Problema funzioni di massa congiunte e marginali

[malhomme]

Salve a tutti.
Vorrei avere qualche chiarimento su un esercizio che non sono riuscito a risolvere.

TRACCIA: È l'alba del giorno di Natale, in casa tutti dormono tranne Domitilla che è già
davanti all'albero in cerca dei suoi regali. Sotto l'albero ci sono 10 pacchetti, su ciascuno di
essi c'è il nome del destinatario del regalo e solo 4 di essi sono per Domitilla, ma la bambina
non sa ancora leggere; così prende 2 pacchi a caso e comincia a scartarli. Sapendo che solo
in due pacchi indirizzati a Domitilla si trovano giocattoli e che i 6 pacchi non indirizzati
a lei non contengono giocattoli, descrivere le variabili casuali X = numero di pacchi non
indirizzati a Domitilla che la bambina ha scelto, Y = numero di pacchi scelti da Domitilla e
contenenti giocattoli (in particolare determinare funzioni di massa congiunte e marginali,
valori medi e varianza per X e per Y ; X e Y sono indipendenti?).



Di seguito riporto i dati da me calcolati:

CASI TOTALI: 45

X,Y
p(0,0) = 1/45
p(0,1) = 4/45
p(0,2) = 1/45
p(1,0) = 27/45
p(1,1) = 12/45
p(1,2) = 0
p(2,0) = 15/45
p(2,1) = 0
p(2,2) = 0

Come si può facilmente notare, non esce 1 nella somma delle marginali.
Cosa ho sbagliato?
Grazie anticipatamente per l'aiuto!

[tony630]

ho capito ben poco compreso alcune definizioni (vengo dalla campagna e sono pratico), ma a me personalmente sembra che tu abbia messo troppe combinazioni.
Cmq per arrivare a 45
P(2,0)=15/45
P(1,1)=24/45
P(0,2)=6/45
Io la scomposizione nei casi possibili la vedo così

[malhomme]

Non saprei... nella tua soluzione vengono omessi alcuni casi, ad esempio p(0,1), dove la bambina prende 0 pacchi non indirizzati a lei e un pacco contenente giocattoli... una delle coppie formate da un pacco indirizzato a lei con giocattoli e uno indirizzato a lei ma senza giocattoli. DANNATA DOMITILLA!

[tony630]

"malhomme":Salve a tutti.
Vorrei avere qualche chiarimento su un esercizio che non sono riuscito a risolvere.

TRACCIA: È l'alba del giorno di Natale, in casa tutti dormono tranne Domitilla che è già
davanti all'albero in cerca dei suoi regali. Sotto l'albero ci sono 10 pacchetti, su ciascuno di
essi c'è il nome del destinatario del regalo e solo 4 di essi sono per Domitilla, ma la bambina
non sa ancora leggere; così prende 2 pacchi a caso e comincia a scartarli. Sapendo che solo
in due pacchi indirizzati a Domitilla si trovano giocattoli e che i 6 pacchi non indirizzati
a lei non contengono giocattoli, descrivere le variabili casuali X = numero di pacchi non
indirizzati a Domitilla che la bambina ha scelto, Y = numero di pacchi scelti da Domitilla e
contenenti giocattoli (in particolare determinare funzioni di massa congiunte e marginali,
valori medi e varianza per X e per Y ; X e Y sono indipendenti?).



Di seguito riporto i dati da me calcolati:

CASI TOTALI: 45

X,Y
p(0,0) = 1/45
p(0,1) = 4/45
p(0,2) = 1/45
p(1,0) = (27/45) = 12/45
p(1,1) = 12/45
p(1,2) = 0
p(2,0) = 15/45
p(2,1) = 0
p(2,2) = 0

Come si può facilmente notare, non esce 1 nella somma delle marginali.
Cosa ho sbagliato?
Grazie anticipatamente per l'aiuto!

le p(1,0) sono 12, e formano insieme alle p(1,1) il gruppo di 24 che io avevo scritto come p(1,1).
ora dovrebbe essere chiaro

[malhomme]

Ok, ora mi trovo! Grazie mille per la risposta!

Gli altri risultati che mi escono sono (con approssimazione):

E[X] = 1,2
E[Y] = 0,4
Var(X) = 0,42
Var(Y) = 0,284

Le variabili sono dipendenti.

Grazie ancora per l'aiuto! Qualcuno può confermarmi l'esattezza di questi dati?

[tony630]

Perchè sono dipendenti?

[malhomme]

Poichè E[XY] è diverso da E[X]*E[Y].

Almeno credo, è questo il ragionamento da me fatto...