Problema Lotteria e Variabili Aleatorie

[wsht]

Salve,
ho il seguente problema e volevo sapere se l'ho svolto in modo corretto:

Tizio possiede 2 biglietti di una lotteria ed 1 biglietto di una diversa lotteria.
Nella prima lotteria vengono distribuiti 20 premi da 800 Euro; nella seconda lotteria vengono
distriuiti 5 premi da 2000 Euro e 12 premi da 1000 Euro. Il numero dei biglietti venduti è 1000
sia nella prima che nella seconda lotteria. Indichiamo con X la vincita complessiva di Tizio.

- Calcolare \(\displaystyle P(X > 0) \)
- Calcolare \(\displaystyle E(X) \)

Io ho svolto il primo passo in questo modo.

\(\displaystyle P(X > 0) = 1 - P(X = 0) \)

Ora la probabilità che Tizio non vinca nulla è la probabilità che i suoi biglietti siano perdenti, ovvero

\(\displaystyle P(X = 0) = \frac{980}{1000}\frac{979}{999}\frac{983}{1000} \approxeq 0.944053914 \)

E quindi \(\displaystyle P(X>0) \approxeq 1 - 0.944053914 = 0.055946086 \approxeq 5.5 \% \)

Per il secondo passo ho una vaga idea su come fare. Usando questo metodo dovrei calcolare tutte le combinazioni di soldi vinti, che sono:

\(\displaystyle P(X = 0) \approxeq 0.944053914 \)

\(\displaystyle P(X = 800)= 2\frac{20}{1000} = 0.04\)

\(\displaystyle P(X = 1000)= \frac{12}{1000} = 0.012\)

\(\displaystyle P(X = 2000)= \frac{5}{1000} = 0.005\)

\(\displaystyle P(X = 800 + 800 = 1600) = \frac{20}{1000}\frac{19}{999} \approxeq 0.00038038038 \)

\(\displaystyle P(X = 800 + 1000 = 1800) = 2\frac{20}{1000}\frac{12}{1000} = 0.00048 \)

\(\displaystyle P(X = 1600 + 1000 = 2600) = \frac{20}{1000}\frac{19}{999} \frac{12}{1000} \approxeq 0.00000456456 \)

\(\displaystyle P(X = 800 + 2000 = 2800) = 2\frac{20}{1000}\frac{5}{1000} = 0.0002 \)

\(\displaystyle P(X = 1600 + 2000 = 3600) = \frac{20}{1000}\frac{19}{999} \frac{5}{1000} \approxeq 0.0000019019 \)



E poi dovrei fare


\(\displaystyle E(X) = \sum{X P(X = i)} = 800*0.04 + 1000 * 0.012 + 2000*0.05 + 1600 * 0.00038 + 1800 * 0.00048 + 2600 * 0.0000045 + 2800 * 0.0002 + 3600 * 0.0000019 = 146.05054 \)

Sicuramente è poco elegante, ma è corretto come procedimento?


Se sì, quale è il metodo più elegante e veloce per farlo? Mi hanno suggerito di usare le distribuzioni congiunte, le variabili indicatrici o le variabili di conteggio oppure il metodo probabilistico.

Grazie e spero di non aver scritto castronerie!

[nino_12]

La vincita attesa è leggermente minore di quella da te calcolata.
Infatti, se sommi le tue probabilità ottieni un valore un po' più alto di 1 (1,002120761).

Ad esempio, per la prima lotteria, su $ C(1000,2) $ =499500 ambi (cioè combinazioni di 2 biglietti su 1000), ce ne sono 190 $p=0,00038$ che vincono due premi da 800, 19600 $p=0,039239...$ che vincono un premio da 800 e $C(980,2)$ =479710 che non vincono nulla.