvoviamo a calcolare queste? Sono le principali trasformazioni e andrebbero tutte sapute bene.
$X,Y$ indipendenti, uniformemente e identicamente distribuite su $[0;1]$
calcoliamo le seguenti distribuzioni:
$Z=|X-Y|$
$Z=X+Y$
$Z=X-Y$
$Z=X\cdotY$
$Z=X/Y$
$Z=X/(X+Y)$
Ripartiamo sempre dalla definizione di CDF:
$F_(V)=P{V
e vediamo cosa succede al dominio di integrazione:
Se $v<=1$
$F_(V)=int_(1)^(+oo)int_(x/v)^(oo)1/(x^2y^2)dxdy=...=v/2$
Se invece $v>1$
$F_(V)=int_(1)^(v)int_(1)^(oo)1/(x^2y^2)dxdy+int_(v)^(oo)int_(x/v)^(oo)1/(x^2y^2)dxdy=...=1-1/v+1/(2v)$
Quindi in definitiva la tua CDF di $V$ sarà:
$F_(V)(v)-={{: ( 0 , ;v<0 ),( v/2 , ;0<=v<1 ),( 1-1/(2v) , ;v>=1 ) :}$
che la funzione di ripartizione è corretta lo si vede subito in quanto tutte le proprietà sono rispettate
in definitiva ecco le due PDF marginali di $U=XY$ e $V=X/Y$
$f_(U)(u)-={{: ( logu/u^2 , ;u>=1 ),( 0 , a l t r o v e ) :}$
$f_(V)(v)-={{: ( 1/2 , ;0
ed il loro grafico:
prvoviamo a calcolare queste? Sono le principali trasformazioni e andrebbero tutte sapute bene.
$X,Y$ indipendenti, uniformemente e identicamente distribuite su $[0;1]$
calcoliamo le seguenti distribuzioni:
$Z=|X-Y|$
$Z=X+Y$
$Z=X-Y$
$Z=X\cdotY$
$Z=X/Y$
$Z=X/(X+Y)$
"tommik":
prvoviamo a calcolare queste? Sono le principali trasformazioni e andrebbero tutte sapute bene.
$X,Y$ indipendenti, uniformemente e identicamente distribuite su $[0;1]$
calcoliamo le seguenti distribuzioni:
$Z=|X-Y|$
$Z=X+Y$
$Z=X-Y$
$Z=X\cdotY$
$Z=X/Y$
$Z=X/(X+Y)$
Io qui ad esempio andrei subito ad operare con Funzione generatrice di momenti. Il dubbio che mi sorge però è il seguente, mentre la MGF della somma di due variabili aleatorie, qualunque esse siano, è uguale al prodotto delle loro MGF, cosa si può dire riguardo alla differenza, prodotto, rapporto ecc...?
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