Problema nel calcolo di un valore atteso
Ciao ragazzi,
ho un problemino nel calcolo di un valore atteso…
Il testo recita:
"Siano \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) due variabili aleatorie tali che \(\displaystyle Y \thicksim N(-1,1) \) e \(\displaystyle X_{|Y=y} \thicksim N(y+1,1) \): calcolare la \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) \)."
Dopo essermi ricavato la \(\displaystyle f_{X,Y}(x,y) \) che risulta essere \(\displaystyle \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-2x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} \)
Provo a calcolare il valore atteso ed effettuando una semplice somma tra gli esponenti delle \(\displaystyle e \) ottengo che \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) = \int\int \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-4x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} dx dy\).
Qui mi accorgo che corrisponde a un vettore aleatorio \(\displaystyle (X,Y) \) che si distribuisce come una \(\displaystyle N\left(\left[\begin{matrix} 0 \\ -1 \end{matrix}\right] , \left[\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right] \right) \)
Ma la matrice di covarianza così scritta ha determinante negativo… e qui mi sono bloccato.
Confido in un vostro aiuto
-----
PS. Forse ho anche sbagliato la matrice della covarianza.. dovrebbe essere \(\displaystyle \left[\begin{matrix} -1 & -1 \\ -1 & -\frac{1}{2} \end{matrix}\right] \)... ancora peggio perché la varianza non può essere negativa, proprio sbagliato scriverla una matrice del genere...
Quindi la mia domanda è: devo andare avanti a provare a calcolare l'integrale senza cercare delle densità note… o il fatto che una possibile densità nota che però non è corretta mi dice già qualcosa sul possibile risultato?
ho un problemino nel calcolo di un valore atteso…
Il testo recita:
"Siano \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) due variabili aleatorie tali che \(\displaystyle Y \thicksim N(-1,1) \) e \(\displaystyle X_{|Y=y} \thicksim N(y+1,1) \): calcolare la \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) \)."
Dopo essermi ricavato la \(\displaystyle f_{X,Y}(x,y) \) che risulta essere \(\displaystyle \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-2x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} \)
Provo a calcolare il valore atteso ed effettuando una semplice somma tra gli esponenti delle \(\displaystyle e \) ottengo che \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) = \int\int \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-4x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} dx dy\).
Qui mi accorgo che corrisponde a un vettore aleatorio \(\displaystyle (X,Y) \) che si distribuisce come una \(\displaystyle N\left(\left[\begin{matrix} 0 \\ -1 \end{matrix}\right] , \left[\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}\right] \right) \)
Ma la matrice di covarianza così scritta ha determinante negativo… e qui mi sono bloccato.
Confido in un vostro aiuto
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PS. Forse ho anche sbagliato la matrice della covarianza.. dovrebbe essere \(\displaystyle \left[\begin{matrix} -1 & -1 \\ -1 & -\frac{1}{2} \end{matrix}\right] \)... ancora peggio perché la varianza non può essere negativa, proprio sbagliato scriverla una matrice del genere...
Quindi la mia domanda è: devo andare avanti a provare a calcolare l'integrale senza cercare delle densità note… o il fatto che una possibile densità nota che però non è corretta mi dice già qualcosa sul possibile risultato?
Risposte
"mariokarter":
Provo a calcolare il valore atteso ed effettuando una semplice somma tra gli esponenti delle \(\displaystyle e \) ottengo che \(\displaystyle \mathbb{E}(e^{X(Y+1)}) = \int\int \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2-4x(y+1)+2(y+1)^2}{2}} dx dy\).
arrivato a questo punto ti basta completare il quadrato all'esponente aggiungendo e togliendo $2(y+1)^2$ al numeratore e il tutto si riduce a risolvere
$int_(-oo)^(+oo)1/sqrt(2pi)e^(-1/2(x-2(y+1))^2)dx xxint_(-oo)^(+oo)1/sqrt(2pi) e^((y+1)^2) dy=
1xxint_(-oo)^(+oo)1/sqrt(2pi) e^((y+1)^2) dy=oo$
dato che l'integrale diverge.....non vedo altra via.
Non hai il risultato?
Scusa se ti rispondo solo ora, ma non ho avuto tempo.
No, non ho il risultato… anche se in effetti come hai proseguito mi convince.
Grazie mille.
No, non ho il risultato… anche se in effetti come hai proseguito mi convince.
Grazie mille.
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